В математической области теории порядка , частично упорядоченное множество является ограниченным полным , если все его подмножеством , которые имеют некоторые верхнюю границу также имеет точную верхнюю грань . Такой частичный порядок также можно назвать согласованно или когерентно полным ( Visser 2004, p. 182 ), поскольку любую верхнюю границу набора можно интерпретировать как некоторую согласованную(непротиворечивый) фрагмент информации, который расширяет всю информацию, представленную в наборе. Следовательно, наличие некоторой верхней границы в некотором роде гарантирует непротиворечивость набора. Тогда ограниченная полнота приводит к существованию наименьшей верхней границы любого «непротиворечивого» подмножества, которое можно рассматривать как наиболее общую часть информации, охватывающую все знания, имеющиеся в этом подмножестве. Этот взгляд тесно связан с идеей упорядочения информации, которая обычно встречается в теории предметной области .
Формально частично упорядоченное множество ( P , ≤) является ограниченно полным, если для любого подмножества S из P выполняется следующее :
- Если S имеет некоторую верхнюю границу, то она также имеет наименьшую верхнюю границу.
Ограниченная полнота имеет различные отношения к другим свойствам полноты, которые подробно описаны в статье о полноте в теории порядка . Термин ограниченный чум иногда используется для обозначения частично упорядоченного множества, которое имеет как наименьший, так и наибольший элемент . Следовательно, важно различать ограниченно-полный ч.у. и ограниченный полный частичный порядок (cpo).
В качестве типичного примера ограниченно-полного ЧУМ рассмотрим набор всех конечных десятичных чисел, начинающихся с «0». (например, 0,1, 0,234, 0,122) вместе со всеми бесконечными такими числами (например, десятичное представление 0,1111 ... 1/9). Теперь эти элементы можно упорядочить на основе префиксного порядка слов: десятичное число n находится ниже некоторого другого числа m, если есть строка цифр w такая, что nw = m . Например, 0,2 меньше 0,234, поскольку последнее можно получить, добавив строку «34» к 0,2. Бесконечные десятичные числа являются максимальными элементами в этом порядке. В общем, подмножества этого порядка не имеют наименьших верхних границ: просто рассмотрите набор {0.1, 0.3}. Оглядываясь назад на приведенную выше интуицию, можно сказать, что неверно предполагать, что какое-то число начинается и с 0,1, и с 0,3. Однако заказ по-прежнему ограниченно завершен. Фактически, это даже пример более специализированного класса структур, доменов Скотта , которые предоставляют множество других примеров ограниченно-полных множеств.
Рекомендации
- Виссер, А. (2004) «Семантика и парадокс лжецов» в: DM Gabbay and F. Günther (ed.) Handbook of Philosophical Logic, 2nd Edition, Volume 11, pp. 149 - 240