В математике , интеграл Borwein является неотъемлемой чьи необычные свойства были впервые представлены математиками Дэвид Боруэин и Джонатан Боруэин в 2001 году [1] интегралов Borwein включать продукты s я п c ( а Икс ) {\ Displaystyle \ mathrm {sinc} (топор)} , где функция sinc определяется выражением s я п c ( Икс ) знак равно грех ( Икс ) / Икс {\ Displaystyle \ mathrm {sinc} (х) = \ грех (х) / х} для Икс {\ displaystyle x} не равно 0, и s я п c ( 0 ) знак равно 1 {\ Displaystyle \ mathrm {sinc} (0) = 1} . [1] [2]
Эти интегралы примечательны тем, что демонстрируют очевидные закономерности, которые в конечном итоге разрушаются. Ниже приводится пример.
∫ 0 ∞ грех ( Икс ) Икс d Икс знак равно π 2 ∫ 0 ∞ грех ( Икс ) Икс грех ( Икс / 3 ) Икс / 3 d Икс знак равно π 2 ∫ 0 ∞ грех ( Икс ) Икс грех ( Икс / 3 ) Икс / 3 грех ( Икс / 5 ) Икс / 5 d Икс знак равно π 2 {\ displaystyle {\ begin {align} & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}} \\ [10pt] & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ , dx = {\ frac {\ pi} {2}} \\ [10pt] & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} {\ frac {\ sin (x / 5)} {x / 5}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}} \ end {выровнено }}} Этот образец продолжается до
∫ 0 ∞ грех ( Икс ) Икс грех ( Икс / 3 ) Икс / 3 ⋯ грех ( Икс / 13 ) Икс / 13 d Икс знак равно π 2 . {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}.} На следующем этапе очевидная закономерность не работает,
∫ 0 ∞ грех ( Икс ) Икс грех ( Икс / 3 ) Икс / 3 ⋯ грех ( Икс / 15 ) Икс / 15 d Икс знак равно 467807924713440738696537864469 935615849440640907310521750000 π знак равно π 2 - 6879714958723010531 935615849440640907310521750000 π ≈ π 2 - 2.31 × 10 - 11 . {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15}} \, dx & = {\ frac {467807924713440738696537864469} {935615849440640907310521750000}} ~ \ pi \\ [5pt] & = {\ frac { \ pi} {2}} - {\ frac {6879714958723010531} {935615849440640907310521750000}} ~ \ pi \\ [5pt] & \ приблизительно {\ frac {\ pi} {2}} - 2,31 \ times 10 ^ {- 11} . \ end {выровнено}}} В общем случае подобные интегралы имеют значение π / 2 всякий раз, когда числа 3, 5, 7… заменяются положительными действительными числами, так что сумма их обратных чисел меньше 1.
В приведенном выше примере 1 / 3 + 1 / 5 +… + 1 / 13 <1, но1 / 3 + 1 / 5 +… + 1 / 15 > 1.
С учетом дополнительного фактора 2 потому что ( Икс ) {\ Displaystyle 2 \ соз (х)} , шаблон сохраняется и в более длинных сериях, [3]
∫ 0 ∞ 2 потому что ( Икс ) грех ( Икс ) Икс грех ( Икс / 3 ) Икс / 3 ⋯ грех ( Икс / 111 ) Икс / 111 d Икс знак равно π 2 , {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 2 \ cos (x) {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 111)} {x / 111}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}},} но
∫ 0 ∞ 2 потому что ( Икс ) грех ( Икс ) Икс грех ( Икс / 3 ) Икс / 3 ⋯ грех ( Икс / 111 ) Икс / 111 грех ( Икс / 113 ) Икс / 113 d Икс < π 2 . {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 2 \ cos (x) {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 111)} {x / 111}} {\ frac {\ sin (x / 113)} {x / 113}} \, dx <{\ frac {\ pi } {2}}.} В таком случае, 1 / 3 + 1 / 5 +… + 1 / 111 <2, но1 / 3 + 1 / 5 +… + 1 / 113 > 2.
Причина разрушения исходной и расширенной серий была продемонстрирована интуитивно понятным математическим объяснением. [4] [5] В частности, переформулировка случайного блуждания с аргументом причинности проливает свет на нарушение закономерностей и открывает путь для ряда обобщений. [6]
Учитывая последовательность ненулевых действительных чисел, а 0 , а 1 , а 2 , … {\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots} , общая формула для интеграла
∫ 0 ∞ ∏ k знак равно 0 п грех ( а k Икс ) а k Икс d Икс {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ prod _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} \, dx} можно дать. [1] Чтобы сформулировать формулу, нужно будет рассматривать суммы, включающие а k {\ displaystyle a_ {k}} . В частности, если γ знак равно ( γ 1 , γ 2 , … , γ п ) ∈ { ± 1 } п {\ displaystyle \ gamma = (\ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}, \ ldots, \ gamma _ {n}) \ in \ {\ pm 1 \} ^ {n}} является п {\ displaystyle n} -температура, где каждая запись ± 1 {\ displaystyle \ pm 1} , то пишем б γ знак равно а 0 + γ 1 а 1 + γ 2 а 2 + ⋯ + γ п а п {\ displaystyle b _ {\ gamma} = a_ {0} + \ gamma _ {1} a_ {1} + \ gamma _ {2} a_ {2} + \ cdots + \ gamma _ {n} a_ {n}} , которая представляет собой разновидность чередующейся суммы первых нескольких а k {\ displaystyle a_ {k}} , и мы устанавливаем ε γ знак равно γ 1 γ 2 ⋯ γ п {\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ gamma} = \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ cdots \ gamma _ {п}} , который либо ± 1 {\ displaystyle \ pm 1} . В этих обозначениях значение интеграла, приведенного выше, равно
∫ 0 ∞ ∏ k знак равно 0 п грех ( а k Икс ) а k Икс d Икс знак равно π 2 а 0 C п {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ prod _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2a_ {0}}} C_ {n}} где
C п знак равно 1 2 п п ! ∏ k знак равно 1 п а k ∑ γ ∈ { ± 1 } п ε γ б γ п sgn ( б γ ) {\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {1} {2 ^ {n} n! \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}} \ sum _ {\ gamma \ in \ { \ pm 1 \} ^ {n}} \ varepsilon _ {\ gamma} b _ {\ gamma} ^ {n} \ operatorname {sgn} (b _ {\ gamma})} В случае, когда а 0 > | а 1 | + | а 2 | + ⋯ + | а п | {\ displaystyle a_ {0}> | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ cdots + | a_ {n} |} , у нас есть C п знак равно 1 {\ displaystyle C_ {n} = 1} .
Кроме того, если есть п {\ displaystyle n} так что для каждого k знак равно 0 , … , п - 1 {\ Displaystyle к = 0, \ ldots, п-1} у нас есть 0 < а п < 2 а k {\ displaystyle 0 а также а 1 + а 2 + ⋯ + а п - 1 < а 0 < а 1 + а 2 + ⋯ + а п - 1 + а п {\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n-1} , что обозначает п {\ displaystyle n} это первое значение, когда частичная сумма первого п {\ displaystyle n} элементы последовательности превышают а 0 {\ displaystyle a_ {0}} , тогда C k знак равно 1 {\ displaystyle C_ {k} = 1} для каждого k знак равно 0 , … , п - 1 {\ Displaystyle к = 0, \ ldots, п-1} но
C п знак равно 1 - ( а 1 + а 2 + ⋯ + а п - а 0 ) п 2 п - 1 п ! ∏ k знак равно 1 п а k {\ displaystyle C_ {n} = 1 - {\ frac {(a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n} -a_ {0}) ^ {n}} {2 ^ {n-1 } п! \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}}} Первый пример - это случай, когда а k знак равно 1 2 k + 1 {\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2k + 1}}} .
Обратите внимание, что если п знак равно 7 {\ displaystyle n = 7} тогда а 7 знак равно 1 15 {\ displaystyle a_ {7} = {\ frac {1} {15}}} а также 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 13 ≈ 0,955 {\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} \ приблизительно 0,955} но 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 13 + 1 15 ≈ 1.02 {\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {15}} \ приблизительно 1,02} , потому, что а 0 знак равно 1 {\ displaystyle a_ {0} = 1} , мы получаем это
∫ 0 ∞ грех ( Икс ) Икс грех ( Икс / 3 ) Икс / 3 ⋯ грех ( Икс / 13 ) Икс / 13 d Икс знак равно π 2 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ гидроразрыв {\ sin (x / 13)} {x / 13}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}} что остается верным, если мы удалим любой из продуктов, но это
∫ 0 ∞ грех ( Икс ) Икс грех ( Икс / 3 ) Икс / 3 ⋯ грех ( Икс / 15 ) Икс / 15 d Икс знак равно π 2 ( 1 - ( 3 - 1 + 5 - 1 + 7 - 1 + 9 - 1 + 11 - 1 + 13 - 1 + 15 - 1 - 1 ) 7 2 6 ⋅ 7 ! ⋅ ( 1 / 3 ⋅ 1 / 5 ⋅ 1 / 7 ⋅ 1 / 9 ⋅ 1 / 11 ⋅ 1 / 13 ⋅ 1 / 15 ) ) {\ displaystyle {\ begin {align} & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15}} \, dx \\ [5pt] = {} & {\ frac {\ pi} {2}} \ left (1 - {\ frac {(3 ^ {- 1} +5 ^ {- 1} +7 ^ {- 1} +9 ^ {- 1} +11 ^ {- 1} +13 ^ {- 1} + 15 ^ {-1} -1) ^ {7}} {2 ^ {6} \ cdot 7! \ Cdot (1/3 \ cdot 1/5 \ cdot 1/7 \ cdot 1/9 \ cdot 1/11 \ cdot 1/13 \ cdot 1/15)}} \ right) \ end {align}}} что равно значению, указанному ранее.