Теория множеств Аккермана

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Теория множеств Аккермана - это версия аксиоматической теории множеств, предложенная Вильгельмом Аккерманом в 1956 году.

Язык [ править ]

Теория множеств Аккермана сформулирована в логике первого порядка . Язык состоит из одного бинарного отношения и одной константы ( вместо этого Аккерман использовал предикат ). Будем писать для . Предполагаемая интерпретация заключается в том, что объект находится в классе . Предполагаемая интерпретация - это класс всех наборов.${\ displaystyle L_ {A}}$${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ in y}$${\ Displaystyle \ в (х, у)}$${\ displaystyle x \ in y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle V}$

Аксиомы [ править ]

Аксиомы теории множеств Аккермана, вместе обозначаемые как A, состоят из универсального замыкания следующих формул языка${\ displaystyle L_ {A}}$

1) Аксиома протяженности :

${\ Displaystyle \ forall x \ forall y (\ forall z (z \ in x \ leftrightarrow z \ in y) \ rightarrow x = y).}$

2) Схема аксиомы построения класса : Пусть будет любая формула, не содержащая переменной free. ${\ Displaystyle F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n})}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ forall y (F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ rightarrow y \ in V) \ rightarrow \ существует x \ forall y (y \ in x \ leftrightarrow F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}))}$

3) Схема аксиомы отражения: Пусть будет любая формула, не содержащая константный символ или свободную переменную . Если тогда${\ Displaystyle F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n})}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z_ {n} \ in V}$

${\ displaystyle \ forall y (F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ rightarrow y \ in V) \ rightarrow \ существует x (x \ in V \ land \ forall y (y \ in x \ leftrightarrow F (y, z_ {1}, \ dots, z_ {n}))).}$

4) Аксиомы полноты для ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle x \ in y \ land y \ in V \ rightarrow x \ in V}$ (иногда называют аксиомой наследственности)

${\ displaystyle x \ substeq y \ land y \ in V \ rightarrow x \ in V.}$

5) Аксиома регулярности для множеств :

${\displaystyle x\in V\land \exists y(y\in x)\rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x)).}$

Связь с теорией множеств Цермело – Френкеля [ править ]

Позвольте быть формулой первого порядка на языке (поэтому не содержит константу ). Определение «ограничение во вселенных множествах» (обозначается ) , чтобы быть формулой , которая получается путем замены все рекурсивны подформулами из формы с и все вложенными формулами вида с . ${\displaystyle F}$${\displaystyle L_{\in }=\{\in \}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{V}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \forall xG(x,y_{1}\dots ,y_{n})}$${\displaystyle \forall x(x\in V\rightarrow G(x,y_{1}\dots ,y_{n}))}$${\displaystyle \exists xG(x,y_{1}\dots ,y_{n})}$${\displaystyle \exists x(x\in V\land G(x,y_{1}\dots ,y_{n}))}$

В 1959 году Азриэль Леви доказал, что если - формула и A доказывает , то ZF доказывает${\displaystyle F}$${\displaystyle L_{\in }}$${\displaystyle F^{V}}$${\displaystyle F}$

В 1970 году Уильям Рейнхардт доказал, что если - формула и ZF доказывает , то A доказывает .${\displaystyle F}$${\displaystyle L_{\in }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{V}}$

Теория множеств Аккермана и теория категорий [ править ]

Самая замечательная особенность теории множеств Аккермана состоит в том, что, в отличие от теории множеств Фон Неймана – Бернейса – Гёделя , собственный класс может быть элементом другого собственного класса (см. Френкель, Бар-Гиллель, Леви (1973), стр. 153).

Расширение (названное ARC) теории множеств Аккермана было разработано Ф. А. Мюллером (2001), который заявил, что ARC «основывает канторовскую теорию множеств, а также теорию категорий и, следовательно, может считаться основополагающей теорией всей математики». ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

• Теория множеств Цермело

Ссылки [ править ]

• Акерманн, Вильгельм "Zur Axiomatik der Mengenlehre" в Mathematische Annalen, 1956, Vol. 131. С. 336--345 .
• Леви, Азриэль , "Теория множеств Аккермана" Journal of Symbolic Logic Vol. 24 сентября 1959 г. 154--166
• Райнхардт, Уильям , "Теория множеств Аккермана равна ZF" Annals of Mathematical Logic Vol. 2, 1970 г. 2, 189–249
• AAFraenkel, Y. Bar-Hillel, A.Levy, 1973. Основы теории множеств , второе издание, Северная Голландия, 1973.
• Ф.А. Мюллер, «Наборы, классы и категории» Британский журнал философии науки 52 (2001) 539-573 .