В комплексном анализе , области математики , теорема Блоха дает нижнюю границу размера диска, в котором существует обратная голоморфная функция . Он назван в честь Андре Блоха .
Пусть f — голоморфная функция в единичном круге | г | ≤ 1. Предположим, что | f′ (0)| = 1. Тогда существует круг радиуса b и аналитическая функция φ в этом круге такие, что f (φ( z )) = z для всех z в этом круге. Здесь b > 1/72 — абсолютная константа.
Если f — голоморфная функция в единичном круге со свойством | f′ (0)| = 1, то образ f содержит круг радиуса l , где l ≥ b — абсолютная константа.
Теорема. Если f непостоянная целая функция, то существуют круги D сколь угодно большого радиуса и аналитические функции φ в D такие, что f (φ( z )) = z для z в D .
Сначала докажем случай, когда f (0) = 0, f′ (0) = 1 и | f′ ( z )| ≤ 2 в единичном круге. По интегральной формуле Коши имеем оценку
где γ - окружность против часовой стрелки радиуса r вокруг z и 0 < r < 1 − | я |. По теореме Тейлора для каждого z в единичном круге существует 0 ≤ t ≤ 1 такое, что f ( z ) = z + z 2 f″ ( tz )/2. Таким образом, если | г | = 1/3 и | ш | < 1/6, имеем