В алгебраической геометрии , то группа Кремоны , введенная Кремона ( 1863 , +1865 ), является группой бирациональных автоморфизмов из-мерное проективное пространство над полем. Обозначается он или же или же .
Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов поля рациональных функций в не определяет , Или, другими словами чисто трансцендентное расширение из, со степенью трансцендентности .
Проективная линейная группа порядка, проективных преобразований , содержится в группе Кремоны порядка. Эти двое равны только тогда, когда или же , и в этом случае числитель и знаменатель преобразования должны быть линейными.
Группа Кремона в двух измерениях
В двух измерениях Макс Нётер и Кастельнуово показали, что комплексная группа Кремоны порождается стандартным квадратичным преобразованием вместе с , хотя были некоторые разногласия по поводу правильности их доказательств, и Гизатуллин (1983) дал полный набор соотношений для этих генераторов. Структура этой группы все еще недостаточно изучена, хотя было проделано много работы по поиску ее элементов или подгрупп.
- Cantat & Lamy (2010) показали, что группа Кремоны не проста как абстрактная группа;
- Блан показал, что в нем нет нетривиальных нормальных подгрупп, также замкнутых в естественной топологии.
- О конечных подгруппах группы Кремоны см. Долгачев и Исковских (2009) .
Группа Кремоны в высших измерениях
Мало что известно о структуре группы Кремона в трех измерениях и выше, хотя многие ее элементы описаны. Blanc (2010) показал, что это (линейно) связано, отвечая на вопрос Серра (2010) . Нет простого аналога теоремы Нётер – Кастельнуво, поскольку Хадсон (1927) показал, что группа Кремоны в размерности не менее 3 не порождается своими элементами степени, ограниченной каким-либо фиксированным целым числом.
Группы Де Жонкьер
Группа Де Жонкьера - это подгруппа группы Кремоны следующей формы [ ссылка ] . Выберите основу трансцендентности для расширения поля . Тогда группа Де Жонкьера - это подгруппа автоморфизмов группы отображение подполя в себя для некоторых . Он имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов над полем , а фактор-группа - это группа Кремоны над полем . Его также можно рассматривать как группу бирациональных автоморфизмов расслоения.
Когда а также группа Де Жонкьера - это группа преобразований Кремоны, фиксирующих пучок прямых, проходящих через данную точку, и является полупрямым произведением а также .
Рекомендации
- Альберих-Карраминяна, Мария (2002), Геометрия плоских карт Кремоны , Лекционные заметки по математике, 1769 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / b82933 , ISBN 978-3-540-42816-9, MR 1874328
- Blanc, Jérémy (2010), "Groupes de Cremona, connexité et simplicité", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Серия 4, 43 (2): 357–364, doi : 10.24033 / asens.2123 , ISSN 0012-9593 , Руководство по ремонту 2662668
- Кантат, Серж; Лами, Стефан (2010). «Нормальные подгруппы в группе Кремоны». Acta Mathematica . 210 (2013): 31–94. arXiv : 1007.0895 . Bibcode : 2010arXiv1007.0895C . DOI : 10.1007 / s11511-013-0090-1 .
- Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1931), трактат об алгебраических плоских кривых , Oxford University Press , ISBN 978-0-486-49576-7, MR 0120551
- Кремона, Л. (1863), «Геометрическая фигура суллы» , « Математические книги Баттаглини» , 1 : 305–311
- Кремона, Л. (1865), "Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane" , Giornale di matematiche di Battaglini , 3 : 269–280, 363–376
- Демазюр, Мишель (1970), "Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 3 : 507–588, ISSN 0012-9593 , MR 0284446
- Долгачев, Игорь В. (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8, Архивируются от оригинала (PDF) на 2014-05-31 , извлекаются 2012-04-18
- Долгачев, Игорь В .; Исковских, Василий А. (2009), "Конечные подгруппы плоской группы Кремоны", Алгебра, арифметика и геометрия: памяти Ю. И. Манин. Vol. Я , Прогр. . Математика, 269 , Boston, MA: Birkhäuser Бостон, стр 443-548,. Arxiv : математика / 0610595 , DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4745-2_11 , ISBN 978-0-8176-4744-5, Руководство по ремонту 2641179
- Гизатуллин, М.Х. (1983), "Определяющие соотношения для группы Кремоны плоскости", Математика СССР - Известия , 21 (2): 211–268, Bibcode : 1983IzMat..21..211G , doi : 10.1070 / IM1983v021n02ABEH001789 , ISSN 0373 -2436 , Руководство по ремонту 0675525
- Годо, Люсьен (1927), Ль преобразование birationelles его план , мемориальная де науки Mathématiques, 22 , Готье-Виллар ET CIE, СУЛ 53.0595.02
- "Группа Кремоны" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- "Преобразование Кремоны" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Хадсон, Хильда Фиби (1927), преобразования Кремоны в плоскости и пространстве , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35882-8, Переиздано 2012 г.
- Семпл, JG; Рот, Л. (1985), Введение в алгебраическую геометрию , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853363-4, Руководство по ремонту 0814690
- Серр, Жан-Пьер (2009), «Оценка в стиле Минковского для порядков конечных подгрупп группы Кремоны ранга 2 над произвольным полем», Московский математический журнал , 9 (1): 193–208, doi : 10.17323 / 1609-4514-2009-9-1-183-198 , ISSN 1609-3321 , MR 2567402
- Серр, Жан-Пьер (2010), «Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis» (PDF) , Astérisque , Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, ISBN 978-2-85629-291-4, ISSN 0303-1179 , MR 2648675