3-х ступенчатая группа

В математике трехступенчатая группа - это особый вид группы с длиной Фиттинга не более 3, которая используется при классификации CN-групп и в теореме Фейта – Томпсона . Определение трехэтапной группы в этих двух случаях немного отличается.

Группы CN

В теории групп CN трехступенчатая группа (для некоторого простого числа p ) - это такая группа, что:

• G = O _{p , p ′, p} ( G )
• O _{p , p ′} ( G ) группа Фробениуса с ядром O _p ( G )
• G / O _p ( G ) - группа Фробениуса с ядром O _{p , p ′} ( G ) / O _p ( G )

Любая 3-ступенчатая группа является разрешимой CN-группой, и, наоборот, любая разрешимая CN-группа является либо нильпотентной, либо группой Фробениуса, либо 3-ступенчатой ​​группой.

Пример: симметрическая группа S ₄ является трехступенчатой ​​группой для простого числа p = 2.

Группы нечетного порядка

Фейт и Томпсон (1963 , с. 780) определили трехступенчатую группу как группу G, удовлетворяющую следующим условиям:

• Получена группа G является подгруппой Холла с циклическим дополнением Q .
• Если H максимальная нормальная нильпотентная холлова подгруппа группы G , то G ′ ′ ⊆ H C _G ( H ) ⊆ G ′ и H C _G нильпотентна и H нециклическая.
• Для нетривиального q ∈ Q группа C _G ( q ) циклическая, нетривиальная и не зависит от q .

использованная литература

• Фейт, Вальтер ; Томпсон, Джон Г. (1963), " О разрешимости групп нечетного порядка" , Тихоокеанский журнал математики , 13 : 775-1029, DOI : 10,2140 / pjm.1963.13.775 , ISSN  0030-8730 , МР  0166261
• Фейт, Вальтер ; Томпсон, Джон Г .; Холл, Маршалл, младший (1960), "Конечные группы , в которых централизатор любого элемента неединичного нильпотентен", Mathematische Zeitschrift , 74 : 1-17, DOI : 10.1007 / BF01180468 , ISSN  0025-5874 , МР  0114856
• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR  0569209