Выход(Фн)

---

В математике Out( Fn ) — группа внешних автоморфизмов свободной группы на _n образующих . Эти группы играют важную роль в геометрической теории групп .

Out( F _n ) действует геометрически на комплекс ячеек, известный как космическое пространство Каллера - Фогтмана , которое можно рассматривать как пространство Тейхмюллера для букета кругов .

Точка внешнего пространства по существу есть -граф X , гомотопически эквивалентный букету из n окружностей вместе с определенным выбором свободного гомотопического класса гомотопической эквивалентности из X букету из n окружностей. -граф — это просто взвешенный граф с весами в . Сумма всех весов должна быть равна 1, и все веса должны быть положительными. Во избежание неоднозначности (и для получения конечномерного пространства) дополнительно требуется, чтобы валентность каждой вершины была не ниже 3.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Более наглядный взгляд, избегающий гомотопической эквивалентности f , состоит в следующем. Мы можем зафиксировать отождествление фундаментальной группы букета из n кругов со свободной группой от n переменных. Кроме того, мы можем выбрать максимальное дерево в X и выбрать направление для каждого оставшегося ребра. Сопоставим теперь каждому оставшемуся ребру e слово in следующим образом. Рассмотрим замкнутый путь, начинающийся с e , а затем возвращающийся к началу e в максимальном дереве. Составляя этот путь с f , мы получаем замкнутый путь в букете из n${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$круги и, следовательно, элемент в своей фундаментальной группе . Этот элемент плохо определен; если мы заменим f свободной гомотопией, мы получим другой элемент. Оказывается, эти два элемента сопряжены друг с другом, и, следовательно, мы можем выбрать единственный циклически приведенный элемент в этом классе сопряженности. По этим данным можно восстановить свободный гомотопический тип f . Преимущество этого представления состоит в том, что он позволяет избежать дополнительного выбора f , а недостаток в том, что возникает дополнительная неоднозначность, поскольку необходимо выбрать максимальное дерево и ориентацию оставшихся ребер.${\displaystyle F_{n}}$

Действие Out( F _n ) во внешнем пространстве определяется следующим образом. Каждый автоморфизм g индуцирует самогомотопическую эквивалентность g' букета из n окружностей. Составление f с g′ дает желаемое действие. А в другой модели это просто применение g и циклическое сокращение полученного слова.${\displaystyle F_{n}}$

Каждая точка в космическом пространстве определяет уникальную функцию длины . Слово в определяет через выбранную гомотопическую эквивалентность замкнутый путь в X . Тогда длина слова является минимальной длиной пути в свободном гомотопическом классе этого замкнутого пути. Такая функция длины постоянна на каждом классе сопряженности. Назначение определяет вложение внешнего пространства в некоторое бесконечномерное проективное пространство.${\displaystyle l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$

---