Доверительный интервал
В частотной статистике доверительный интервал ( ДИ ) — это диапазон оценок неизвестного параметра , определяемый как интервал с нижней границей и верхней границей (несмотря на односторонние доверительные интервалы, которые ограничены только с одной стороны). Интервал вычисляется на заданном доверительном уровне . Доверительный уровень 95% является наиболее распространенным, но иногда используются и другие уровни (например, 90% или 99%). [1] [2] Доверительный уровень представляет долгосрочную частотудоверительных интервалов, содержащих истинное значение параметра. Другими словами, 95 % доверительных интервалов, рассчитанных при уровне достоверности 95 %, содержат этот параметр, и то же самое для других уровней достоверности. [3]
Факторы, влияющие на ширину ДИ, включают уровень достоверности, размер выборки и изменчивость выборки. [4] Большие выборки дают более узкие доверительные интервалы, когда все остальные факторы равны. Большая изменчивость в выборке дает более широкие доверительные интервалы, когда все остальные факторы равны. Более высокий уровень достоверности дает более широкие доверительные интервалы, когда все остальные факторы равны. [5]
Пусть X будет случайной выборкой из распределения вероятностей со статистическим параметром θ , который является оцениваемой величиной, и φ , представляющим величины, которые не представляют непосредственного интереса. Доверительный интервал для параметра θ с уровнем достоверности или коэффициентом достоверности γ представляет собой интервал со случайными конечными точками ( u ( X ), v ( X )), определяемый парой случайных величин u ( X ) и v ( X), со свойством:
Число γ с типичными значениями, близкими к 1, но не превышающими его, иногда задается в виде 1 − α (или в процентах 100%·(1 − α )), где α — небольшое неотрицательное число, наиболее обычно 0,05.
Здесь Pr θ , φ указывает на распределение вероятностей X , характеризуемое ( θ , φ ). Важной частью этой спецификации является то, что случайный интервал ( u ( X ), v ( X )) покрывает неизвестное значение θ с вероятностью γ независимо от того, каково истинное значение θ на самом деле. Невозможно узнать, покрывает ли (включает) индивидуальный доверительный интервал θ. Однако процедура гарантирует (если выполняются статистические допущения), что каждый раз, когда мы собираем случайную выборку для оценки параметра, у нас есть вероятность γ того, что вычисляемый нами доверительный интервал покроет θ . [2]
Во многих приложениях трудно построить доверительные интервалы, которые имеют точно требуемый уровень достоверности, но можно вычислить приблизительные интервалы. Правило построения интервала может быть принято как обеспечивающее доверительный интервал на уровне , если
