Дебая ножны

Оболочка Дебай (также электростатическая оболочка ) представляет собой слой в плазме , который имеет большую плотность положительных ионов, и , следовательно , общий избыточный положительный заряд, который уравновешивает противоположный отрицательный заряд на поверхности материала , с которым он находитс в контакте. Толщина такого слоя составляет несколько длин Дебая , величина, размер которой зависит от различных характеристик плазмы (например, температуры, плотности и т. Д.).

Дебаевский слой возникает в плазме, потому что электроны обычно имеют температуру на порядок или выше температуры ионов и намного легче. Следовательно, они быстрее, чем ионы, по крайней мере, в 1 раз . Таким образом, на границе раздела с поверхностью материала электроны вылетают из плазмы, заряжая поверхность отрицательно по сравнению с плазмой в объеме. Из-за экранирования Дебая масштаб переходной области будет равняться длине Дебая . По мере увеличения потенциала все больше и больше электронов отражается потенциалом оболочки. Равновесие, наконец, достигается, когда разность потенциалов в несколько раз превышает температуру электронов.${\displaystyle {\sqrt {m_{\mathrm {i} }/m_{\mathrm {e} }}}}$ ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {D} }}$

Дебаевский слой - это переход от плазмы к твердой поверхности. Схожая физика присутствует между двумя областями плазмы, которые имеют разные характеристики; переход между этими областями известен как двойной слой и включает один положительный и один отрицательный слои.

Описание [ править ]

Положительные ионные оболочки вокруг сетки проводов в термоэлектронной газовой трубе, где ⊕ представляет собой положительный заряд (не в масштабе) (после Ленгмюра, 1929)

Оболочки впервые были описаны американским физиком Ирвингом Ленгмюром . В 1923 году он писал:

«Электроны отталкиваются от отрицательного электрода, в то время как положительные ионы притягиваются к нему. Таким образом, вокруг каждого отрицательного электрода имеется оболочка определенной толщины, содержащая только положительные ионы и нейтральные атомы. [..] Электроны отражаются от внешней поверхности оболочки в то время как все положительные ионы, которые достигают оболочки, притягиваются к электроду. [...] непосредственно следует, что не происходит никаких изменений в токе положительных ионов, достигающих электрода. Электрод фактически полностью экранирован от разряда оболочкой положительных ионов, и его потенциал не может влиять ни на явления, происходящие в дуге, ни на ток, протекающий через электрод ». ^[1]

Ленгмюр и соавтор Альберт В. Халл далее описали оболочку, образованную в термоэлектронном клапане :

На рис. 1 графически показано состояние, которое существует в такой трубке, содержащей пары ртути. Пространство между нитью и пластиной заполнено смесью электронов и положительных ионов в почти равном количестве, получившей название «плазма». Проволока, погруженная в плазму с нулевым потенциалом по отношению к ней, будет поглощать каждый ион и электрон, ударяющий по ней. Так как электроны движутся примерно в 600 раз быстрее, чем ионы, в 600 раз больше электронов ударяется о провод, чем ионов. Если провод изолирован, он должен принимать такой отрицательный потенциал, чтобы принимать равное количество электронов и ионов, то есть такой потенциал, что он отталкивает все, кроме 1 из 600 электронов, направляющихся к нему ».

«Предположим, что этот провод, который мы можем принять за часть сетки, сделан еще более отрицательным, чтобы контролировать ток через трубку. Теперь он будет отталкивать все электроны, направляющиеся к нему, но получит все положительные ионы, которые летят к нему. Таким образом, вокруг провода будет область, которая содержит положительные ионы и не будет электронов, как схематично показано на рис. 1. Ионы ускоряются по мере приближения к отрицательному проводу, и будет существовать градиент потенциала в эта оболочка, как мы можем ее назвать, из положительных ионов, так что потенциал становится все менее и менее отрицательным по мере удаления от проволоки и на определенном расстоянии равен потенциалу плазмы. Это расстояние мы определяем как границу оболочки. За пределами этого расстояния нет никакого эффекта из-за потенциала провода ». ^[2]

Математическая обработка [ править ]

Уравнение плоской оболочки [ править ]

Количественная физика дебаевской оболочки определяется четырьмя явлениями:

Сохранение энергии ионов: если для простоты предположить, что холодные ионы массы входят в оболочку со скоростью , имеющей заряд, противоположный электрону, сохранение энергии в потенциале оболочки требует${\displaystyle m_{\mathrm {i} }}$${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{\mathrm {i} }\,u(x)^{2}={\frac {1}{2}}m_{\mathrm {i} }\,u_{0}^{2}-e\,\varphi (x)}$,

где - положительный заряд электрона, т.е. x .${\displaystyle e}$${\displaystyle e=1.602}$${\displaystyle 10^{-19}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} }$

Ионная непрерывность: в установившемся состоянии ионы нигде не накапливаются, поэтому поток везде одинаков:

${\displaystyle n_{0}\,u_{0}=n_{\mathrm {i} }(x)\,u(x)}$.

Соотношение Больцмана для электронов: поскольку большая часть электронов отражается, их плотность определяется выражением

${\displaystyle n_{\mathrm {e} }(x)=n_{0}\exp {\Big (}{\frac {e\,\varphi (x)}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }}}{\Big )}}$.

Уравнение Пуассона : кривизна электростатического потенциала связана с чистой плотностью заряда следующим образом:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi (x)}{dx^{2}}}={\frac {e(n_{\mathrm {e} }(x)-n_{\mathrm {i} }(x))}{\epsilon _{0}}}}$.

Комбинируя эти уравнения и записывая их в терминах безразмерного потенциала, положения и скорости иона,

${\displaystyle \chi (\xi )=-{\frac {e\varphi (\xi )}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }}}}$

${\displaystyle \xi ={\frac {x}{\lambda _{\mathrm {D} }}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {M}}={\frac {u_{\mathrm {o} }}{(k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} })^{1/2}}}}$

мы приходим к уравнению оболочки:

${\displaystyle \chi ''=\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{-1/2}-e^{-\chi }}$.

Критерий оболочки Бома [ править ]

Уравнение оболочки можно проинтегрировать один раз, умножив на :${\displaystyle \chi '}$

${\displaystyle \int _{0}^{\xi }\chi '\chi ''\,d\xi _{1}=\int _{0}^{\xi }\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{-1/2}\chi '\,d\xi _{1}-\int _{0}^{\xi }e^{-\chi }\chi '\,d\xi _{1}}$

На краю оболочки ( ) мы можем определить потенциал равным нулю ( ) и предположить, что электрическое поле также равно нулю ( ). С этими граничными условиями интегрирования дают${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle \chi =0}$${\displaystyle \chi '=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi '^{2}={\mathfrak {M}}^{2}\left[\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{1/2}-1\right]+e^{-\chi }-1}$

Его легко переписать в виде интеграла в замкнутой форме, хотя его можно решить только численно. Тем не менее важную информацию можно получить аналитически. Поскольку левая часть представляет собой квадрат, правая часть также должна быть неотрицательной для каждого значения , в частности для небольших значений. Глядя на разложение Тейлора , мы видим, что первый член, который не обращается в нуль, - это квадратичный член, поэтому мы можем потребовать${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi =0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi ^{2}\left(-{\frac {1}{{\mathfrak {M}}^{2}}}+1\right)\geq 0}$,

или же

${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{2}\geq 1}$,

или же

${\displaystyle u_{0}\geq (k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} })^{1/2}}$.

Это неравенство известно как критерий оболочки Бома в честь его первооткрывателя Дэвида Бома . Если ионы входят в оболочку слишком медленно, потенциал оболочки «проедает» свой путь в плазму, чтобы ускорить их. В конечном итоге так называемая предварительная оболочка будет развиваться с падением потенциала порядка и масштаба, определяемого физикой ионного источника (часто такого же, как размеры плазмы). Обычно критерий Бома выполняется с равенством, но бывают ситуации, когда ионы входят в оболочку со сверхзвуковой скоростью.${\displaystyle (k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/2e)}$

Закон Чайлда – Ленгмюра [ править ]

Хотя уравнение оболочки обычно необходимо интегрировать численно, мы можем найти приближенное решение аналитически, пренебрегая этим членом. Это равносильно пренебрежению электронной плотностью в оболочке или анализу только той части оболочки, где электронов нет. Для «плавающей» поверхности, то есть такой, которая не потребляет чистый ток из плазмы, это полезное, хотя и грубое приближение. Для поверхности с сильным отрицательным смещением, так что она потребляет ток насыщения ионов , приближение очень хорошее. Принято, хотя и не является строго необходимым, для дальнейшего упрощения уравнения, предполагая, что оно намного больше единицы. Тогда уравнение оболочки принимает простой вид${\displaystyle e^{-\chi }}$${\displaystyle 2\chi /{\mathfrak {M}}^{2}}$

${\displaystyle \chi ''={\frac {\mathfrak {M}}{(2\chi )^{1/2}}}}$.

Как и раньше, умножаем на и проинтегрируем, чтобы получить${\displaystyle \chi '}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi '^{2}={\mathfrak {M}}(2\chi )^{1/2}}$,

или же

${\displaystyle \chi ^{-1/4}\chi '=2^{3/4}{\mathfrak {M}}^{1/2}}$.

Это легко интегрируется по ξ, чтобы получить

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\chi _{\mathrm {w} }^{3/4}=2^{3/4}{\mathfrak {M}}^{1/2}d}$,

где - (нормированный) потенциал на стенке (относительно края оболочки), а d - толщина оболочки. Возвращаясь к переменным и и отмечая, что ионный ток в стенку равен , мы имеем${\displaystyle \chi _{\mathrm {w} }}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle J=e\,n_{0}\,u_{0}}$

${\displaystyle J={\frac {4}{9}}\left({\frac {2e}{m_{i}}}\right)^{1/2}{\frac {|\varphi _{w}|^{3/2}}{4\pi d^{2}}}}$.

Это уравнение известно как закон Чайлда в честь Клемента Д. Чайлда (1868–1933), который впервые опубликовал его в 1911 году, или как закон Чайлда-Ленгмюра , также уважающий Ирвинга Ленгмюра , который открыл его независимо и опубликовал в 1913 году. впервые был использован для получения тока, ограниченного объемным зарядом, в вакуумном диоде с расстоянием между электродами d . Его также можно инвертировать, чтобы получить толщину дебаевской оболочки как функцию падения напряжения, задав :${\displaystyle J=j_{\mathrm {ion} }^{\mathrm {sat} }}$

${\displaystyle d={\frac {2}{3}}\left({\frac {2e}{m_{\mathrm {i} }}}\right)^{1/4}{\frac {|\varphi _{\mathrm {w} }|^{3/4}}{2{\sqrt {\pi j_{\mathrm {ion} }^{\mathrm {sat} }}}}}}$.

См. Также [ править ]

• Амбиполярная диффузия
• Двойной слой (плазма) , особенно секция Двойные токонесущие слои, образованные одиночными пучками с нулевой температурой
• Список статей по приложениям плазмы (физики)

Сноски [ править ]