Охлаждение и нагрев (комбинаторная теория игр)

В комбинаторной теории игр , охлаждение , нагрев и перегрев являются операции на горячих играх , чтобы сделать их более восприимчивыми к традиционным методам теории, которая была первоначально придуманных для холодных игр , в которых победитель является последним игроком , чтобы иметь ход. ^[1] Перегрев был обобщен Элвином Берлекампом для анализа Blockbusting . ^[2] Охлаждение (или ненагревание ) и нагревание - это варианты, используемые при анализе эндшпиля в го . ^{[3] [4]}

Охлаждение и охлаждение можно рассматривать как налог на перемещающегося игрока, заставляющий его платить за привилегию сделать это, в то время как нагрев, нагревание и перегрев - это операции, которые более или менее обращают охлаждение и охлаждение в обратном направлении.

Основные операции: охлаждение, нагрев [ править ]

Охлаждение игры ( « охлаждается ») для игры и (сюрреалистическое) числа определяется ^[5]${\ displaystyle G_ {t}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle t}$

${\displaystyle G_{t}={\begin{cases}\{G_{t}^{L}-t\mid G_{t}^{R}+t\}&{\text{ for all numbers }}t\leq {\text{ any number }}\tau {\text{ for which }}G_{\tau }{\text{ is infinitesimally close to some number }}m{\text{ , }}\\G_{t}=m&{\text{ for }}t>\tau \end{cases}}}$.

Количество , с помощью которого охлаждают известна как температура ; минимум , для которого бесконечно близко к известна как температура в ; говорят, что замерзает до ; - среднее значение (или просто среднее значение ) .${\displaystyle t}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle G_{\tau }}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle t(G)}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{\tau }}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$

Нагревание является обратным по отношению к охлаждению и определяется как « интеграл » ^[6]

${\displaystyle \int ^{t}G={\begin{cases}G&{\text{ if }}G{\text{ is a number, }}\\\{\int ^{t}(G^{L})+t\mid \int ^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}$

Умножение и перегрев [ править ]

Умножение Нортона - это расширение умножения на игру и положительную игру («единицу»), определенную в ^[7]${\displaystyle G}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle G.U={\begin{cases}G\times s&{\text{ (i.e. the sum of }}G{\text{ copies of }}s{\text{) if }}G{\text{ is a non-negative integer, }}\\-G\times -s&{\text{ if }}G{\text{ is a negative integer, }}\\\{G^{L}.U+(U+I)\mid G^{R}.U-(U+I)\}{\text{ where }}I{\text{ ranges over }}\Delta (U)&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}$

Стимулы игры определяются как .${\displaystyle \Delta (U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{u-U:u\in U^{L}\}\cup \{U-u:u\in U^{R}\}}$

Перегрев является расширением отопления используется в Берлекемпе в растворе из Blockbusting , где перегретого от до определяются для произвольных игр с в ^[8]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$${\displaystyle G,s,t}$${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle \int _{s}^{t}G={\begin{cases}G.s&{\text{ if }}G{\text{ is an integer, }}\\\{\int _{s}^{t}(G^{L})+t\mid \int _{s}^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}$

Winning Ways также определяет перегрев игрыположительной игрой, как ^[9]${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \int _{0}^{t}G=\{\int _{0}^{t}(G^{L})+X\mid \int _{0}^{t}(G^{R})-X\}}$

Обратите внимание, что в этом определении числа не рассматриваются иначе, чем произвольные игры.

Обратите внимание, что «нижняя граница» 0 отличает это определение от предыдущего определения Берлекампа.

Операции для Go: охлаждение и согревание [ редактировать ]

Охлаждение - это вариант охлаждения, используемый для анализа эндшпиля го в го и определяется ^[10]${\displaystyle 1}$

${\displaystyle f(G)={\begin{cases}m&{\text{ if }}G{\text{ is of the form }}m{\text{ or }}m*{\text{ , }}\\\{f(G^{L})-1\mid F(G^{R})+1\}&{\text{ otherwise }}.\end{cases}}}$

Это эквивалентно охлаждению, когда это «даже элементарная позиция Go в канонической форме». ^[11]${\displaystyle 1}$${\displaystyle G}$

Нагревание - это особый случай перегрева, а именно , обычно пишется просто как « инвертирует охлаждение», когда это «даже элементарная позиция го в канонической форме». В этом случае предыдущее определение упрощается до вида ^[12]${\displaystyle \int _{1*}^{1}}$${\displaystyle \int }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int G={\begin{cases}G&{\text{ if }}G{\text{ is an even integer, }}\\G*&{\text{ if }}G{\text{ is an odd integer, }}\\\{\int (G^{L})+1\mid \int (G^{R})-1\}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}$

Ссылки [ править ]