Цепь (алгебраическая топология)

В алгебраической топологии k- цепь представляет собой формальную линейную комбинацию k - ячеек в клеточном комплексе . В симплициальных комплексах (соответственно кубических комплексах ) k -цепи представляют собой комбинации k -симплексов (соответственно k -кубов), ^{[1] [2] [3]} , но не обязательно связные. Цепи используются в гомологии ; элементы группы гомологии являются классами эквивалентности цепей.

Для симплициального комплекса группа -цепей задается выражением:${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle С_ {п} (Х)}$${\ Displaystyle п}$${\ Displaystyle Х}$

${\ displaystyle C_ {n} (X) = \ {\ sum \ limits _ {i} m_ {i} \ sigma _ {i} | m_ {i} \ in \ mathbb {Z} \}}$

где -симплексы . _ _ Заметим, что ни один элемент не обязательно должен быть связным симплициальным комплексом.${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{n}(X)}$

Интеграция определяется в цепях путем взятия линейной комбинации интегралов по симплексам в цепочке с коэффициентами (которые обычно являются целыми числами). Множество всех k -цепей образует группу, а последовательность этих групп называется цепным комплексом .

Граница цепи — это линейная комбинация границ симплексов в цепи. Граница k -цепи есть ( k −1)-цепь. Обратите внимание, что граница симплекса - это не симплекс, а цепь с коэффициентами 1 или -1 - таким образом, цепи являются замыканием симплексов под действием граничного оператора.

Граница ломаной представляет собой линейную комбинацию ее узлов; в этом случае некоторая линейная комбинация от A ₁ до A ₆ . Предполагая, что все сегменты ориентированы слева направо (в порядке возрастания от A _k до A _{k +1} ), граница представляет собой A ₆ - A ₁ .

Замкнутая ломаная кривая, предполагающая постоянную ориентацию, имеет нулевую границу.