Цепное правило (вероятность)

В теории вероятностей цепное правило (также называемое общим правилом произведения ^{[1] [2]} ) позволяет вычислять любой член совместного распределения набора случайных величин, используя только условные вероятности . Правило полезно при изучении байесовских сетей , которые описывают распределение вероятностей в терминах условных вероятностей.

Цепное правило для событий [ править ]

Два события [ править ]

Цепное правило для двух случайных событий и говорит${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle P (A \ крышка B) = P (B \ mid A) \ cdot P (A)}$.

Пример [ править ]

Это правило проиллюстрировано в следующем примере. В урне 1 есть 1 черный шар и 2 белых шара, а в урне 2 - 1 черный шар и 3 белых шара. Предположим, мы выбираем урну наугад, а затем выбираем мяч из этой урны. Пусть событие будет выбирать первую урну: . Пусть событие будет шансом выбрать белый шар. Вероятность выбрать белый шар, учитывая, что мы выбрали первую урну, составляет . Событием будет их пересечение: выбор первой урны и белого шара из нее. Вероятность можно найти с помощью цепного правила вероятности:${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle P (A) = P ({\ overline {A}}) = 1/2}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle P (B | A) = 2/3}$${\ displaystyle A \ cap B}$

${\ Displaystyle \ mathrm {P} (A \ cap B) = \ mathrm {P} (B \ mid A) \ mathrm {P} (A) = 2/3 \ times 1/2 = 1/3}$.

Более двух событий [ править ]

Для более чем двух событий правило цепочки распространяется на формулу${\ Displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n}}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A_{n}\cap \ldots \cap A_{1})=\mathrm {P} (A_{n}|A_{n-1}\cap \ldots \cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{n-1}\cap \ldots \cap A_{1})}$

которые по индукции можно превратить в

${\displaystyle \mathrm {P} (A_{n}\cap \ldots \cap A_{1})=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {P} \left(A_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}A_{j}\right)}$.

Пример [ править ]

С четырьмя событиями ( ) цепное правило${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{2}\mid A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{1})\end{aligned}}}$

Цепное правило для случайных величин [ править ]

Две случайные величины [ править ]

Для двух случайных величин , чтобы найти совместное распределение, мы можем применить определение условной вероятности, чтобы получить:${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle \mathrm {P} (X,Y)=\mathrm {P} (X\mid Y)\cdot P(Y)}$

Более двух случайных величин [ править ]

Рассмотрим индексированный набор случайных величин . Чтобы найти значение этого члена совместного распределения, мы можем применить определение условной вероятности, чтобы получить:${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {P} (X_{n},\ldots ,X_{1})=\mathrm {P} (X_{n}|X_{n-1},\ldots ,X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{n-1},\ldots ,X_{1})}$

Повторение этого процесса с каждым последним термином создает продукт:

${\displaystyle \mathrm {P} \left(\bigcap _{k=1}^{n}X_{k}\right)=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {P} \left(X_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}X_{j}\right)}$

Пример [ править ]

С четырьмя переменными ( ) цепное правило дает следующий продукт условных вероятностей:${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (X_{4},X_{3},X_{2},X_{1})&=\mathrm {P} (X_{4}\mid X_{3},X_{2},X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{3},X_{2},X_{1})\\&=\mathrm {P} (X_{4}\mid X_{3},X_{2},X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{3}\mid X_{2},X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{2},X_{1})\\&=\mathrm {P} (X_{4}\mid X_{3},X_{2},X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{3}\mid X_{2},X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{2}\mid X_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{1})\end{aligned}}}$

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Шум, Дэвид А. (1994). Доказательные основы вероятностного рассуждения . Издательство Северо-Западного университета. п. 49. ISBN 978-0-8101-1821-8.
• Клу, Генри Э. (2013). Статистика: Основы для исследований (3-е изд.). Психология Press. п. 149. ISBN. 978-1-134-92862-0.
• Рассел, Стюарт Дж .; Норвиг, Питер (2003), Искусственный интеллект: современный подход (2-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall, ISBN 0-13-790395-2, п. 496.
• «Цепное правило вероятности» , developerWorks , 3 ноября 2012 г.