Уравнение баланса

В теории вероятностей , уравнение баланса является уравнением , которое описывает поток вероятности , связанную с цепью Маркова в и из состояний или множества состояний. ^[1]

Глобальный баланс [ править ]

Уравнения глобального баланса (также известные как уравнения полного баланса ^[2] ) представляют собой набор уравнений, которые характеризуют равновесное распределение (или любое стационарное распределение) цепи Маркова, когда такое распределение существует.

Для непрерывной цепи Маркова с пространством состояний , скоростью перехода из состояния в заданное и равновесным распределением, заданным формулой , уравнения глобального баланса задаются формулой ^[3]${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\displaystyle q_{ij}}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{i}=\sum _{j\in S}\pi _{j}q_{ji},}$

или эквивалентно

${\displaystyle \pi _{i}\sum _{j\in S\setminus \{i\}}q_{ij}=\sum _{j\in S\setminus \{i\}}\pi _{j}q_{ji}.}$

для всех . Здесь представлен поток вероятностей от состояния к состоянию . Таким образом, левая часть представляет собой общий поток из состояния i в состояния, отличные от i , а правая часть представляет собой общий поток из всех состояний в состояние . В общем, решить эту систему уравнений для большинства моделей массового обслуживания сложно с вычислительной точки зрения. ^[4]${\displaystyle i\in S}$${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle i}$

Подробный баланс [ править ]

Для непрерывной цепи Маркова (CTMC) с матрицей скорости переходов , если может быть найдено такое, что для каждой пары состояний и${\displaystyle Q}$${\displaystyle \pi _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}=\pi _{j}q_{ji}}$

выполняется, то при суммировании уравнения глобального баланса удовлетворяются и являются стационарным распределением процесса. ^[5] Если такое решение может быть найдено, полученные уравнения обычно намного проще, чем прямое решение уравнений глобального баланса. ^[4]${\displaystyle j}$${\displaystyle \pi }$

CTMC обратим тогда и только тогда, когда выполняются подробные условия баланса для каждой пары состояний и .${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

A дискретного времени цепи Марков (DTMC) с переходной матрицей и равновесным распределением называется в детальном равновесии , если для всех пар и , ^[6]${\displaystyle P}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \pi _{i}p_{ij}=\pi _{j}p_{ji}.}$

Когда решение может быть найдено, как в случае CTMC, вычисления обычно намного быстрее, чем прямое решение уравнений глобального баланса.

Локальный баланс [ править ]

В некоторых ситуациях члены по обе стороны от уравнений глобального баланса сокращаются. Уравнения глобального баланса затем можно разделить, чтобы получить набор уравнений локального баланса (также известный как уравнения частичного баланса , ^[2] независимые уравнения баланса ^[7] или индивидуальные уравнения баланса ^[8] ). ^[1] Эти уравнения баланса впервые были рассмотрены Питером Уиттлом . ^{[8] [9]} Полученные уравнения находятся где-то между подробным балансом и уравнениями глобального баланса. Любое решение${\displaystyle \pi }$к уравнениям локального баланса всегда является решением уравнений глобального баланса (мы можем восстановить уравнения глобального баланса, суммируя соответствующие уравнения локального баланса), но обратное не всегда верно. ^[2] Часто построение уравнений локального баланса эквивалентно удалению внешних сумм в уравнениях глобального баланса для определенных членов. ^[1]

В 1980 - х считалось , локальный балансом был требованием для равновесного распределения продукта формы , ^{[10] [11]} , но Gelenbe «ы G-сетевая модель показала , что это не так. ^[12]

Заметки [ править ]