Проблема встраивания Конна

---

Проблема вложения Конна , сформулированная Аленом Конном в 1970-х годах, является основной проблемой в теории алгебры фон Неймана . За это время проблема была переформулирована в нескольких различных областях математики. Дэн Войкулеску , развивая свою теорию свободной энтропии, обнаружил, что проблема вложения Конна связана с существованием микросостояний. Некоторые результаты теории алгебр фон Неймана могут быть получены в предположении положительного решения задачи. Эта проблема связана с некоторыми основными вопросами квантовой теории, что привело к осознанию того, что она также имеет важное значение в компьютерных науках.

Задача допускает ряд эквивалентных формулировок. ^[1] Примечательно, что это эквивалентно следующим давним проблемам:

В январе 2020 года Джи, Натараджан, Видик, Райт и Юэн объявили о результате квантовой теории сложности ^[2] , который подразумевает отрицательный ответ на проблему вложения Конна. ^{[3] [4]}

Позвольте быть свободным ультрафильтром на натуральных числах и пусть R будет гиперконечным фактором типа II ₁ со следом . Можно построить ультрастепень следующим образом: пусть алгебра фон Неймана ограниченных по норме последовательностей и пусть . Частное оказывается фактором II ₁ со следом , где любая репрезентативная последовательность .${\ Displaystyle \ омега}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle Р ^ {\ омега}}$${\ displaystyle l ^ {\ infty} (R) = \ {(x_ {n}) _ {n} \ subseteq R: \ sup _ {n} || x_ {n} || <\ infty \}}$${\ displaystyle I _ {\ omega} = \ {(x_ {n}) \ in l ^ {\ infty} (R): \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} ^ {*} х_ {п}) ^ {\ гидроразрыва {1} {2}} = 0 \}}$${\ displaystyle R ^ {\ omega} = l ^ {\ infty} (R) / I _ {\ omega}}$${\ Displaystyle \ тау _ {R ^ {\ омега}} (х) = \ lim _ {п \ стрелка вправо \ омега} \ тау (х_ {п} + I _ {\ омега})}$${\ Displaystyle (х_ {п}) _ {п}}$${\ Displaystyle х}$

Проблема вложения Конна спрашивает, может ли каждый фактор типа II ₁ в сепарабельном гильбертовом пространстве быть вложенным в некоторое . ${\ Displaystyle Р ^ {\ омега}}$

Положительное решение проблемы означало бы, что инвариантные подпространства существуют для большого класса операторов в II-1-факторах ( Uffe Haagerup ); все счетные дискретные группы гиперлинейны . Положительное решение проблемы подразумевает равенство между свободной энтропией и свободной энтропией, определяемой микросостояниями ( Дэн Войкулеску ). В январе 2020 г. группа исследователей ^[2] заявила, что решила проблему отрицательно, т. е. существуют факторы фон Неймана типа II ₁ , которые не вкладываются в сверхстепень гиперконечного фактора II _{1 .}${\ Displaystyle \ чи ^ {*}}$ ${\ Displaystyle Р ^ {\ омега}}$

---