ЧШ неравенство

В физике , то неравенство CHSH может быть использовано при доказательстве теоремы Белла , в котором говорится , что некоторые последствия запутывания в квантовой механике не может быть воспроизведен с помощью локальных теорий скрытых переменных . Экспериментальная проверка нарушения неравенств рассматривается как экспериментальное подтверждение того, что природа не может быть описана локальными теориями скрытых переменных . CHSH означает Джона Клаузера , Майкла Хорна , Эбнера Шимони и Ричарда Холта , которые описали это в много цитируемой статье, опубликованной в 1969 году (Clauser et al., 1969). ^[1] Они вывели неравенство CHSH, которое, как и исходное неравенство Джона Белла (Bell, 1964), ^[2] является ограничением на статистику «совпадений» в тесте Белла, который обязательно истинен, если существуют лежащие в основе локальные скрытые переменные ( локальный реализм ). С другой стороны, это ограничение может быть нарушено квантовой механикой.

Заявление [ править ]

Обычная форма неравенства CHSH:

{\ Displaystyle | S | \ leq 2,}

( 1 )

где

{\ Displaystyle S = E (a, b) -E \ left (a, b '\ right) + E \ left (a', b \ right) + E \ left (a ', b' \ right).}

( 2 )

a и a '- настройки детектора на стороне A, b и b ' на стороне B, четыре комбинации тестируются в отдельных подэкспериментах. Термины E ( a , b ) и т. Д. Представляют собой квантовые корреляции пар частиц, где квантовая корреляция определяется как математическое ожидание продукта «результатов» эксперимента, то есть среднее статистическое значение A ( a ) · B ( b ), где A и B - отдельные результаты, с использованием кодирования +1 для канала «+» и −1 для канала «-». Clauser et al., 1969 г.^[1] вывод был ориентирован на использование «двухканальных» детекторов, и действительно, именно для них он обычно используется, но по их методу единственными возможными результатами были +1 и -1. Чтобы адаптироваться к реальным ситуациям, что в то время означало использование поляризованного света и одноканальных поляризаторов, они должны были интерпретировать «-» как означающее «отсутствие обнаружения в канале« + »», то есть либо «-». или ничего. В оригинальной статье они не обсуждали, как двухканальное неравенство может быть применено в реальных экспериментах с реальными несовершенными детекторами, хотя позже было доказано (Bell, 1971)^[3], что само неравенство в равной степени справедливо. Однако появление нулевых результатов означает, что уже не так очевидно, как значения E оцениваются по экспериментальным данным.

Математический формализм квантовой механики предсказывает максимальное значение для S 2 √ 2 ( оценка Цирельсона ) ^[4], которое больше 2, и поэтому нарушения CHSH предсказываются теорией квантовой механики.

Типичный эксперимент CHSH [ править ]

Схема «двухканального» теста Белла
. Источник S производит пары фотонов, посылаемых в противоположных направлениях. Каждый фотон встречает двухканальный поляризатор, ориентацию которого может задать экспериментатор. Сигналы, появляющиеся из каждого канала, обнаруживаются, а совпадения подсчитываются CM монитора совпадений.

На практике в большинстве реальных экспериментов использовался свет, а не электроны, которые первоначально имел в виду Белл. В наиболее известных экспериментах ( Aspect , 1981-2) ^[5]^[6]^[7] представляющим интерес свойством является направление поляризации, хотя могут использоваться и другие свойства. На схеме показан типичный оптический эксперимент. Регистрируются совпадения (одновременные обнаружения), результаты классифицируются как «++», «+ -», «- +» или «−−» и накапливаются соответствующие подсчеты.

Проводятся четыре отдельных подэксперимента, соответствующих четырем членам в тестовой статистике S ( 2 , выше). Настройки a , a ', b и b ' на практике обычно выбираются равными 0, 45 °, 22,5 ° и 67,5 ° соответственно - «углы теста Белла» - это те углы, для которых квантово-механическая формула дает наибольшие нарушение неравенства. ${\ Displaystyle Е (а, Ь)}$

Для каждого выбранного значения a и b записывается количество совпадений в каждой категории . Затем экспериментальная оценка для рассчитывается как: ${\ displaystyle \ left \ {N _ {++}, N _ {-}, N _ {+ -}, N _ {- +} \ right \}}$ ${\ Displaystyle Е (а, Ь)}$

{\ displaystyle E = {\ frac {N _ {++} - N _ {+ -} - N _ {- +} + N _ {-}} {N _ {++} + N _ {+ -} + N _ {- + } + N _ {-}}}}

( 3 )

После того, как все «s» оценены, можно найти экспериментальную оценку S ( 2 ). Если оно численно больше 2, это нарушает неравенство CHSH, и объявляется, что эксперимент подтвердил предсказание квантовой механики и исключил все теории локальных скрытых переменных. ${\ displaystyle E}$

В статье CHSH перечислено множество предварительных условий (или «разумных и / или предполагаемых предположений») для вывода упрощенной теоремы и формулы. Например, чтобы метод был действительным, необходимо предположить, что обнаруженные пары являются хорошей выборкой из выпущенных. В реальных экспериментах детекторы никогда не бывают эффективными на 100%, поэтому обнаруживается только выборка излучаемых пар. Тонкое, связанное с этим требование состоит в том, чтобы скрытые переменные не влияли и не определяли вероятность обнаружения таким образом, чтобы это привело к различным выборкам в каждой части эксперимента.

Вывод [ править ]

Исходный вывод 1969 года здесь не приводится, поскольку его нелегко проследить и предполагает предположение, что все результаты равны +1 или -1, но никогда не равны нулю. Вывод Белла 1971 года является более общим. Он фактически предполагает «объективную локальную теорию», которую позже использовали Клаузер и Хорн (Clauser, 1974). ^[8] Предполагается, что любые скрытые переменные, связанные с самими детекторами, независимы с обеих сторон и могут быть усреднены с самого начала. Другой интересный вывод дается в статье Клаузера и Хорна 1974 г., в которой они исходят из неравенства CH74.

Из обоих этих более поздних выводов может показаться, что единственные допущения, действительно необходимые для самого неравенства (в отличие от метода оценки тестовой статистики), заключаются в том, что распределение возможных состояний источника остается постоянным, а детекторы на двух стороны действуют независимо.

Вывод Белла 1971 года [ править ]

Следующее основано на странице 37 книги Белла « Speakable and Unspeakable» (Bell, 1971) ^[3], главное изменение заключается в использовании символа « E » вместо « P » для ожидаемого значения квантовой корреляции. Это позволяет избежать любых намеков на то, что квантовая корреляция сама по себе является вероятностью.

Мы начинаем со стандартного предположения о независимости двух сторон, что позволяет нам получить совместные вероятности пар результатов путем умножения отдельных вероятностей для любого выбранного значения «скрытой переменной» λ. Предполагается, что λ берется из фиксированного распределения возможных состояний источника, причем вероятность того, что источник находится в состоянии λ для любого конкретного испытания, задается функцией плотности ρ (λ), интеграл от которой по всем скрытым пространство переменных равно 1. Мы предполагаем, что можем написать:

{\ Displaystyle E (a, b) = \ int {\ underline {A}} (a, \ lambda) {\ underline {B}} (b, \ lambda) \ rho (\ lambda) d \ lambda}

где A и B - средние значения исходов. Поскольку возможные значения A и B равны -1, 0 и +1, отсюда следует, что:

{\ displaystyle \ left | {\ underline {A}} \ right | \ leq 1 \ quad \ left | {\ underline {B}} \ right | \ leq 1}

( 4 )

Тогда, если a , a ′, b и b ′ - альтернативные настройки для детекторов,

{\begin{aligned}&E(a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda -\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \end{aligned}}

Беря абсолютные значения обеих сторон и применяя неравенство треугольника к правой части, получаем

\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\leq \left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|

Мы используем тот факт, что и оба неотрицательны, чтобы переписать правую часть этого как $\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )$ $\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )$

\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b',\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|

Согласно ( 4 ) это должно быть меньше или равно

\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda +\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda

которое, учитывая тот факт, что интеграл от ρ (λ) равен 1, равен

2\pm \left[\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\rho (\lambda )d\lambda +\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda \right]

что равно . $2\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$

Собирая это вместе с левой частью, мы получаем:

\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]

что означает, что левая часть меньше или равна обоим и . То есть: $2+\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$ $2-\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$

\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq \;2-\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|

откуда получаем

2\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|+\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|

( снова неравенством треугольника ), что является неравенством CHSH.

Вывод из неравенства Клаузера и Хорна 1974 г. [ править ]

В своей статье 1974 г. ^[8] Клаузер и Хорн показывают, что неравенство CHSH может быть получено из неравенства CH74. Как они нам говорят, в двухканальном эксперименте одноканальный тест CH74 все еще применим и обеспечивает четыре набора неравенств, управляющих вероятностями p совпадений.

Исходя из неоднородной версии неравенства, можно записать:

-1\;\leq \;p_{jk}(a,b)-p_{jk}(a,b')+p_{jk}(a',b)+p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\leq \;0

где j и k представляют собой «+» или «-», указывающие, какие детекторы рассматриваются.

Чтобы получить статистику теста CHSH S ( 2 ), все, что нужно, - это умножить неравенства, для которых j отличается от k, на -1 и добавить их к неравенствам, для которых j и k одинаковы.

Эксперименты с использованием теста CHSH [ править ]

Многие тесты Bell провели после Аспекта второго эксперимента в 1982 году воспользовались неравенством CHSH, оценивая условия использования (3) и при условии справедливого отбора проб. Сообщалось о некоторых драматических нарушениях неравенства. ^[9] В своем выпуске за декабрь 2018 г. журнал Scientific American сообщил о методах значительного улучшения экспериментального применения неравенства CHSH ^[10]

См. Также [ править ]

Корреляция не подразумевает причинно-следственной связи
Неравенство Леггетта – Гарга

Ссылки [ править ]

^ а б Дж. Ф. Клаузер; М.А. Хорн; А. Шимони; RA Holt (1969), "Предлагаемый эксперимент для проверки локальных теорий скрытых переменных", Phys. Rev. Lett. , 23 (15): 880-4, Bibcode : 1969PhRvL..23..880C , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.23.880
^ JS Bell (1964), "О Эйнштейна Подольского Розена", Физика Телосложение Физика , 1 (3): 195-200, DOI : 10,1103 / PhysicsPhysiqueFizika.1.195, воспроизведенный как гл. 2 из JS Bell (1987), Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics , Cambridge University Press
^ a b Дж. С. Белл, в Основах квантовой механики , Труды Международной школы физики «Энрико Ферми», Курс XLIX, Б. д'Эспанья (Ред.) (Academic, New York, 1971), с. 171 и Приложение B. Страницы 171-81 воспроизведены как гл. 4 из Дж. С. Белла, « Говоримые и непроизносимые в квантовой механике» (Cambridge University Press, 1987)
^ Цирельсон, BS (март 1980). «Квантовые обобщения неравенства Белла». Письма по математической физике . 4 (2): 93–100. Bibcode : 1980LMaPh ... 4 ... 93C . DOI : 10.1007 / BF00417500 .
^ Ален Аспект; Филипп Гранжье; Жерар Роджер (1981), "Экспериментальные проверки реалистичных локальных теорий с помощью теоремы Белла", Phys. Rev. Lett. , 47 (7): 460-3, Bibcode : 1981PhRvL..47..460A , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.47.460
^ Ален Аспект; Филипп Гранжье; Жерар Роджер (1982), "Экспериментальная реализация геданкенэксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома: новое нарушение неравенств Белла", Phys. Rev. Lett. , 49 (2): 91, Bibcode : 1982PhRvL..49 ... 91A , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.49.91
^ Ален Аспект; Жан Далибар; Жерар Роджер (1982), "Экспериментальная проверка неравенств Белла с использованием нестационарных анализаторов", Phys. Rev. Lett. , 49 (25): 1804-7, Bibcode : 1982PhRvL..49.1804A , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.49.1804
^ а б Дж. Ф. Клаузер; MA Horne (1974), "Экспериментальные следствия объективных локальных теорий", Phys. Rev. D , 10 (2): 526-35, Bibcode : 1974PhRvD..10..526C , DOI : 10,1103 / PhysRevD.10.526
^ Hensen, B .; Bernien, H .; Dréau, AE; Райзерер, А .; Kalb, N .; Блок М.С. Ruitenberg, J .; Vermeulen, RFL; Schouten, RN; Abellán, C .; Amaya, W .; Pruneri, V .; Митчелл, штат Массачусетс; Markham, M .; Твитчен, диджей; Elkouss, D .; Wehner, S .; Таминиау, TH; Хэнсон, Р. (2015). «Нарушение неравенства Белла без петель с использованием электронных спинов, разделенных расстоянием 1,3 километра». Природа . 526 (7575): 682–686. arXiv : 1508.05949 . Bibcode : 2015Natur.526..682H . DOI : 10.1038 / nature15759 . PMID 26503041 .
^ "Scientific American Volume 319, Issue 6" .

[Clauser-1969-1] а б Дж. Ф. Клаузер; М.А. Хорн; А. Шимони; RA Holt (1969), "Предлагаемый эксперимент для проверки локальных теорий скрытых переменных", Phys. Rev. Lett. , 23 (15): 880-4, Bibcode : 1969PhRvL..23..880C , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.23.880

[2] JS Bell (1964), "О Эйнштейна Подольского Розена", Физика Телосложение Физика , 1 (3): 195-200, DOI : 10,1103 / PhysicsPhysiqueFizika.1.195, воспроизведенный как гл. 2 из JS Bell (1987), Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics , Cambridge University Press

[Bell-1971-3] Дж. С. Белл, в Основах квантовой механики , Труды Международной школы физики «Энрико Ферми», Курс XLIX, Б. д'Эспанья (Ред.) (Academic, New York, 1971), с. 171 и Приложение B. Страницы 171-81 воспроизведены как гл. 4 из Дж. С. Белла, « Говоримые и непроизносимые в квантовой механике» (Cambridge University Press, 1987)

[4] Цирельсон, BS (март 1980). «Квантовые обобщения неравенства Белла». Письма по математической физике . 4 (2): 93–100. Bibcode : 1980LMaPh ... 4 ... 93C . DOI : 10.1007 / BF00417500 .

[Aspect-1981-5] Ален Аспект; Филипп Гранжье; Жерар Роджер (1981), "Экспериментальные проверки реалистичных локальных теорий с помощью теоремы Белла", Phys. Rev. Lett. , 47 (7): 460-3, Bibcode : 1981PhRvL..47..460A , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.47.460

[Aspect-1982a-6] Ален Аспект; Филипп Гранжье; Жерар Роджер (1982), "Экспериментальная реализация геданкенэксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома: новое нарушение неравенств Белла", Phys. Rev. Lett. , 49 (2): 91, Bibcode : 1982PhRvL..49 ... 91A , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.49.91

[Aspect-1982b-7] Ален Аспект; Жан Далибар; Жерар Роджер (1982), "Экспериментальная проверка неравенств Белла с использованием нестационарных анализаторов", Phys. Rev. Lett. , 49 (25): 1804-7, Bibcode : 1982PhRvL..49.1804A , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.49.1804

[Clauser-1974-8] а б Дж. Ф. Клаузер; MA Horne (1974), "Экспериментальные следствия объективных локальных теорий", Phys. Rev. D , 10 (2): 526-35, Bibcode : 1974PhRvD..10..526C , DOI : 10,1103 / PhysRevD.10.526

[9] Hensen, B .; Bernien, H .; Dréau, AE; Райзерер, А .; Kalb, N .; Блок М.С. Ruitenberg, J .; Vermeulen, RFL; Schouten, RN; Abellán, C .; Amaya, W .; Pruneri, V .; Митчелл, штат Массачусетс; Markham, M .; Твитчен, диджей; Elkouss, D .; Wehner, S .; Таминиау, TH; Хэнсон, Р. (2015). «Нарушение неравенства Белла без петель с использованием электронных спинов, разделенных расстоянием 1,3 километра». Природа . 526 (7575): 682–686. arXiv : 1508.05949 . Bibcode : 2015Natur.526..682H . DOI : 10.1038 / nature15759 . PMID 26503041 .

[10] "Scientific American Volume 319, Issue 6" .

[1]