Проблема Бюхи , также известная как проблема n квадратов , является открытой проблемой теории чисел, названной в честь швейцарского математика Юлиуса Рихарда Бючи . Он спрашивает, существует ли такое положительное целое число M , что каждая последовательность из M или более целых квадратов, вторая разность которых постоянна и равна 2, обязательно является последовательностью квадратов формы ( x + i ) 2 , i = 1, 2, ..., M , ... для некоторого целого x . В 1983 году Дуглас Хенслизаметил, что проблема Бюхи эквивалентна следующему: существует ли такое положительное целое число M , что для всех целых чисел x и a величина ( x + n ) 2 + a не может быть квадратом для более чем M последовательных значений n , если а = 0?
Постановка проблемы Бючи
Проблему Бюхи можно сформулировать следующим образом: существует ли такое натуральное число M , что система уравнений
есть только решения, удовлетворяющие
Поскольку первое отличие последовательности это последовательность , второе отличие является
Следовательно, указанная выше система уравнений эквивалентна одному уравнению
где неизвестное - это последовательность .
Примеры
Обратите внимание, что для любого целого x мы имеем
Следовательно, уравнение имеет решения, называемые тривиальными последовательностями Бюхи длины три , такие, что а также . Например, последовательности (2, 3, 4) и (2, −3, 4) являются тривиальными последовательностями Бюхи. Нетривиальная последовательность Бюхи длинами три дана, например, в последовательности (0, 7, 10), так как она удовлетворяет 10 2 - 2 · 7 2 +- 2 = 2, а 0 2 , 7 2 и 10 2 не являются последовательными квадраты.
Замена x на x + 1 в уравнении, мы получаем . Отсюда система уравнений
имеет тривиальные решения Бюхи длины 4, а именно то, что удовлетворяет для n = 0, 1, 2, 3. В 1983 г. Д. Хенсли показал, что существует бесконечно много нетривиальных последовательностей Бюхи длины четыре. Неизвестно, существует ли какая-либо нетривиальная последовательность Бюхи длины пять (действительно, Бюхи первоначально задавал вопрос только для M = 5.).
Оригинальная мотивация
Положительный ответ на вопрос Бюх будет означать, используя отрицательный ответ на десятой проблемы Гильберта по Ю. Матиясевич , что не существует алгоритма решить , является ли система диагональных квадратичных форм представляет с целыми коэффициентами целочисленного кортеж. В самом деле, Бючи заметил, что возведение в квадрат, а следовательно, и умножение, было бы экзистенциально определимым в целых числах на языке первого порядка, имеющем два символа константы для 0 и 1, символ функции для суммы и символ отношения P для выражения этого целое число - это квадрат.
Некоторые результаты
Пол Войта доказал в 1999 году, что положительный ответ на проблему Бючи следует из положительного ответа на слабую версию гипотезы Бомбьери – Ланга . В той же статье он доказывает, что аналог проблемы Бюхи для поля мероморфных функций над комплексными числами имеет положительный ответ. С тех пор были получены положительные ответы на аналоги проблемы Бюхи в различных других кольцах функций (в случае колец функций добавляется гипотеза о том, что не все x n постоянны).
Рекомендации
- Войта, Пол (1999), Диагональные квадратичные формы и десятая проблема Гильберта , стр. 261–274 в десятой проблеме Гильберта: отношения с арифметикой и алгебраической геометрией (Гент, 1999), под редакцией Дж. Денефа и др., Contemp. Математика. 270, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2000.
- Липшиц, Леонард (1990), «Квадратичные формы, проблема пяти квадратов и диофантовы уравнения» в Сборнике работ Дж. Ричарда Бючи . Под редакцией Сондерса Мак Лейна и Дирка Сифкеса. Спрингер, Нью-Йорк.
- Хенсли, Дуглас (1983), «Последовательности квадратов со второй разностью два и гипотеза Бючи», не опубликовано.