Процесс рождения

Процесс рождения с коэффициентами рождаемости .${\ displaystyle \ lambda _ {0}, \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, ...}$

В теории вероятностей , в процессе родов или чистый процессе рождения ^[1] является частным случаем марковского процесса с непрерывным временем и обобщением процесса Пуассона . Он определяет непрерывный процесс, который принимает значения в натуральных числах и может увеличиваться только на единицу («рождение») или оставаться неизменным. Это тип процесса рождения – смерти без смертей. Скорость, с которой происходят роды, задается экспоненциальной случайной величиной , параметр которой зависит только от текущего значения процесса.

Определение [ править ]

Определение рождаемости [ править ]

Процесс рождения с коэффициентами рождаемости и начальным значением - это минимальный непрерывный справа процесс, такой, что время между прибытиями является независимыми экспоненциальными случайными величинами с параметром . ^[2]${\ displaystyle (\ lambda _ {n}, п \ in \ mathbb {N})}$${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle (Х_ {т}, т \ geq 0)}$${\ displaystyle X_ {0} = k}$${\ displaystyle T_ {i} = \ inf \ {t \ geq 0: X_ {t} = i + 1 \} - \ inf \ {t \ geq 0: X_ {t} = i \}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

Бесконечно малое определение [ править ]

Процесс родов с показателями и начальным значением - это такой процесс , который:${\ displaystyle (\ lambda _ {n}, п \ in \ mathbb {N})}$${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle (Х_ {т}, т \ geq 0)}$

• ${\ displaystyle X_ {0} = k}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{s}\leq X_{t}}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t}+1)=\lambda _{X_{t}}h+o(h)}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t})=o(h)}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{t}-X_{s}}$ не зависит от ${\displaystyle (X_{u},u<s)}$

(Третье и четвертое условие используют мало обозначений.)

Эти условия гарантируют, что процесс начинается с , не убывает и имеет независимые одиночные рождения постоянно с частотой , когда процесс имеет ценность . ^[3]${\displaystyle i}$${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle n}$

Определение цепи Маркова с непрерывным временем [ править ]

Процесс рождения можно определить как марковский процесс с непрерывным временем (CTMC) с ненулевыми элементами Q-матрицы и начальным распределением (случайная величина, которая принимает значение с вероятностью 1). ^[4]${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$${\displaystyle q_{n,n+1}=\lambda _{n}=-q_{n,n}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda _{0}&\lambda _{0}&0&0&\cdots \\0&-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\cdots \\0&0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \ddots \end{pmatrix}}}$

Варианты [ править ]

Некоторые авторы требуют , чтобы процесс рождения начинается с 0 т.е. , ^[3] в то время как другие позволяют начальное значение , которое будет дано в распределении вероятностей на множестве натуральных чисел. ^[2] Пространство состояний может включать бесконечность в случае взрывного процесса рождения. ^[2] Уровень рождаемости также называют интенсивностью. ^[3]${\displaystyle X_{0}=0}$

Свойства [ править ]

Что касается ЦТМК, то процесс рождения имеет марковское свойство . Определения CTMC для общения классов, несводимости и т. Д. Применимы к процессам рождения. В силе условий для повторения и скоротечности в процессе рождения смерти , ^[5] любой процесс , при рождении является временнымами. Матрицы переходов процесса рождения удовлетворяют прямым и обратным уравнениям Колмогорова .${\displaystyle ((p_{i,j}(t))_{i,j\in \mathbb {N} }),t\geq 0)}$

Обратные уравнения: ^[6]

${\displaystyle p'_{i,j}(t)=\lambda _{i}(p_{i,j+1}(t)-p_{i,j}(t))}$(для )${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$

Прямые уравнения: ^[7]

${\displaystyle p'_{i,i}(t)=-\lambda _{i}p_{i,i}(t)}$(для )${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p'_{i,j}(t)=\lambda _{j-1}p_{i,j-1}(t)-\lambda _{i}p_{i,j}(t)}$(для )${\displaystyle j\geq i+1}$

Из прямых уравнений следует, что: ^[7]

${\displaystyle p_{i,i}(t)=e^{-\lambda _{i}t}}$(для )${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p_{i,j}(t)=\lambda _{j-1}e^{-\lambda _{i}t}\int _{0}^{t}e^{\lambda _{j}s}p_{i,j-1}(s)\,ds}$(для )${\displaystyle j\geq i+1}$

В отличие от процесса Пуассона, процесс рождения может иметь бесконечно много рождений за конечный промежуток времени. Мы определяем и говорим, что процесс рождения взрывается, если он конечен. Если, то с вероятностью 1 процесс носит взрывной характер; в противном случае он невзрывоопасен с вероятностью 1 («честный»). ^{[8] [9]}${\displaystyle T_{\infty }=\sup\{T_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle T_{\infty }}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}<\infty }$

Примеры [ править ]

Пуассона процесс является процессом рождения , где уровень рождаемости постоянны т.е. для некоторых . ^[3]${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda }$${\displaystyle \lambda >0}$

Простой процесс рождения [ править ]

Простой процесс рождения является процессом рождения с показателями . ^[10] Он моделирует популяцию, в которой каждый человек рожает неоднократно и независимо со скоростью . Удный Юл изучал эти процессы, поэтому они могут быть известны как процессы Юля . ^[11]${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda }$${\displaystyle \lambda }$

Количество рождений во времени в результате простого процесса рождения населения определяется как: ^[3]${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{n,n+m}(t)={\binom {n}{m}}(\lambda t)^{m}(1-\lambda t)^{n-m}+o(h)}$

В точном виде количество рождений представляет собой отрицательное биномиальное распределение с параметрами и . В частном случае это геометрическое распределение с вероятностью успеха . ^[12]${\displaystyle n}$${\displaystyle e^{-\lambda t}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle e^{-\lambda t}}$

Ожидание процесса растет экспоненциально; конкретно, если то . ^[10]${\displaystyle X_{0}=1}$${\displaystyle \mathbb {E} (X_{t})=e^{\lambda t}}$

Простой процесс рождения с иммиграцией - это модификация этого процесса с учетом ставок . Это моделирует население, рождаемое каждым членом населения, в дополнение к постоянной скорости иммиграции в систему. ^[3]${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda +\nu }$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гримметт, Г.Р . ; Стирзакер, Д.Р. (1992). Вероятность и случайные процессы (второе изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 0198572220.
• Карлин, Самуэль ; МакГрегор, Джеймс (1957). «Классификация процессов рождения и смерти» (PDF) . Труды Американского математического общества . 86 (2): 366–400.
• Норрис, младший (1997). Цепи Маркова . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780511810633.
• Росс, Шелдон М. (2010). Введение в вероятностные модели (десятое изд.). Академическая пресса. ISBN 9780123756862.
• Upton, G .; Кук, И. (2014). Статистический словарь (третье изд.). ISBN 9780191758317.