Блокировка (статистика)

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В статистической теории планирования экспериментов , блокирование является обустройства экспериментальных единиц в группах (блоки), которые подобны друг другу.

Используйте [ редактировать ]

Блокировка снижает необъяснимую изменчивость. Его принцип заключается в том, что непреодолимая изменчивость (например, необходимость двух партий сырья для производства 1 контейнера с химическим веществом) смешивается или налагается на взаимодействие (n) (высший / высший порядок), чтобы исключить его влияние на конечный продукт. Взаимодействия высокого порядка обычно имеют наименьшее значение (подумайте о том факте, что температура реактора или партии сырья более важна, чем их комбинация - это особенно верно, когда больше (3, 4, ...) факторы присутствуют); таким образом, предпочтительно смешать эту изменчивость с более высоким взаимодействием.

Примеры [ править ]

• Мужчина и женщина : эксперимент предназначен для тестирования нового препарата на пациентах. Есть два уровня лечения, лекарства и плацебо , вводимые мужского и женского пола пациентов в двойном слепом испытании. Пол пациента является блокирующим фактором, влияющим на вариабельность лечения мужчин и женщин . Это уменьшает источники изменчивости и, следовательно, приводит к большей точности.
• Высота : эксперимент предназначен для проверки воздействия нового пестицида на конкретный участок травы. Зона травы имеет большое изменение высоты и, таким образом, состоит из двух отдельных областей - «высокий уровень» и «низкий уровень». Группу обработки (новый пестицид) и группу плацебо применяют как для высоких, так и для низких участков травы. В этом случае исследователь блокирует фактор повышения, который может объяснять вариабельность применения пестицида.
• Вмешательство : Предположим, изобретен процесс, который продлевает срок службы подошвы обуви, и сформирован план проведения полевых испытаний. Для группы из n добровольцев одним из возможных вариантов было бы дать n / 2 из них обуви с новой подошвой и n / 2 из них обуви с обычной подошвой, случайным образом распределив эти два типа подошв. Этот тип эксперимента представляет собой полностью рандомизированный дизайн.. Затем обе группы просят надеть обувь в течение определенного периода времени, а затем измеряют степень износа подошвы. Это работоспособный экспериментальный план, но чисто с точки зрения статистической точности (игнорируя любые другие факторы), лучшим вариантом было бы дать каждому человеку одну обычную подошву и одну новую подошву, случайным образом назначив два типа слева и правый ботинок каждого добровольца. Такой дизайн называется «рандомизированный полный блочный дизайн ». Этот дизайн будет более чувствительным, чем первый, потому что каждый человек действует как свой собственный контроль, и, таким образом, контрольная группа более точно соответствует группе лечения .

Рандомизированный дизайн блока [ править ]

В статистической теории планирования экспериментов блокирование - это объединение экспериментальных единиц в группы (блоки), похожие друг на друга. Обычно блокирующий фактор является источником изменчивости, который не представляет особого интереса для экспериментатора. Примером блокирующего фактора может быть пол пациента; блокируя пол, этот источник изменчивости контролируется, что приводит к большей точности.

В теории вероятностей метод блоков состоит из разбиения выборки на блоки (группы), разделенные более мелкими подблоками, так что блоки можно считать почти независимыми. Метод блоков помогает доказывать предельные теоремы в случае зависимых случайных величин.

Метод блоков был введен С. Бернштейном :

Бернштейн С.Н. (1926) Sur l'extension du théorème limit du исчисление вероятностей aux sommes de Quantités dependantes. Математика. Аннален, т. 97, 1-59.

Метод был успешно применен в теории сумм зависимых случайных величин и в теории экстремальных значений:

Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. (1971) Независимые и стационарные последовательности случайных величин. Вольтерс-Нордхофф, Гронинген.

Лидбеттер М. Р., Линдгрен Г. и Рутцен Х. (1983) Экстремальные и связанные с ними свойства случайных последовательностей и процессов. Нью-Йорк: Springer Verlag.

Новак С.Ю. (2011) Методы экстремальной ценности с приложениями к финансам. Chapman & Hall / CRC Press, Лондон.

Блокировка, используемая для раздражающих факторов, которыми можно управлять [ править ]

Когда мы можем контролировать мешающие факторы, можно использовать важный метод, известный как блокирование, для уменьшения или устранения вклада в экспериментальную ошибку, вносимого мешающими факторами. Основная идея заключается в создании однородных блоков, в которых факторы помех остаются постоянными, а интересующий фактор может изменяться. Внутри блоков можно оценить влияние различных уровней интересующего фактора, не беспокоясь о вариациях из-за изменений факторов блока, которые учитываются в анализе.

Определение блокирующих факторов [ править ]

Фактор неприятности используется в качестве фактора блокировки, если каждый уровень основного фактора встречается одинаковое количество раз с каждым уровнем фактора помехи. Анализ эксперимента будет сосредоточен на влиянии различных уровней основного фактора в каждом блоке эксперимента.

Заблокируйте несколько наиболее важных факторов, мешающих [ править ]

Общее правило:

«Заблокируйте то, что можете; рандомизируйте то, что вы не можете ».

Блокирование используется для устранения влияния нескольких наиболее важных мешающих переменных. Затем используется рандомизация для уменьшения негативного воздействия оставшихся мешающих переменных. Для важных мешающих переменных блокирование даст более высокую значимость интересующих переменных, чем рандомизация.

Таблица [ править ]

Один из полезных способов взглянуть на рандомизированный блочный эксперимент - это рассматривать его как набор полностью рандомизированных экспериментов, каждый из которых запускается в рамках одного из блоков общего эксперимента.

Рандомизированные блочные конструкции (RBD)

Название дизайна	Количество факторов k	Количество прогонов n
2-факторный RBD	2	L 1 * L 2
3-факторный RBD	3	L 1 * L 2 * L 3
4-факторный RBD	4	Л 1 * Л 2 * Л 3 * Л 4
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
k -фактор RBD	k	L 1 * L 2 * * L к${\ displaystyle \ cdots}$

с

L ₁ = количество уровней (настроек) фактора 1

L ₂ = количество уровней (настроек) фактора 2

L ₃ = количество уровней (настроек) фактора 3

L ₄ = количество уровней (настроек) фактора 4

${\ displaystyle \ vdots}$

L _k = количество уровней (настроек) коэффициента k

Пример [ править ]

Предположим, инженеры на предприятии по производству полупроводников хотят проверить, оказывают ли различные дозировки материала имплантата пластины существенное влияние на измерения удельного сопротивления после процесса диффузии, происходящего в печи. У них есть четыре разных дозировки, которые они хотят попробовать, и достаточно экспериментальных пластин из одной партии, чтобы запустить три пластины при каждой дозировке.

Фактором неудобства, с которым они сталкиваются, является «ход печи», поскольку известно, что каждый прогон печи отличается от предыдущего и влияет на многие параметры процесса.

Идеальный способ провести этот эксперимент - запустить все пластины 4x3 = 12 в одной печи. Это полностью устранило бы мешающий фактор печи. Тем не менее, обычные производственные пластины имеют приоритет в печи, и только несколько экспериментальных пластин допускаются в любую печь одновременно.

Незаблокированный способ провести этот эксперимент - запустить каждую из двенадцати экспериментальных пластин в случайном порядке, по одной на прогон печи. Это увеличило бы экспериментальную ошибку каждого измерения удельного сопротивления из-за вариабельности работы печи и затруднило бы изучение эффектов различных дозировок. Заблокированный способ проведения этого эксперимента, предполагающий, что вы можете убедить производство позволить вам поместить четыре экспериментальных пластины в печь, будет помещать четыре пластины с разными дозировками в каждую из трех прогонов печи. Единственная случайная выборка будет заключаться в выборе того, какая из трех пластин с дозировкой 1 попадет в печь 1, и аналогично для пластин с дозировкой 2, 3 и 4.

Описание эксперимента [ править ]

Пусть X ₁ будет «уровнем» дозировки, а X ₂ - коэффициентом блокировки при работе печи. Тогда эксперимент можно описать следующим образом:

k = 2 фактора (1 первичный фактор X ₁ и 1 блокирующий фактор X ₂ )

L ₁ = 4 уровня фактора X ₁

L ₂ = 3 уровня фактора X ₂

n = 1 репликация на ячейку

N = L ₁ * L ₂ = 4 * 3 = 12 прогонов

Перед рандомизацией испытания дизайна выглядят так:

Матричное представление [ править ]

Альтернативный способ подытожить испытания конструкции - использовать матрицу 4x3, 4 строки которой являются уровнями обработки X _1, а столбцы - 3 уровнями блокирующей переменной X ₂ . Ячейки в матрице имеют индексы, которые соответствуют комбинациям X ₁ , X _2, указанным выше.

Кроме того, обратите внимание, что испытания для любой схемы рандомизированных блоков с K-фактором - это просто индексы ячеек k- мерной матрицы.

Модель [ править ]

Модель для рандомизированного блочного дизайна с одной мешающей переменной:

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +T_{i}+B_{j}+\mathrm {random\ error} }$

куда

Y _ij - любое наблюдение, для которого X ₁ = i и X ₂ = j

X ₁ - главный фактор

X ₂ - коэффициент блокировки

μ - общий параметр местоположения (т.е. среднее значение)

T _i - эффект от лечения i (фактора X ₁ )

B _j - эффект нахождения в блоке j (фактора X ₂ )

Оценки [ править ]

Оценка для μ: = среднее значение всех данных${\displaystyle {\overline {Y}}}$

Оценка для T _i  : с = среднее значение всех Y, для которых X ₁ = i .${\displaystyle {\overline {Y}}_{i\cdot }-{\overline {Y}}}$${\displaystyle {\overline {Y}}_{i\cdot }}$

Оценка для B _j  : с = среднее значение всех Y, для которых X ₂ = j .${\displaystyle {\overline {Y}}_{\cdot j}-{\overline {Y}}}$${\displaystyle {\overline {Y}}_{\cdot j}}$

Обобщения [ править ]

• Обобщенные рандомизированные блочные схемы (GRBD) позволяют проводить тесты взаимодействия блока и лечения и имеют ровно один блокирующий фактор, как RCBD.
• Латинские квадраты (и другие конструкции строка-столбец) имеют два блокирующих фактора, которые, как считается, не взаимодействуют друг с другом.
• Выборка латинского гиперкуба
• Греко-латинские квадраты
• Гипер-греко-латинский квадратный дизайн

Теоретическая база [ править ]

Теоретической основой блокировки является следующий математический результат. Учитывая случайные величины, X и Y

${\displaystyle \operatorname {Var} (X-Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)-2\operatorname {Cov} (X,Y).}$

Разница между обработкой и контролем таким образом , может быть предоставлена минимальной дисперсией (т.е. максимальной точности) путем максимизации ковариации (или корреляцию) между X и Y .

См. Также [ править ]

• Алгебраическая статистика
• Блочный дизайн
• Комбинаторный дизайн
• Обобщенный рандомизированный блочный дизайн
• Глоссарий экспериментального дизайна
• Оптимальный дизайн
• Тест парных различий
• Рандомизированный блочный дизайн
• Зависимые и независимые переменные

Ссылки [ править ]

•  Эта статья включает материалы, являющиеся  общественным достоянием, с веб-сайта Национального института стандартов и технологий https://www.nist.gov .

Библиография [ править ]

• Аддельман, С. (1969). «Обобщенный рандомизированный блочный дизайн». Американский статистик . 23 (4): 35–36. DOI : 10.2307 / 2681737 . JSTOR  2681737 .
• Аддельман, С. (1970). «Вариативность методов и экспериментальных единиц в дизайне и анализе экспериментов». Журнал Американской статистической ассоциации . 65 (331): 1095–1108. DOI : 10.2307 / 2284277 . JSTOR  2284277 .
• Анскомб, Ф.Дж. (1948). «Достоверность сравнительных экспериментов». Журнал Королевского статистического общества . Генерал). 111 (3): 181–211. DOI : 10.2307 / 2984159 . JSTOR  2984159 . Руководство по ремонту  0030181 .
• Бейли, Р. А (2008). Дизайн сравнительных экспериментов . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-68357-9. Архивировано из оригинала на 2018-03-22. Главы перед публикацией доступны в режиме онлайн.
• Бапат, РБ (2000). Линейная алгебра и линейные модели (второе изд.). Springer. ISBN 978-0-387-98871-9.
• Калински Т. и Кагеяма С. (2000). Блочные конструкции: подход рандомизации, Том I : Анализ . Конспект лекций по статистике. 150 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98578-6.
• Калински Т. и Кагеяма С. (2003). Блочные конструкции: подход рандомизации, Том II : Дизайн . Конспект лекций по статистике. 170 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95470-8. MR  1994124 .
• Гейтс, CE (ноябрь 1995 г.). «Что такое экспериментальная ошибка в конструкциях блоков?». Американский статистик . 49 (4): 362–363. DOI : 10.2307 / 2684574 . JSTOR  2684574 .
• Кемпторн, Оскар (1979). Планирование и анализ экспериментов (исправленная перепечатка (1952) изд. Wiley). Роберт Э. Кригер. ISBN 0-88275-105-0.
• Хинкельманн, Клаус и Кемпторн, Оскар (2008). Планирование и анализ экспериментов . I и II (Второе изд.). Вайли. ISBN 978-0-470-38551-7.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  • Хинкельманн, Клаус и Кемпторн, Оскар (2008). Планирование и анализ экспериментов, Том I: Введение в экспериментальный дизайн (второе изд.). Вайли. ISBN 978-0-471-72756-9.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  • Хинкельманн, Клаус и Кемпторн, Оскар (2005). Планирование и анализ экспериментов, Том 2: Расширенный экспериментальный дизайн (Первое издание). Вайли. ISBN 978-0-471-55177-5.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Лентнер, Марвин; Томас Бишоп (1993). «Обобщенный проект RCB (Глава 6.13)». Экспериментальный дизайн и анализ (второе изд.). PO Box 884, Blacksburg, VA 24063: Valley Book Company. С. 225–226. ISBN 0-9616255-2-X.CS1 maint: location (link)
• Рагхаварао, Дамараджу (1988). Конструкции и комбинаторные проблемы в планировании экспериментов (исправленное перепечатка изд. Wiley 1971 г.). Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-65685-3.
• Рагхаварао, Дамараджу и Паджетт, Л.В. (2005). Блочные конструкции: анализ, комбинаторика и приложения . World Scientific. ISBN 981-256-360-1.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Шах, Кирти Р. и Синха, Бикас К. (1989). Теория оптимальных конструкций . Конспект лекций по статистике . 54 . Springer-Verlag. С. 171 + viii. ISBN 0-387-96991-8.
• Улица, Энн Пенфолд ; Улица, Дебора Дж. (1987). Комбинаторика экспериментального дизайна . Оксфорд UP [Кларендон]. ISBN 0-19-853256-3.
• Вилк, МБ (1955). «Рандомизационный анализ обобщенного рандомизированного блочного дизайна». Биометрика . 42 (1–2): 70–79. DOI : 10.2307 / 2333423 . JSTOR  2333423 .
• Зискинд, Джордж (1963). «Некоторые последствия рандомизации в обобщении сбалансированного неполного блочного дизайна» . Анналы математической статистики . 34 (4): 1569–1581. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177703889 . JSTOR  2238364 .