Распределение уверенности

В статистическом выводе концепция доверительного распределения ( CD ) часто вольно упоминается как функция распределения в пространстве параметров, которая может представлять доверительные интервалы всех уровней для интересующего параметра. Исторически сложилось так, что он обычно строился путем инвертирования верхних пределов нижних боковых доверительных интервалов всех уровней, а также обычно ассоциировался с реперной ^[1] интерпретацией ( реперным распределением ), хотя это чисто частотная концепция. ^[2] Доверительное распределение НЕ является функцией распределения вероятности интересующего параметра, но все же может быть функцией, полезной для заключения. ^[3]

В последние годы наблюдается всплеск интереса к распределению уверенности. ^[3] В более поздних разработках концепция доверительного распределения возникла как чисто частотная концепция, без какой-либо фидуциальной интерпретации или рассуждений. Концептуально доверительное распределение не отличается от точечного оценщика или интервального оценщика ( доверительного интервала ), но оно использует зависящую от выборки функцию распределения в пространстве параметров (вместо точки или интервала) для оценки интересующего параметра.

Простым примером доверительного распределения, которое широко используется в статистической практике, является бутстраповское распределение. ^[4] Разработка и интерпретация бутстраповского дистрибутива не требует каких-либо проверочных доводов; то же самое верно и для концепции доверительного распределения. Но понятие доверительного распределения намного шире, чем понятие начального распределения. В частности, недавние исследования показывают, что он охватывает и объединяет широкий спектр примеров, от обычных параметрических случаев (включая большинство примеров классического развития фидуциального распределения Фишера) до бутстрап-распределений, функций p-значения , ^[5] нормализованных функций правдоподобия.и, в некоторых случаях, байесовские априорные и байесовские апостериоры . ^[6]

Подобно тому, как байесовское апостериорное распределение содержит массу информации для любого типа байесовского вывода , доверительное распределение содержит огромное количество информации для построения почти всех типов частотных выводов, включая точечные оценки , доверительные интервалы , критические значения, статистическую мощность и p- значения, ^[7] среди других. Некоторые недавние события высветили многообещающие возможности концепции КР как эффективного инструмента вывода. ^[3]

История концепции CD [ править ]

Нейман (1937) ^[8] представил идею «уверенности» в своей основополагающей статье о доверительных интервалах, которая прояснила свойство частотного повторения. Согласно Фрейзеру ^[9] семя (идея) распределения уверенности можно проследить даже до Байеса (1763) ^[10] и Фишера (1930). ^[1] Хотя эта фраза, кажется, впервые была использована в Cox (1958). ^[11] Некоторые исследователи рассматривают доверительное распределение как «интерпретацию Неймана фидуциальных распределений Фишера» ^[12], которая «яростно оспаривается Фишером». ^[13] Также считается, что эти «непродуктивные споры» и «упорная настойчивость» Фишера ^[13]может быть причиной того, что концепция распределения уверенности долгое время неверно истолковывалась как фидуциальная концепция и не была полностью разработана в рамках частотных рамок. ^{[6] [14]} Действительно, доверительное распределение является чисто частотной концепцией с чисто частотной интерпретацией, а также имеет связи с концепциями байесовского вывода и фидуциальными аргументами.

Определение [ править ]

Классическое определение [ править ]

Обычно доверительное распределение определяется путем инвертирования верхних пределов ряда нижних доверительных интервалов. ^{[15] [16] [ необходима страница ]} В частности,

Для каждого α в (0, 1) пусть (−∞,  ξ _n ( α )] будет 100α% -ным нижним доверительным интервалом для θ , где ξ _n ( α ) =  ξ _n ( X _n , α) непрерывно и увеличивая α для каждой выборки X _n . Тогда H _n (•) =  ξ _n ⁻¹ (•) является доверительным распределением для  θ .

Эфрон заявил, что это распределение «присваивает вероятность 0,05 θ, лежащему между верхними конечными точками доверительного интервала 0,90 и 0,95 и т . Д.». и «у него мощная интуитивная привлекательность». ^[16] В классической литературе ^[3] функция доверительного распределения интерпретируется как функция распределения параметра θ , что невозможно без использования проверочных расчетов, поскольку в частотной настройке параметры фиксированы и не случайны.

Полностью интерпретировать функцию CD с частотной точки зрения и не интерпретировать ее как функцию распределения (фиксированного / неслучайного) параметра - одно из основных отклонений недавних разработок по сравнению с классическим подходом. Хорошая вещь в том, чтобы рассматривать доверительные распределения как чисто частотную концепцию (похожую на точечную оценку), заключается в том, что теперь она свободна от тех ограничительных, если не спорных, ограничений, установленных Фишером для реперных распределений. ^{[6] [14]}

Современное определение [ править ]

Применяется следующее определение; ^{[12] [17] [18]} Θ - это пространство параметров неизвестного интересующего параметра θ , а χ - это пространство выборок, соответствующее данным X _n = { X ₁ , ..., X _n }:

Функция H _n (•) = H _n ( X _n , •) на χ  ×  Θ  → [0, 1] называется доверительным распределением (CD) для параметра θ , если она соответствует двум требованиям:

• (R 1 ) Для каждого заданного X _п ∈ х , Н _п (•) = Н _п ( Х _п , •) является непрерывным Интегральная функция распределения по & thetas ;
• (R2) При истинном значении параметра θ  =  θ ₀ , H _n ( θ ₀ ) ≡  H _n ( X _n , θ ₀ ), как функция выборки X _n , следует равномерному распределению U [0, 1].

Кроме того, функция H является асимптотическим CD ( aCD ), если требование U [0, 1] выполняется только асимптотически и требование непрерывности H _n (•) отбрасывается.

С нетехнической точки зрения, доверительное распределение является функцией как параметра, так и случайной выборки с двумя требованиями. Первое требование (R1) просто требует, чтобы компакт-диск был распределением в пространстве параметров. Второе требование (R2) устанавливает ограничение на функцию, чтобы выводы (точечные оценки, доверительные интервалы, проверка гипотез и т. Д.), Основанные на распределении достоверности, имели желаемые частотные свойства. Это похоже на ограничения в точечной оценке, чтобы гарантировать определенные желаемые свойства, такие как объективность, согласованность, эффективность и т. Д. ^{[6] [19]}

Доверительное распределение, полученное путем инвертирования верхних пределов доверительных интервалов (классическое определение), также удовлетворяет требованиям приведенного выше определения, и эта версия определения согласуется с классическим определением. ^[18]

В отличие от классического реперного вывода, для оценки параметра при любой конкретной настройке может быть доступно более одного доверительного распределения. Кроме того, в отличие от классического фидуциального вывода, оптимальность не является частью требования. В зависимости от настройки и используемого критерия иногда существует уникальное «наилучшее» (с точки зрения оптимальности) распределение достоверности. Но иногда нет доступного оптимального распределения достоверности или, в некоторых крайних случаях, мы даже не можем найти значимое распределение достоверности. Это не отличается от практики балльной оценки.

Примеры [ править ]

Пример 1. Нормальное среднее значение и дисперсия [ править ]

Предположим  , что дана нормальная выборка X _i  ~  N ( μ ,  σ ² ), i = 1, 2, ...,  n .

(1) Дисперсия σ ² известна

Пусть Φ будет кумулятивной функцией распределения стандартного нормального распределения и кумулятивной функцией распределения распределения Стьюдента . Обе функции и заданные${\ displaystyle F_ {t_ {n-1}}}$${\ displaystyle t_ {n-1}}$${\ Displaystyle Н _ {\ mathit {\ Phi}} (\ му)}$${\ Displaystyle Н_ {т} (\ му)}$

${\displaystyle H_{\Phi }(\mu )={\mathit {\Phi }}\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{\sigma }}\right),\quad {\text{and}}\quad H_{t}(\mu )=F_{t_{n-1}}\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{s}}\right),}$

удовлетворяют двум требованиям в определении CD, и они являются функциями доверительного распределения для  μ . ^[3] Кроме того,

${\displaystyle H_{A}(\mu )={\mathit {\Phi }}\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{s}}\right)}$

удовлетворяет определению асимптотического доверительного распределения при n → ∞ и является асимптотическим доверительным распределением для μ . Использование и эквивалентно утверждению, которое мы используем, и для оценки , соответственно.${\displaystyle H_{t}(\mu )}$${\displaystyle H_{A}(\mu )}$${\displaystyle N({\bar {X}},\sigma ^{2})}$${\displaystyle N({\bar {X}},s^{2})}$${\displaystyle \mu }$

(2) Дисперсия σ ² неизвестна.

Для параметра μ , поскольку он включает неизвестный параметр σ и нарушает два требования в определении CD, он больше не является «оценкой распределения» или доверительным распределением для  μ . ^[3] Тем не менее, это все еще CD для μ и CD для  μ .${\displaystyle H_{\mathit {\Phi }}(\mu )}$${\displaystyle H_{t}(\mu )}$${\displaystyle H_{A}(\mu )}$

Для параметра σ ² кумулятивная функция распределения, зависящая от выборки

${\displaystyle H_{\chi ^{2}}(\theta )=1-F_{\chi _{n-1}^{2}}((n-1)s^{2}/\theta )}$

- функция доверительного распределения для σ ² . ^[6] Здесь - кумулятивная функция распределения.${\displaystyle F_{\chi _{n-1}^{2}}}$${\displaystyle \chi _{n-1}^{2}}$

В случае, когда дисперсия σ ² известна, оптимальна с точки зрения получения самых коротких доверительных интервалов на любом заданном уровне. В случае, когда дисперсия σ ² неизвестна, является оптимальным доверительным распределением для μ .${\displaystyle H_{\mathit {\Phi }}(\mu )={\mathit {\Phi }}\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{\sigma }}\right)}$${\displaystyle H_{t}(\mu )=F_{t_{n-1}}\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{s}}\right)}$

Пример 2: Двумерная нормальная корреляция [ править ]

Пусть ρ обозначает коэффициент корреляции в виде двухмерного нормального населения. Хорошо известно, что z Фишера определяется преобразованием Фишера :

${\displaystyle z={1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}}$

имеет предельное распределение с высокой скоростью сходимости, где r - корреляция выборки, а n - размер выборки.${\displaystyle N({1 \over 2}\ln {{1+\rho } \over {1-\rho }},{1 \over n-3})}$

Функция

${\displaystyle H_{n}(\rho )=1-{\mathit {\Phi }}\left({\sqrt {n-3}}\left({1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}-{1 \over 2}\ln {{1+\rho } \over {1-\rho }}\right)\right)}$

является асимптотическим доверительным распределением для ρ . ^{[ необходима цитата ]}

Использование распределений достоверности для вывода [ править ]

Доверительный интервал [ править ]

Из определения CD очевидно, что интервал и обеспечивает 100 (1 -  α )% -ных доверительных интервалов различных видов для θ для любого α  ∈ (0, 1). Также имеется доверительный интервал уровня 100 (1 -  α ₁  -  α ₂ )% для параметра θ для любых α ₁  > 0, α ₂  > 0 и α ₁  +  α ₂  <1. Здесь 100 β % квантиль или он решает относительно θ в уравнении${\displaystyle (-\infty ,H_{n}^{-1}(1-\alpha )],[H_{n}^{-1}(\alpha ),\infty )}$${\displaystyle [H_{n}^{-1}(\alpha /2),H_{n}^{-1}(1-\alpha /2)]}$${\displaystyle [H_{n}^{-1}(\alpha _{1}),H_{n}^{-1}(1-\alpha _{2})]}$${\displaystyle H_{n}^{-1}(\beta )}$${\displaystyle H_{n}(\theta )}$${\displaystyle H_{n}(\theta )=\beta }$. То же самое и для CD, где уровень достоверности достигается в пределах лимита. Некоторые авторы предложили использовать их для графического просмотра значений параметров, согласующихся с данными, вместо целей охвата или производительности. ^{[20] [21]}

Оценка баллов [ править ]

Точечные оценщики также могут быть построены с учетом оценщика доверительного распределения для интересующего параметра. Например, при заданном H _n ( θ ) CD для параметра θ естественный выбор точечных оценок включает в себя медианное значение M _n  =  H _n ⁻¹ (1/2), среднее значение и точку максимума плотности CD.${\displaystyle {\bar {\theta }}_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }t\,\mathrm {d} H_{n}(t)}$

${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{n}=\arg \max _{\theta }h_{n}(\theta ),h_{n}(\theta )=H'_{n}(\theta ).}$

При некоторых скромных условиях, помимо других свойств, можно доказать, что все эти точечные оценки согласованы. ^{[6] [22]}

Проверка гипотез [ править ]

Можно получить p-значение для теста, одностороннего или двустороннего, относительно параметра  θ , исходя из его доверительного распределения H _n ( θ ). ^{[6] [22]} Обозначим вероятностной массой множества C при функции распределения достоверности. Это p _s (C) называется «опорой» в выводе CD, а в справочной литературе также известно как «вера». ^[23] У нас есть${\displaystyle p_{s}(C)=H_{n}(C)=\int _{C}\mathrm {d} H(\theta ).}$

(1) Для одностороннего теста K ₀ : θ  ∈  C vs. K ₁ : θ  ∈  C ^c , где C имеет тип (−∞,  b ] или [ b , ∞), можно показать из CD определение, что sup _{θ  ∈  C} P _θ ( p _s ( C ) ≤  α ) =  α . Таким образом, p _s ( C ) =  H _n ( C ) - соответствующее p-значение теста.

(2) Для одноэлементного теста K ₀ : θ  =  b vs. K ₁ : θ  ≠  b , P _{{ K 0 : θ  =  b }} (2 min { p _s ( C _lo ), из определения CD можно показать, что p _s ( C _up )} ≤  α ) =  α . Таким образом, 2 min { p _s ( C _lo ),  p _s ( C _up )} = 2 min {H _n ( b ), 1 -  H _n ( b )} - соответствующее p-значение теста. Здесь C _lo = (−∞,  b ] и C _up  = [ b , ∞).

См. Рисунок 1 от Xie and Singh (2011) ^[6] для графической иллюстрации вывода CD.

Реализации [ править ]

Несколько статистических программ реализовали возможность построения и построения графиков доверительных распределений.

R через пакеты concurve, ^{[24] [25]} pvaluefunctions , ^[26] и episheet^[27]

Excel , через episheet^[28]

Стата , через concurve^[24]

См. Также [ править ]

• Вероятность покрытия

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]