Теорема Брука – Райзера – Чоулы – это результат комбинаторики блочных схем , который подразумевает отсутствие определенных видов схем . В нем говорится, что если существует ( v , b , r , k , λ)-дизайн с v = b ( симметричный блочный дизайн ), то:
Теорема была доказана в случае проективных плоскостей Bruck & Ryser (1949) . Он был распространен на симметричные конструкции Chowla & Ryser (1950) .
В частном случае симметричного плана с λ = 1, т. е. проективной плоскости , теорема (которая в данном случае называется теоремой Брука–Райзера ) может быть сформулирована следующим образом: если конечная проективная плоскость порядка q существует и q сравнимо с 1 или 2 (mod 4), то q должно быть суммой двух квадратов. Заметим, что для проективной плоскости параметрами дизайна являются v = b = q 2 + q + 1, r = k = q + 1, λ = 1. Таким образом, v в этом случае всегда нечетно.
Теорема, например, исключает существование проективных плоскостей порядков 6 и 14, но допускает существование плоскостей порядков 10 и 12. Поскольку было показано, что проективная плоскость 10-го порядка не существует, используя комбинацию теории кодирования и крупномасштабный компьютерный поиск, [1] условие теоремы, очевидно, недостаточно для существования схемы. Однако более сильный общий критерий несуществования неизвестен.
Существование симметричного ( v , b , r , k , λ)-плана эквивалентно существованию матрицы инцидентности v × v R с элементами 0 и 1, удовлетворяющими
где I - единичная матрица v × v , а J - матрица v × v all-1. По сути, теорема Брука–Райзера–Чоулы представляет собой формулировку необходимых условий существования рациональной матрицы размера v × v , удовлетворяющей этому уравнению. На самом деле условия, сформулированные в теореме Брука–Райзера–Чоулы, не только необходимы, но и достаточны для существования такой рациональной матрицы R . Их можно вывести из теоремы Хассе-Минковского о рациональной эквивалентности квадратичных форм .