В физику 9- j- символы Вигнера были введены Юджином Полем Вигнером в 1937 году. Они связаны с коэффициентами воссоединения в квантовой механике, включающими четыре угловых момента.
Взаимосвязь четырех векторов углового момента
Связь двух угловых моментов а также является построением одновременных собственных функций а также , где , как объясняется в статье о коэффициентах Клебша – Гордана .
Связь трех угловых моментов может быть осуществлена несколькими способами, как описано в статье о W-коэффициентах Рака . Используя обозначения и методы этой статьи, состояния полного углового момента, возникающие в результате связи векторов углового момента, , , а также можно записать как
В качестве альтернативы можно сначала спарить а также к а также а также к , перед соединением а также к :
Оба набора функций обеспечивают полную ортонормированную основу для пространства с размерностью охватывает
Следовательно, преобразование между двумя наборами является унитарным, и матричные элементы преобразования задаются скалярными произведениями функций. Как и в случае W-коэффициентов Рака, матричные элементы не зависят от квантового числа проекции полного углового момента ():
Соотношения симметрии
Символ 9- j инвариантен относительно диагонали, а также относительно перестановок его строк или столбцов:
Нечетная перестановка строк или столбцов дает фазовый коэффициент , где
Например:
Приведение к 6j символов
Символы 9- j могут быть вычислены как суммы по тройным произведениям 6- j символов, где суммирование распространяется по всем x, допускаемым условиями треугольника в множителях:
- .
Особый случай
Когда символ 9- j пропорционален символу 6-j :
Отношение ортогональности
Символы 9- j удовлетворяют этому соотношению ортогональности:
Треугольная дельта { J 1 J 2 J 3 } равно 1 , когда триада ( J 1 , J 2 , J 3 ) удовлетворяет условиям треугольника, и ноль в противном случае.
3 n -j символа
Символ 6-J является первым представителем, п = 2 , из 3 п - J символов, которые определены в качестве сумм произведений п 3- Вигнера JM коэффициентов. Суммы складываются по всем комбинациям m, которые допускаются коэффициентами 3 n - j , т.е. которые приводят к ненулевым вкладам.
Если каждый 3- JM - фактор представлен вершиной и каждые у ребра, эти три п - J символы могут быть отображены на определенных 3-регулярных графах с 3 п вершин и 2 п узлов. Символ 6- j связан с графом K 4 на 4 вершинах, символ 9 j - с графом полезности на 6 вершинах ( K 3,3 ), а два различных (неизоморфных) символа 12 j - с символом Q 3 и графы Вагнера на 8 вершинах. Отношения симметрии обычно представляют группу автоморфизмов этих графов.
Смотрите также
- Коэффициенты Клебша – Гордана
- Символ 3-j , также называемый символом 3-jm
- W-коэффициент Рака
- 6-j символ
- 9-й символ
Рекомендации
- Biedenharn, LC; ван Дам, Х. (1965). Квантовая теория углового момента: сборник перепечаток и оригинальных статей . Нью-Йорк: Academic Press . ISBN 0120960567.
- Эдмондс, АР (1957). Момент импульса в квантовой механике . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-07912-9.
- Кондон, Эдвард У .; Шортли, GH (1970). "Глава 3". Теория атомных спектров . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-09209-4.
- Максимон, Леонард С. (2010), «3j, 6j, 9j Symbols» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Мессия, Альберт (1981). Квантовая механика (Том II) (12-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Северной Голландии . ISBN 0-7204-0045-7.
- Бринк, DM; Сатчлер, Г. Р. (1993). "Глава 2". Угловой момент (3-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9.
- Заре, Ричард Н. (1988). "Глава 2". Угловой момент . Нью-Йорк: Джон Вили . ISBN 0-471-85892-7.
- Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Момент импульса в квантовой физике . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли . ISBN 0201135078.
- Варшалович Д.А.; Москалев АН; Херсонский, В.К. (1988). Квантовая теория углового момента . Сингапур: World Scientific . ISBN 9971-50-107-4.
- Jahn, HA; Надежда, Дж. (1954). «Свойства симметрии символа Вигнера 9j». Физический обзор . 93 (2): 318. Полномочный код : 1954PhRv ... 93..318J . DOI : 10.1103 / PhysRev.93.318 .
Внешние ссылки
- Стоун, Энтони. «Калькулятор коэффициента Вигнера» . (Дает ответ в точных дробях)
- Лаборатория плазмы Научного института им. Вейцмана. «Калькулятор 369j символов» . (Ответ в виде чисел с плавающей запятой)
- Fack, Veerl; ван Дейк, Дрис. «Апплет Гюцис» .
- Йоханссон, HT; Форссен, К. "(WIGXJPF)" . (точный; C, фортран, питон)
- Йоханссон, HT "(FASTWIGXJ)" . (быстрый поиск, точный; C, фортран)