Ограничение (математика)

В математике ограничение — это условие задачи оптимизации , которому должно удовлетворять решение. Существует несколько типов ограничений — в первую очередь ограничения равенства , ограничения неравенства и целочисленные ограничения . Множество возможных решений , удовлетворяющих всем ограничениям, называется допустимым множеством . ^[1]

где обозначает вектор ( x ₁ , x ₂ ). ${\ Displaystyle \ mathbf {х}}$

В этом примере первая строка определяет минимизируемую функцию (называемую целевой функцией , функцией потерь или функцией стоимости). Вторая и третья строки определяют два ограничения, первое из которых является ограничением неравенства, а второе — ограничением равенства. Эти два ограничения являются жесткими ограничениями , что означает, что они должны быть удовлетворены; они определяют допустимый набор возможных решений.

Без ограничений решение было бы (0,0), где имеет наименьшее значение. Но это решение не удовлетворяет ограничениям. Решением задачи оптимизации с ограничениями , указанной выше , является точка с наименьшим значением , удовлетворяющая двум ограничениям. ${\ Displaystyle е (\ mathbf {х})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {х} = (1,1)}$ ${\ Displaystyle е (\ mathbf {х})}$

Если проблема требует соблюдения ограничений, как в приведенном выше обсуждении, ограничения иногда называют жесткими ограничениями . Однако в некоторых задачах, называемых гибкими задачами удовлетворения ограничений , предпочтительно, но не обязательно, чтобы выполнялись определенные ограничения; такие необязательные ограничения известны как мягкие ограничения . Мягкие ограничения возникают, например, при планировании на основе предпочтений . В задаче MAX-CSP допускается нарушение ряда ограничений, а качество решения измеряется количеством удовлетворенных ограничений.