W-коэффициенты Рака были введены Джулио Ракахом в 1942 году. [1] Эти коэффициенты имеют чисто математическое определение. В физике они используются в расчетах, связанных с квантово-механическим описанием углового момента , например, в теории атома .
Коэффициенты появляются, когда в задаче есть три источника углового момента. Например, рассмотрим атом с одним электроном на s-орбитали и одним электроном на p-орбитали . Каждый электрон имеет спиновой угловой момент электрона, и, кроме того, орбиталь p-орбитали имеет орбитальный угловой момент (s-орбиталь имеет нулевой орбитальный угловой момент). Атом может быть описан LS- связью или jj- связью, как объясняется в статье о связи углового момента . Преобразование между волновыми функциями, которые соответствуют этим двум связям, включает W-коэффициент Рака.
Помимо фазового коэффициента, W-коэффициенты Рака равны 6-j символам Вигнера , поэтому любое уравнение, включающее W-коэффициенты Рака, может быть переписано с использованием 6- j символов. Это часто бывает выгодно, потому что свойства симметрии 6- j символов легче запомнить.
Коэффициенты Рака связаны с коэффициентами повторной связи соотношением
Коэффициенты повторной связи являются элементами унитарного преобразования, и их определение дается в следующем разделе. Коэффициенты Рака обладают более удобными свойствами симметрии, чем коэффициенты пересчета (но менее удобны, чем символы 6- j ). [2]
Коэффициенты пересчета
Связь двух угловых моментов а также является построением одновременных собственных функций а также , где , как объясняется в статье о коэффициентах Клебша – Гордана . Результат
где а также .
Связь трех угловых моментов , , а также , может быть выполнено первым соединением а также к и следующее сцепление а также к полному угловому моменту :
В качестве альтернативы можно сначала спарить а также к и следующая пара а также к :
Обе схемы связи приводят к полному ортонормированному базису для пространственное пространство, охватываемое
Следовательно, две базы полного углового момента связаны унитарным преобразованием. Матричные элементы этого унитарного преобразования задаются скалярным произведением и известны как коэффициенты повторной связи. Коэффициенты не зависят от и поэтому у нас есть
Независимость легко следует, записав это уравнение для и применяя опускающий оператор к обеим сторонам уравнения.
Алгебра
Позволять
- обычный треугольный множитель, то коэффициент Рака является произведением четырех из них на сумму факториалов,
где
а также
Сумма более конечна в диапазоне [3]
Связь с 6-j символом Вигнера
Коэффициенты W Рака связаны с 6-j-символами Вигнера , которые обладают еще более удобными свойствами симметрии.
Ср. [4] или
Смотрите также
Заметки
- ^ Рак, G. (1942). «Теория комплексных спектров II». Физический обзор . 62 (9–10): 438–462. Полномочный код : 1942PhRv ... 62..438R . DOI : 10.1103 / PhysRev.62.438 .
- Перейти ↑ Rose, ME (1957). Элементарная теория углового момента (Дувр).
- Перейти ↑ Cowan, RD (1981). Теория атомной структуры и спектров (Univ of California Press), стр. 148.
- ^ Brink, DM & Satchler, GR (1968). Угловой момент (издательство Оксфордского университета) 3изд., с. 142. онлайн
дальнейшее чтение
- Эдмондс, АР (1957). Момент импульса в квантовой механике . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-07912-9.
- Кондон, Эдвард У .; Шортли, GH (1970). «Глава 3» . Теория атомных спектров . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-09209-4.
- Мессия, Альберт (1981). Квантовая механика (Том II) (12-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Северной Голландии . ISBN 0-7204-0045-7.
- Сато, Масачиё (1955). «Общая формула коэффициента Рака» . Успехи теоретической физики . 13 (4): 405–414. Bibcode : 1955PThPh..13..405S . DOI : 10.1143 / PTP.13.405 .
- Бринк, DM; Сатчлер, Г. Р. (1993). «Глава 2» . Угловой момент (3-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9.
- Заре, Ричард Н. (1988). "Глава 2". Угловой момент . Нью-Йорк: Джон Вили . ISBN 0-471-85892-7.
- Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Момент импульса в квантовой физике . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли . ISBN 0-201-13507-8.
Внешние ссылки
- "Коэффициенты Рака-Вигнера" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]