Группа автоморфизмов свободной группы
В математической теории групп , группа автоморфизмов свободной группы является дискретной группой из автоморфизмов одного свободной группы . Фактор по внутренним автоморфизмам - это группа внешних автоморфизмов свободной группы , которая в некотором смысле похожа на группу классов отображений поверхности .
Презентация
Якоб Нильсен ( 1924 ) показал, что автоморфизмы, определяемые элементарными преобразованиями Нильсена, порождают полную группу автоморфизмов конечно порожденной свободной группы. Нильсен, а затем Бернхард Neumann использовал эти идеи , чтобы дать конечные презентации из групп автоморфизмов свободных групп. Это также описано в ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 , p. 131, Th 3.2).
Группа автоморфизмов свободной группы с упорядоченным базисом [ x 1 ,…, x n ] порождается следующими 4 элементарными преобразованиями Нильсена :
- Переключатель x 1 и x 2
- Циклически переставляйте x 1 , x 2 ,…, x n , на x 2 ,…, x n , x 1 .
- Заменим x 1 на x 1 −1
- Замените x 1 на x 1 · x 2
Эти преобразования являются аналогами элементарных операций со строками . Преобразования первых двух типов аналогичны перестановкам строк и циклическим перестановкам строк. Преобразования третьего типа соответствуют масштабированию строки обратимым скаляром. Преобразования четвертого типа соответствуют сложениям строк.
Преобразований первых двух типов достаточно для перестановки генераторов в любом порядке, поэтому третий тип может быть применен к любому из генераторов, а четвертый тип - к любой паре генераторов.
Используя эти генераторы, Нильсен дал довольно сложное конечное представление, описанное в ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 , p. 165, раздел 3.5).
использованная литература
- Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Авраам; Солитэр, Дональд (2004), комбинаторная теория групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43830-6, Руководство по ремонту 0207802
- Нильсен, Якоб (1921), "Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien", Math. Tidsskrift Б (Датский), тысяча девятьсот двадцать один : 78-94, СУЛ 48.0123.03
- Нильсен, Якоб (1924), «Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen». , Mathematische Annalen (на немецком языке ), 91 : 169-209, DOI : 10.1007 / BF01556078 , JFM 50.0078.04[ постоянная мертвая ссылка ]
- Фогтманн, Карен (2002), «Автоморфизмы свободных групп и внешнего пространства» (PDF) , Труды конференции по геометрической и комбинаторной теории групп, часть I (Хайфа, 2000), Geometriae Dedicata , 94 : 1–31, doi : 10.1023 / A: 1020973910646 , ISSN 0046-5755 , MR 1950871
