Микрогосударство (статистическая механика)

Микросостояния и макросостояния подбрасывания монеты дважды. Все микросостояния равновероятны, но макросостояние (H, T) вдвое более вероятно, чем макросостояние (H, H) и (T, T).

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: Статистическая механика "Microstate" - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( декабрь 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В статистической механике , A микросостояние представляет собой конфигурация конкретного микроскопического из термодинамической системы , что система может занимать с некоторой вероятностью в процессе ее тепловых колебаний . Напротив, макросостояние системы относится к ее макроскопическим свойствам, таким как температура , давление , объем и плотность . ^[1] Труды по статистической механике ^[2]^[3]определяют макросостояние следующим образом: говорят, что определенный набор значений энергии, количества частиц и объема изолированной термодинамической системы определяет ее конкретное макросостояние. В этом описании микросостояния представлены как различные возможные способы достижения системой определенного макросостояния.

Макросостояние характеризуется распределением вероятностей возможных состояний по определенному статистическому ансамблю всех микросостояний. Это распределение описывает вероятность нахождения системы в определенном микросостоянии. В термодинамическом пределе все микросостояния, которые посещает макроскопическая система во время ее флуктуаций, обладают одинаковыми макроскопическими свойствами.

Микроскопические определения термодинамических концепций [ править ]

Статистическая механика связывает эмпирические термодинамические свойства системы со статистическим распределением ансамбля микросостояний. Все макроскопические термодинамические свойства системы могут быть рассчитаны на основе статистической суммы, которая суммирует энергию всех ее микросостояний.

В любой момент система распределена по ансамблю микросостояний, каждое из которых обозначается значком , имеет вероятность занятия и энергию . Если микросостояния являются квантово-механическими по своей природе, то эти микросостояния образуют дискретный набор, как определено квантовой статистической механикой , и представляют собой энергетический уровень системы. ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$

Внутренняя энергия [ править ]

Внутренняя энергия макросостояния - это среднее значение энергии системы по всем микросостояниям.

U\,:=\,\langle E\rangle \,=\,\sum \limits _{i=1}^{N}p_{i}\,E_{i}

Это микроскопическая формулировка понятия энергии, связанного с первым законом термодинамики .

Энтропия [ править ]

Для более общего случая канонического ансамбля абсолютная энтропия зависит исключительно от вероятностей микросостояний и определяется как

S\,:=\,-k_{\mathrm {B} }\sum \limits _{i=1}^{N}p_{i}\,\ln(p_{i})

где - постоянная Больцмана . Для микроканонического ансамбля , состоящего только из микросостояний с энергией, равной энергии макросостояния, это упрощается до $k_{B}$

S=k_{B}\,\ln W

где - количество микросостояний. Эта форма энтропии появляется на надгробии Людвига Больцмана в Вене. $W$

Второй закон термодинамики описывает , как энтропия изолированной системы изменяется во времени. Третий закон термодинамики соответствует этому определению, так как нулевой энтропия означает , что макросостояние системы сводится к одному микросостоянию.

Тепло и работа [ править ]

Тепло и работу можно различить, если принять во внимание квантовую природу системы.

Для замкнутой системы (без переноса вещества) тепло в статистической механике - это перенос энергии, связанный с неупорядоченным микроскопическим воздействием на систему, связанным со скачками чисел заполнения квантовых уровней энергии системы без изменения значений самих уровней энергии. ^[2]

Работа - это передача энергии, связанная с упорядоченным макроскопическим воздействием на систему. Если это действие действует очень медленно, то адиабатическая теорема квантовой механики подразумевает, что это не вызовет скачков между энергетическими уровнями системы. В этом случае внутренняя энергия системы изменяется только за счет изменения энергетических уровней системы. ^[2]

Микроскопические, квантовые определения тепла и работы следующие:

\delta W=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\,dE_{i}

\delta Q=\sum _{i=1}^{N}E_{i}\,dp_{i}

так что

~dU=\delta W+\delta Q.

Два приведенных выше определения тепла и работы являются одними из немногих выражений статистической механики, в которых термодинамические величины, определенные в квантовом случае, не находят аналогичного определения в классическом пределе. Причина в том, что классические микросостояния не определены по отношению к конкретному ассоциированному квантовому микросостоянию, а это означает, что когда работа изменяет полную энергию, доступную для распределения между классическими микросостояниями системы, уровни энергии (так сказать) микросостояний изменяются. не следить за этим изменением.

Микросостояние в фазовом пространстве [ править ]

Классическое фазовое пространство [ править ]

Описание классической системы F степеней свободы может быть сформулировано в терминах 2F- мерного фазового пространства , оси координат которого состоят из F обобщенных координат q _i системы и ее F обобщенных импульсов p _i . Микросостояние такой системы будет определяться единственной точкой в фазовом пространстве. Но для системы с огромным количеством степеней свободы ее точное микросостояние обычно не важно. Таким образом, фазовое пространство можно разделить на ячейки размером h ₀ = Δq _i Δp _i, каждое из которых рассматривается как микросостояние. Теперь микросостояния дискретны и счетны ^[4], а внутренняя энергия U больше не имеет точного значения, а находится между U и U + δU , с . ${\textstyle \delta U\ll U}$

Число микросостояний Ω, которое может занимать замкнутая система, пропорционально объему ее фазового пространства:

\Omega (U)={\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}\int \ \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)\prod _{i=1}^{\mathcal {F}}dq_{i}dp_{i}

где - индикаторная функция . Он равен 1, если функция Гамильтона H (x) в точке x = (q, p) в фазовом пространстве находится между U и U + δU и 0, если нет. Константа делает Ω (U) безразмерным. Для идеального газа есть . ^[5]

{\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}

{\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}

\Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U

В этом описании частицы различимы. Если положение и импульс двух частиц поменяются местами, новое состояние будет представлено другой точкой в фазовом пространстве. В этом случае одна точка будет представлять микросостояние. Если подмножество M частиц неотличимо друг от друга, то M! возможные перестановки или возможные обмены этих частиц будут считаться частью одного микросостояния. Набор возможных микросостояний также отражается в ограничениях на термодинамическую систему.

Например, в случае простого газа из N частиц с полной энергией U, содержащегося в кубе объема V , в котором образец газа нельзя отличить от любого другого образца экспериментальными средствами, микросостояние будет состоять из вышеуказанного - упомянул N! точки в фазовом пространстве, а множество микросостояний будут ограничены , чтобы иметь все координаты позиции лежать внутри коробки, а импульсы лежать на поверхности гиперсферическом в импульсах координат радиуса U . Если, с другой стороны, система состоит из смеси двух разных газов, образцы которых можно отличить друг от друга, скажем, A и B, то количество микросостояний увеличивается, поскольку две точки, в которых частица A и B обмениваются в фазовом пространстве, больше не являются частью одного и того же микросостояния. Тем не менее, две идентичные частицы можно различить, например, по их положению. (См. Конфигурационная энтропия .) Если ящик содержит идентичные частицы и находится в состоянии равновесия, и вставлена перегородка, разделяющая объем пополам, частицы в одной ячейке теперь можно отличить от частиц во второй ячейке. В фазовом пространстве N / 2 частиц в каждом ящике теперь ограничены объемом V / 2 , а их энергия - U / 2., и количество точек, описывающих отдельное микросостояние, изменится: описание фазового пространства не то же самое.

Это имеет значение как для парадокса Гиббса, так и для правильного подсчета Больцмана . Что касается счета Больцмана, то именно множественность точек в фазовом пространстве эффективно уменьшает количество микросостояний и увеличивает энтропию. Что касается парадокса Гибба, важным результатом является то, что увеличение числа микросостояний (и, следовательно, увеличение энтропии) в результате вставки раздела точно соответствует уменьшению числа микросостояний (и, следовательно, уменьшению числа микросостояний). энтропия) в результате уменьшения объема, доступного каждой частице, что дает нулевое изменение чистой энтропии.

См. Также [ править ]

Квантовая статистическая механика
Степени свободы (физика и химия)
Эргодическая гипотеза
Фазовое пространство

Ссылки [ править ]

^ Макросостояния и микросостояния, заархивированные 5 марта 2012 г., на Wayback Machine
^ a b c Рейф, Фредерик (1965). Основы статистической и теплофизики . Макгроу-Хилл. С. 66–70. ISBN 978-0-07-051800-1.
^ Pathria, РК (1965). Статистическая механика . Баттерворт-Хайнеманн. п. 10. ISBN 0-7506-2469-8.
^ "Статистическое описание физических систем" .
^ Bartelmann, Матиас (2015). Theoretische Physik . Springer Spektrum. С. 1142–1145. ISBN 978-3-642-54617-4.

Внешние ссылки [ править ]

Некоторые иллюстрации микросостояний и макросостояния

[1] Макросостояния и микросостояния, заархивированные 5 марта 2012 г., на Wayback Machine

[Reif-2] Рейф, Фредерик (1965). Основы статистической и теплофизики . Макгроу-Хилл. С. 66–70. ISBN 978-0-07-051800-1.

[3] Pathria, РК (1965). Статистическая механика . Баттерворт-Хайнеманн. п. 10. ISBN 0-7506-2469-8.

[4] "Статистическое описание физических систем" .

[5] Bartelmann, Матиас (2015). Theoretische Physik . Springer Spektrum. С. 1142–1145. ISBN 978-3-642-54617-4.

[1]