Модель активного контура

Модель активного контура , также называемая змеями , представляет собой основу компьютерного зрения, введенную Майклом Кассом , Эндрю Уиткиным и Деметри Терзопулосом ^[1] для выделения контура объекта из возможно зашумленного 2D- изображения . Модель змей популярна в компьютерном зрении, а змейки широко используются в таких приложениях, как отслеживание объектов, распознавание форм, сегментация , обнаружение краев и стереосопоставление.

Змея - это минимизирующий энергию, деформируемый шлиц, на который действуют ограничения и силы изображения, которые притягивают его к контурам объекта, и внутренние силы, сопротивляющиеся деформации. Змеи можно рассматривать как частный случай общей техники согласования деформируемой модели с изображением посредством минимизации энергии. ^[1] В двух измерениях активная модель формы представляет собой дискретную версию этого подхода, используя преимущества модели распределения точек для ограничения диапазона формы явной областью, полученной из обучающего набора.

Змеи - активные деформируемые модели

Змеи не решают всей проблемы нахождения контуров на изображениях, так как метод требует заранее знать желаемую форму контура. Скорее, они зависят от других механизмов, таких как взаимодействие с пользователем, взаимодействие с некоторым процессом понимания изображения более высокого уровня или информация из данных изображения, смежных во времени или пространстве.

Мотивация [ править ]

В компьютерном зрении контурные модели описывают границы форм на изображении. Змеи, в частности, предназначены для решения задач, в которых известна приблизительная форма границы. Будучи деформируемой моделью, змеи могут приспосабливаться к различиям и шуму при стереосогласовании и отслеживании движения. Кроме того, этот метод может найти на изображении иллюзорные контуры , игнорируя отсутствующую информацию о границах.

По сравнению с классическими методами извлечения признаков у змей есть несколько преимуществ:

• Они автономно и адаптивно ищут состояние минимума.
• Силы внешнего изображения действуют на змею интуитивно.
• Включение сглаживания по Гауссу в функцию энергии изображения вводит масштабную чувствительность.
• Их можно использовать для отслеживания динамических объектов.

Основные недостатки традиционных змей:

• Они чувствительны к состояниям локальных минимумов, которым можно противодействовать с помощью методов моделирования отжига.
• При минимизации энергии по всему контуру часто игнорируются мелкие особенности.
• Их точность зависит от политики конвергенции. ^[2]

Формулировка энергии [ править ]

Простая упругая змея определяется набором из n точек для , члена внутренней упругой энергии и члена энергии на основе внешней кромки . Назначение члена внутренней энергии - контролировать деформации змеи, а цель члена внешней энергии - контролировать подгонку контура к изображению. Внешняя энергия обычно представляет собой комбинацию сил, возникающих из-за самого изображения, и сил ограничения, вводимых пользователем.${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {я}}$${\ Displaystyle я = 0, \ ldots, п-1}$${\ displaystyle E _ {\ text {internal}}}$${\ displaystyle E _ {\ text {external}}}$${\ displaystyle E _ {\ text {изображение}}}$${\ displaystyle E _ {\ text {con}}}$

Энергетическая функция змеи - это сумма ее внешней энергии и внутренней энергии, или

${\displaystyle E_{\text{snake}}^{*}=\int \limits _{0}^{1}E_{\text{snake}}(\mathbf {v} (s))\,ds=\int \limits _{0}^{1}(E_{\text{internal}}(\mathbf {v} (s))+E_{\text{image}}(\mathbf {v} (s))+E_{\text{con}}(\mathbf {v} (s)))\,ds}$

Внутренняя энергия [ править ]

Внутренняя энергия змеи складывается из непрерывности контура и плавности контура .${\displaystyle E_{\text{cont}}}$${\displaystyle E_{\text{curv}}}$

${\displaystyle E_{\text{internal}}=E_{\text{cont}}+E_{\text{curv}}}$ ^[3]

Это можно расширить как

${\displaystyle E_{\text{internal}}={\frac {1}{2}}(\alpha \,\!(s)\left|\mathbf {v} _{s}(s)\right\vert ^{2})+{\frac {1}{2}}(\beta \,\!(s)\left|\mathbf {v} _{ss}(s)\right\vert ^{2})={\frac {1}{2}}{\bigg (}\alpha \,\!(s)\left\|{\frac {d{\bar {v}}}{ds}}(s)\right\Vert ^{2}+\beta \,\!(s)\left\|{\frac {d^{2}{\bar {v}}}{ds^{2}}}(s)\right\Vert ^{2}{\bigg )}}$

где и - определяемые пользователем веса; они управляют чувствительностью функции внутренней энергии к величине растяжения змейки и величине кривизны змейки, соответственно, и тем самым контролируют количество ограничений на форму змейки.${\displaystyle \alpha (s)}$${\displaystyle \beta (s)}$

На практике большой вес для члена непрерывности штрафует изменения расстояний между точками контура. Большой вес для члена гладкости снижает колебания контура и заставляет контур действовать как тонкая пластина.${\displaystyle \alpha (s)}$${\displaystyle \beta (s)}$

Энергия Изображения [ править ]

Энергия изображения - это некоторая функция характеристик изображения. Это одна из наиболее частых модификаций производных методов. Элементы изображений и самих изображений можно обрабатывать множеством различных способов.

Для изображения , линий, краев и окончаний, присутствующих на изображении, общая формулировка энергии, обусловленной изображением, имеет следующий вид:${\displaystyle I(x,y)}$

${\displaystyle E_{\text{image}}=w_{\text{line}}E_{\text{line}}+w_{\text{edge}}E_{\text{edge}}+w_{\text{term}}E_{\text{term}},}$

где , , являются веса этих функций выделяющихся. Более высокие веса указывают на то, что характерный элемент будет иметь больший вклад в силу изображения.${\displaystyle w_{\text{line}}}$${\displaystyle w_{\text{edge}}}$${\displaystyle w_{\text{term}}}$

Функциональная линия [ править ]

Линейный функционал - это интенсивность изображения, которую можно представить как

${\displaystyle E_{\text{line}}=I(x,y)}$

Знак будет определять, будет ли линия притягиваться темными или светлыми линиями.${\displaystyle w_{\text{line}}}$

На изображении может быть использовано сглаживание или шумоподавление, после чего линейный функционал выглядит как

${\displaystyle E_{\text{line}}=\operatorname {filter} (I(x,y))}$

Функционал Edge [ править ]

Функционал краев основан на градиенте изображения. Одна из реализаций этого -

${\displaystyle E_{\text{edge}}=-\left|\nabla I(x,y)\right\vert ^{2}.}$

Змея, исходящая далеко от желаемого контура объекта, может ошибочно сходиться к некоторому локальному минимуму. Чтобы избежать этих локальных минимумов, можно использовать продолжение пространства масштаба. Это достигается за счет использования фильтра размытия на изображении и уменьшения степени размытия по мере выполнения расчетов для уточнения соответствия змейки. Функционал энергии с использованием продолжения масштабного пространства равен

${\displaystyle E_{\text{edge}}=-\left|G_{\sigma }\cdot \nabla ^{2}I\right\vert ^{2}}$

где - гауссиан со стандартным отклонением . Минимумы этой функции ложатся на нулевых пересечений из которых определяют края согласно Марр-Hildreth теории.${\displaystyle G_{\sigma }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle G_{\sigma }\,\nabla ^{2}I}$

Функционал прекращения [ править ]

Кривизну линий уровня на слегка сглаженном изображении можно использовать для определения углов и концов изображения. Используя этот метод, пусть изображение будет сглажено${\displaystyle C(x,y)}$

${\displaystyle C(x,y)=G_{\sigma }\cdot I(x,y)}$

с углом наклона

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {C_{y}}{C_{x}}}\right),}$

единичные векторы вдоль направления градиента

${\displaystyle \mathbf {n} =(\cos \theta ,\sin \theta ),}$

и единичные векторы, перпендикулярные направлению градиента

${\displaystyle \mathbf {n} _{\perp }=(-\sin \theta ,\cos \theta ).}$

Функционал прекращения энергии можно представить в виде

${\displaystyle E_{\text{term}}={\partial \theta \over \partial n_{\perp }}={\partial ^{2}C/\partial n_{\perp }^{2} \over \partial C/\partial n}={{C_{yy}C_{x}^{2}-2C_{xy}C_{x}C_{y}+C_{xx}C_{y}^{2}} \over (C_{x}^{2}+C_{y}^{2})^{3/2}}}$

Энергия ограничения [ править ]

Некоторые системы, включая исходную реализацию змей, позволяли взаимодействовать с пользователем, чтобы направлять змей не только в исходное положение, но и с точки зрения их энергии. Такая энергия ограничения может быть использована для интерактивного направления змей к определенным объектам или от них.${\displaystyle E_{con}}$

Оптимизация с помощью градиентного спуска [ править ]

Учитывая начальное предположение о змеи, функция энергии змеи итеративно минимизируется. Минимизация градиентного спуска - одна из простейших оптимизаций, которые можно использовать для минимизации энергии змеи. ^[4] Каждая итерация делает один шаг в отрицательном градиенте точки с контролируемым размером шага, чтобы найти локальные минимумы. Эта минимизация градиентного спуска может быть реализована как${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\bar {v}}_{i}\leftarrow {\bar {v}}_{i}+F_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i})}$

Где сила на змейке, определяемая отрицательным градиентом энергетического поля.${\displaystyle F_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i})}$

${\displaystyle F_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i})=-\nabla E_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i})=-{\Bigg (}w_{\text{internal}}\,\nabla E_{\text{internal}}({\bar {v}}_{i})+w_{\text{external}}\,\nabla E_{\text{external}}({\bar {v}}_{i}){\Bigg )}}$

Предполагая, что веса и постоянны по отношению к , этот итерационный метод можно упростить до${\displaystyle \alpha (s)}$${\displaystyle \beta (s)}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\bar {v}}_{i}\leftarrow {\bar {v}}_{i}-\gamma {\Bigg \{}w_{\text{internal}}{\bigg [}\alpha {\frac {\partial ^{2}{\bar {v}}}{\partial s^{2}}}({\bar {v}}_{i})+\beta {\frac {\partial ^{4}{\bar {v}}}{\partial s^{4}}}({\bar {v}}_{i}){\bigg ]}+\nabla E_{\text{ext}}({\bar {v}}_{i}){\Bigg \}}}$

Дискретное приближение [ править ]

На практике изображения имеют конечное разрешение и могут быть интегрированы только за конечные временные интервалы . Таким образом, для практической реализации змей должны быть сделаны дискретные приближения.${\displaystyle \tau }$

Энергетическая функция змеи может быть аппроксимирована с помощью дискретных точек на змеи.

${\displaystyle E_{\text{snake}}^{*}\approx \sum _{1}^{n}E_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i})}$

Следовательно, силы змеи можно аппроксимировать как

${\displaystyle F_{\text{snake}}^{*}\approx -\sum _{i=1}^{n}\nabla E_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i}).}$

Градиентная аппроксимация может быть сделана с помощью любого метода конечной аппроксимации по s , например, методом конечных разностей .

Числовая нестабильность из-за дискретного времени [ править ]

Введение дискретного времени в алгоритм может вводить обновления, которые перемещают змейку за минимумы, к которым она привлекается; это в дальнейшем может вызвать колебания вокруг минимумов или привести к обнаружению других минимумов.

Этого можно избежать, настроив временной шаг таким образом, чтобы размер шага никогда не превышал пиксель из-за сил изображения. Однако в областях с низким энергопотреблением при обновлении будут преобладать внутренние энергии.

В качестве альтернативы, силы изображения могут быть нормализованы для каждого шага, так что силы изображения обновляют змейку только на один пиксель. Это можно сформулировать как

${\displaystyle F_{\text{image}}=-k{\frac {\nabla E_{\text{image}}}{\|\nabla E_{\text{image}}\|}}}$

где около значения размера пикселя. Это позволяет избежать проблемы доминирования внутренних энергий, возникающей при настройке временного шага. ^[5]${\displaystyle \tau k}$

Числовая нестабильность из-за дискретного пространства [ править ]

Энергии в непрерывном изображении могут иметь переходы через нуль, которые не существуют в виде пикселей в изображении. В этом случае точка змейки будет колебаться между двумя пикселями, которые находятся рядом с этим переходом через нуль. Этого колебания можно избежать, используя интерполяцию между пикселями вместо ближайшего соседа. ^[5]

Реализация [ править ]

Следующий псевдокод реализует метод змей в общем виде

функция  v = змеи ( I, v )  % INPUT: N на M изображение I, контур v из n контрольных точек  % OUTPUT: сходящийся контур v из n контрольных точек E_image  =  generateImageEnergy  ( I ); пока  не  сходится  F_cont  =  вес . альфа  *  contourDerivative ( v ,  2 );  F_curv  =  вес . бета  *  contourDerivative ( v ,  4 );  F_image  =  interp2  ( E_image ,  v (:, 2 ),  v (:, 1 ));  F_image_norm  =  вес . k  *  F_image  ./  norm  ( F_image);  F_con  =  inputForces (); F_internal  =  F_cont  +  вес . внешний  *  F_curv ;  F_external  =  вес . внешний  *  ( F_image  +  F_con ); v  =  updateSnake ( v ,  F_internal ,  F_external ); checkConvergence  ();  конецконец

Где generateImageEnergy (I) можно записать как

функция  E_image = generateImageEnergy ( I )  [ C ,  Cx ,  Cy ,  Cxx ,  Cxy ,  Cyy ]  =  generateGradients  ( I ); E_line  =  I ;  E_edge  =  - ( Cx . ^ 2  +  Cy . ^ 2 ) ^ 0.5 ;  E_term  =  ( Cyy . * Cx . ^ 2  -  2 * Cxy . * Cx . * Cy  +  Cxx . * Cy . ^ 2 ) ./ (( 1  +  Cx . ^ 2  +  Cy . ^ 2 ) . ^ ( 1.5 ) ); E_image  =  вес . линия  *  E_line  +  вес . край  *  E_edge  +  вес . срок  *  E_term ; конец

Некоторые варианты змей [ править ]

Метод змей по умолчанию имеет различные ограничения и угловые случаи, когда сходимость работает плохо. Существует несколько альтернатив, которые решают проблемы метода по умолчанию, хотя и со своими собственными компромиссами. Некоторые из них перечислены здесь.

Модель змеи GVF [ править ]

Модель змеи с векторным градиентным потоком (GVF) ^[6] решает две проблемы со змеями:

• низкая производительность сходимости для вогнутых границ
• низкая производительность сходимости при инициализации змейки далеко от минимума

В 2D векторное поле GVF минимизирует функционал энергии${\displaystyle F_{\text{GVF}}}$

${\displaystyle E_{\text{GVF}}=\iint \mu (u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+v_{x}^{2}+v_{y}^{2})+|\nabla f|^{2}|\mathbf {v} -\nabla f|^{2}\,dx\,dy}$

где - управляемый член сглаживания. Это можно решить, решив уравнения Эйлера${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu \,\nabla ^{2}u-{\Bigg (}u-{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}=0}$

${\displaystyle \mu \,\nabla ^{2}v-{\Bigg (}v-{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}=0}$

Это может быть решено путем итераций к установившемуся значению.

${\displaystyle u_{i+1}=u_{i}+\mu \,\nabla ^{2}u_{i}-{\Bigg (}u_{i}-{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}}$

${\displaystyle v_{i+1}=v_{i}+\mu \,\nabla ^{2}v_{i}-{\Bigg (}v_{i}-{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}}$

Этот результат заменяет внешнюю силу по умолчанию.

${\displaystyle F_{\text{ext}}^{*}=F_{\text{GVF}}}$

Основная проблема при использовании GVF заключается в том, что условие сглаживания приводит к скруглению краев контура. Уменьшение значения уменьшает округление, но ослабляет степень сглаживания.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

Модель воздушного шара [ править ]

Модель воздушного шара ^[5] решает эти проблемы с помощью активной контурной модели по умолчанию:

• Далекие края змейки не привлекают.
• Змея сожмется внутрь, если на нее не действуют существенные силы изображения.
• змейка, размер которой превышает контур минимума, в конечном итоге сжимается в нее, но змея, размер которой меньше контура минимума, не найдет минимума и вместо этого продолжит сжиматься.

Модель воздушного шара вводит инфляционный член в силы, действующие на змею.

${\displaystyle F_{\text{inflation}}=k_{1}{\vec {n}}(s)}$

где нормальный унитарным вектор кривой в и является величина силы. должен иметь ту же величину, что и коэффициент нормализации изображения, и быть меньшим по величине, чем позволять силам на краях изображения преодолевать силу накачивания.${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$${\displaystyle v(s)}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

При использовании модели воздушного шара возникают три проблемы:

• Вместо того, чтобы сжиматься, змейка расширяется до минимумов и не находит контуров минимумов меньше их.
• Внешняя сила приводит к тому, что контур немного больше фактических минимумов. Это можно решить, уменьшив силу баллона после того, как будет найдено стабильное решение.
• Сила накачивания может пересилить силы от слабых краев, усугубляя проблему из-за того, что змеи игнорируют более слабые элементы изображения.

Модель диффузных змей [ править ]

Модель диффузной змейки ^[7] обращается к чувствительности змей к шуму, беспорядку и окклюзии. Он реализует модификацию функционала Мамфорда-Шаха и его мультипликационного предела, а также включает статистические данные о формах. Функционал энергии изображения по умолчанию заменен на${\displaystyle E_{\text{image}}}$

${\displaystyle E_{\text{image}}^{*}=E_{i}+\alpha E_{c}}$

где основан на модифицированном функционале Мамфорда – Шаха${\displaystyle E_{i}}$

${\displaystyle E[J,B]={\frac {1}{2}}\int _{D}(I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,d{\vec {x}}+\lambda {\frac {1}{2}}\int _{D/B}{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\cdot {\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\,d{\vec {x}}+\nu \int _{0}^{1}{\Bigg (}{\frac {d}{ds}}B(s){\Bigg )}^{2}\,ds}$

где - кусочно-гладкая модель образа области . Границы определяются как${\displaystyle J({\vec {x}})}$${\displaystyle I({\vec {x}})}$${\displaystyle D}$${\displaystyle B(s)}$

${\displaystyle B(s)=\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}B_{n}(s)}$

где - квадратичные базисные функции B-сплайна, а - контрольные точки сплайнов. Модифицированный предел мультипликации получается как допустимая конфигурация .${\displaystyle B_{n}(s)}$${\displaystyle {\vec {p}}_{n}}$${\displaystyle \lambda \to \infty }$${\displaystyle E_{i}}$

Функционал основан на обучении по бинарным изображениям различных контуров и контролируется по силе параметром . Для гауссова распределения векторов контрольных точек со средним вектором контрольных точек и ковариационной матрицей квадратичная энергия, соответствующая гауссовской вероятности, равна${\displaystyle E_{c}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\vec {z}}}$${\displaystyle {\vec {z}}_{0}}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle E_{c}({\vec {z}})={\frac {1}{2}}({\vec {z}}-{\vec {z}}_{0})^{t}\Sigma ^{*}({\vec {z}}-{\vec {z}}_{0})}$

Сила этого метода зависит от мощности обучающих данных, а также от настройки модифицированного функционала Мамфорда – Шаха. Для разных змей потребуются разные наборы данных для обучения и настройки.

Геометрические активные контуры [ править ]

Геометрический активный контур, или геодезический активный контур (GAC) ^[8], или конформные активные контуры ^[9] используют идеи эволюции укорочения евклидовой кривой . Контуры разделяются и объединяются в зависимости от обнаружения объектов на изображении. Эти модели в значительной степени вдохновлены наборами уровней и широко используются в медицинских вычислениях изображений .

Например, уравнение эволюции кривой градиентного спуска GAC имеет вид ^[8]

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}=g(I)(c+\kappa ){\vec {N}}-\langle \,\nabla g,{\vec {N}}\rangle {\vec {N}}}$

где - функция остановки, c - множитель Лагранжа, - кривизна и - единица внутренней нормали. Эта конкретная форма уравнения эволюции кривой зависит только от скорости в нормальном направлении. Поэтому его можно эквивалентно переписать в эйлеровой форме, вставив в него функцию набора уровня следующим образом${\displaystyle g(I)}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\vec {N}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=|\nabla \Phi |\operatorname {div} {\Bigg (}g(I){\frac {\nabla \Phi }{|\nabla \Phi |}}{\Bigg )}+cg(I)|\nabla \Phi |}$

Это простое, но мощное преобразование набора уровней позволяет активным контурам обрабатывать изменения топологии во время эволюции кривой градиентного спуска. Он вдохновил на огромный прогресс в смежных областях, и использование численных методов для решения переформулировки набора уровней теперь широко известно как метод установки уровней . Хотя метод установки уровня стал довольно популярным инструментом для реализации активных контуров, Ван и Чан утверждали, что не все уравнения эволюции кривых должны решаться с его помощью напрямую . ^[10]

Более поздние разработки в области активных контуров касаются моделирования региональных свойств, включения априорных значений гибкой формы и полностью автоматической сегментации и т. Д.

Статистические модели, сочетающие локальные и глобальные особенности, были сформулированы Лэнктоном и Алленом Танненбаумом . ^[11]

Связь с разрезами графика [ править ]

Графические разрезы или max-flow / min-cut - это общий метод минимизации особой формы энергии, называемой энергией марковского случайного поля (MRF). Метод разрезов графика также применялся к сегментации изображения, и иногда он превосходит метод установки уровня, когда модель является MRF или может быть аппроксимирована MRF.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Дэвид Янг, март 1995 г.
• Змеи: Active Contours, CVOnline
• Активные контуры, деформируемые модели и векторный градиент потока от Chenyang Xu и Jerry Prince, включая загрузку кода
• ICBE, Манчестерский университет
• Внедрение активных контуров и графический интерфейс тестовой платформы
• Простая реализация змей от доцента Криса Луенго
• Документация MATLAB для активного контура, которая сегментирует изображение с использованием активных контуров

Пример кода [ править ]

• Практические примеры различных змей, разработанные Сюй и Принцем.
• Базовый инструмент для игры со змеями (активные контурные модели) от Тима Кутса, Манчестерский университет
• Реализация в Matlab 2D и 3D змеи, включая GVF и баллонную силу
• Демо Matlab Snake от Криса Бреглера и Малкольма Слэйни , Interval Research Corporation.
• Демонстрация использования Java
• Внедрение Active Contours и графический интерфейс тестовой платформы Николая С. и Алекса Блехман, реализующих «Активные контуры без краев»
• Активная сегментация контуров, автор Шон Лэнктон реализует «Активные контуры без краев»
• Геометрический код активного контура , Ярно Ралли
• Морфологические змеи