Длина Дебая

В плазме и электролитах , то длина Дебая (также называемый радиусом Дебая ), названную в честь Питера Дебая , является мерой носителя заряда «Чистый электростатический эффект в растворе и насколько его электростатический эффект сохраняется. ^[1] Дебайте сфера представляет собой объем, радиус которой длина Дебая. С каждой длиной Дебая заряды все больше экранируются электрически . На каждой длине Дебая электрический потенциал будет уменьшаться по величине на 1 / e. Длина Дебая является важным параметром в физике плазмы , электролитов и ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}}}$ коллоиды ( теория ДЛВО ). Соответствующий волновой вектор экранирования Дебая для частиц плотности , заряда при температуре выражается в гауссовых единицах . Выражения в единицах МКС будут приведены ниже. Аналогичные величины при очень низких температурах ( ) известны как длина Томаса – Ферми и волновой вектор Томаса – Ферми. Они представляют интерес для описания поведения электронов в металлах при комнатной температуре. ${\ Displaystyle к _ {\ rm {D}} = 1 / \ lambda _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle к _ {\ rm {D}} ^ {2} = 4 \ pi nq ^ {2} / (k _ {\ rm {B}} T)}$ ${\ displaystyle T \ to 0}$

Физическое происхождение [ править ]

Длина Дебая естественным образом возникает при термодинамическом описании больших систем подвижных зарядов. В системе зарядов разных видов -й вид несет заряд и имеет концентрацию в позиции . В соответствии с так называемым «примитивной моделью», эти заряды распределены в непрерывной среде, которая характеризуется только его относительной статической диэлектрической проницаемостью , . Такое распределение зарядов в этой среде приводит к возникновению электрического потенциала, который удовлетворяет уравнению Пуассона : ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle q_ {j}}$ ${\ Displaystyle N_ {J} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ $\Phi (\mathbf {r} )$

\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )

,

где , - электрическая постоянная , - плотность заряда, внешняя (логически, а не пространственно) по отношению к среде. $\varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$ $\varepsilon _{0}$ $\rho _{\rm {ext}}$

Мобильные платежи способствуют не только в создании , но и двигаться в ответ на соответствующую кулоновской силу , . Если мы далее предположим, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом при абсолютной температуре , то концентрации дискретных зарядов могут рассматриваться как средние термодинамические (по ансамблю), а соответствующий электрический потенциал - как среднее термодинамическое поле . При этих предположениях концентрация заряда -го вида описывается распределением Больцмана : $\Phi (\mathbf {r} )$ $-q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )$ $T$ $n_{j}(\mathbf {r} )$ $j$

n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)

,

где - постоянная Больцмана, а где - средняя концентрация зарядов веществ . $k_{\rm {B}}$ $n_{j}^{0}$ $j$

Отождествление мгновенных концентраций и потенциала в уравнении Пуассона с их аналогами для среднего поля в распределении Больцмана дает уравнение Пуассона – Больцмана :

\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )

.

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Решения для более общих систем могут быть получены в пределе высоких температур (слабой связи) путем расширения Тейлора экспоненты: $q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T$

\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}

.

Это приближение дает линеаризованное уравнение Пуассона-Больцмана

\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )

которое также известно как уравнение Дебая – Хюккеля : ^[2]^[3]^[4]^[5]^[6] Второй член в правой части обращается в нуль для систем, которые электрически нейтральны. Термин в скобках, разделенный на , имеет единицы обратной длины в квадрате, и путем анализа размеров приводит к определению характерного масштаба длины. $\varepsilon$

\lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}

это обычно называют длиной Дебая – Хюккеля. Как единственный характерный масштаб длины в уравнении Дебая – Хюккеля, задает масштаб для вариаций потенциала и концентраций заряженных частиц. Все заряженные частицы вносят вклад в длину Дебая – Хюккеля одинаково, независимо от знака их зарядов. Для электрически нейтральной системы уравнение Пуассона принимает вид $\lambda _{D}$

\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}

Чтобы проиллюстрировать экранирование Дебая, потенциал, создаваемый внешним точечным зарядом, равен $\rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )$

\Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}

Затравочный кулоновский потенциал экспоненциально экранируется средой на расстоянии длины Дебая.

Длину Дебая-Хюккеля можно выразить через длину Бьеррума как $\lambda _{\rm {B}}$

\lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2}

,

где - целое число заряда, которое связывает заряд -й ионной разновидности с элементарным зарядом . $z_{j}=q_{j}/e$ $j$ $e$

В плазме [ править ]

В неизотермической плазме температуры для электронов и тяжелых частиц могут различаться, в то время как фоновая среда может рассматриваться как вакуум ( ), а длина Дебая равна $\varepsilon _{r}=1$

\lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{i}}}}

куда

λ _D - длина Дебая,

ε ₀ - диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,

k _B - постоянная Больцмана ,

q _e - заряд электрона ,

T _e и T _i - температуры электронов и ионов соответственно,

n _e - плотность электронов,

n _j - плотность разновидностей атомов j , с положительным ионным зарядом z _j q _e

Даже в квазинейтральной холодной плазме, где вклад ионов фактически кажется больше из-за более низкой ионной температуры, ионный член на самом деле часто опускается, давая

\lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}

хотя это справедливо только в том случае, если подвижность ионов ничтожна по сравнению с масштабом времени процесса. ^[7]

Типичные значения [ править ]

В космической плазме, где электронная плотность относительно мала, длина Дебая может достигать макроскопических значений, например, в магнитосфере, солнечном ветре, межзвездной среде и межгалактической среде. См. Таблицу ниже: ^[8]


Плазма	Плотность n _e (м ⁻³ )	Температура электронов T (K)	Магнитное поле B (Тл)	Длина Дебая λ _D (м)
Солнечное ядро	10 ³²	10 ⁷	-	10 ⁻¹¹
Токамак	10 ²⁰	10 ⁸	10	10 ⁻⁴
Сброс газа	10 ¹⁶	10 ⁴	-	10 ⁻⁴
Ионосфера	10 ¹²	10 ³	10 ⁻⁵	10 ⁻³
Магнитосфера	10 ⁷	10 ⁷	10 ⁻⁸	10 ²
Солнечный ветер	10 ⁶	10 ⁵	10 ⁻⁹	10
Межзвездная среда	10 ⁵	10 ⁴	10 ⁻¹⁰	10
Межгалактическая среда	1	10 ⁶	-	10 ⁵

В растворе электролита [ править ]

В электролите или коллоидной суспензии длина Дебая ^[9]^[10]^[11] для одновалентного электролита обычно обозначается символом κ ^−1.

\kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2\times 10^{3}N_{\rm {A}}e^{2}I}}}

куда

I - ионная сила электролита в молярных единицах (М или моль / л),

ε ₀ - диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,

ε _r - диэлектрическая проницаемость ,

k _B - постоянная Больцмана ,

T - абсолютная температура в градусах Кельвина ,

N _A - это число Авогадро .

e

это элементарный заряд ,

или, для симметричного одновалентного электролита,

\kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}

куда

R - газовая постоянная ,

F - постоянная Фарадея ,

C ₀ - концентрация электролита в молярных единицах (М или моль / л).

В качестве альтернативы,

\kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{3}I}}}

куда

\lambda _{\rm {B}}

- длина среды по Бьерруму.

Для воды комнатной температуры λ _B ≈ 0,7 нм.

При комнатной температуре (20 ° C или 70 ° F) в воде можно учитывать соотношение: ^[12]

\kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}

куда

κ ⁻¹ выражается в нанометрах (нм)

I - ионная сила, выраженная в молях (М или моль / л).

Существует метод оценки приблизительного значения длины Дебая в жидкостях с использованием проводимости, который описан в стандарте ISO ^[9] и книге. ^[10]

В полупроводниках [ править ]

Длина Дебая становится все более важной при моделировании твердотельных устройств, поскольку усовершенствования литографических технологий позволили уменьшить геометрию. ^[13]^[14]^[15]

Дебаевская длина полупроводников равна:

L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}

куда

ε - диэлектрическая проницаемость,

k _B - постоянная Больцмана,

T - абсолютная температура в градусах Кельвина,

q - элементарный заряд, а

N _dop - это чистая плотность примесей (доноров или акцепторов).

Когда профили легирования превышают длину Дебая, основные носители больше не ведут себя в соответствии с распределением допантов. Вместо этого измерение профиля градиентов легирования обеспечивает «эффективный» профиль, который лучше соответствует профилю основной плотности носителей.

В контексте твердых тел длина Дебая также называется длиной экранирования Томаса – Ферми .

См. Также [ править ]

Длина Бьеррума
Эффект Дебая – Фалькенхагена
Плазменные колебания
Эффект экранирования
Эффект экранирования

Ссылки [ править ]

^ Дебай, P .; Хюкель, Э. (2019) [1923]. Перевод Брауса, Майкла Дж. "Zur Theorie der Elektrolyte. I. Gefrierpunktserniedrigung und verwandte Erscheinungen" [Теория электролитов. I. Понижение точки замерзания и связанные с ним явления. Physikalische Zeitschrift . 24 (9): 185–206.
↑ Кирби, Би Джей (2010). Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11903-0.
^ Ли, Д. (2004). Электрокинетика в микрофлюидике . Академическая пресса. ISBN 0-12-088444-5.
^ ПК Клеммова & JP Догерти (1969). Электродинамика частиц и плазмы . Редвуд-Сити, Калифорния: Эддисон-Уэсли . стр. § 7.6.7, с. 236 сл. ISBN 978-0-201-47986-7.
Перейти ↑ RA Robinson & RH Stokes (2002). Растворы электролитов . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . п. 76. ISBN 978-0-486-42225-1.
^ См. Brydges, David C .; Мартин, доктор философии (1999). «Кулоновские системы при низкой плотности: обзор». Журнал статистической физики . 96 (5/6): 1163–1330. arXiv : cond-mat / 9904122 . Bibcode : 1999JSP .... 96.1163B . DOI : 10,1023 / A: 1004600603161 . S2CID 54979869 .
^ IH Hutchinson Принципы диагностики плазмы ISBN 0-521-38583-0
^ Кип Торн (2012). "Глава 20: Кинетика частиц плазмы" (PDF) . Приложения классической физики . Проверено 7 сентября 2017 года .
^ a b Международный стандарт ISO 13099-1, 2012, «Коллоидные системы. Методы определения дзета-потенциала. Часть 1: Электроакустические и электрокинетические явления»
^ а б Духин А.С.; Гетц, П.Дж. (2017). Определение характеристик жидкостей, нано- и микрочастиц и пористых тел с помощью ультразвука . Эльзевир. ISBN 978-0-444-63908-0.
^ Рассел, ВБ; Saville, DA; Шовальтер, WR (1989). Коллоидные дисперсии . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42600-6.
^ Israelachvili, J. (1985). Межмолекулярные и поверхностные силы . Академическая пресса. ISBN 0-12-375181-0.
^ Стерн, Эрик; Робин Вагнер; Фред Дж. Сигворт; Рональд Брейкер; Тарек М. Фахми; Марк А. Рид (01.11.2007). "Важность дебаевской длины экранирования на датчиках полевых транзисторов на основе нанопроволоки" . Нано-буквы . 7 (11): 3405–3409. Bibcode : 2007NanoL ... 7.3405S . DOI : 10.1021 / nl071792z . PMC 2713684 . PMID 17914853 .
^ Го, Lingjie; Эффенди Леобандунг; Стивен Ю. Чоу (199). "Одноэлектронная память металл-оксид-полупроводник кремния при комнатной температуре с плавающим затвором нанометрового размера и сверхузким каналом". Письма по прикладной физике . 70 (7): 850. Bibcode : 1997ApPhL..70..850G . DOI : 10.1063 / 1.118236 .
^ Тивари, Сандип; Фархан Рана; Кевин Чан; Литен Ши; Хусейн Ханафи (1996). «Эффект одиночного заряда и удержания в памяти нанокристаллов». Письма по прикладной физике . 69 (9): 1232. Bibcode : 1996ApPhL..69.1232T . DOI : 10.1063 / 1.117421 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Голдстон и Резерфорд (1997). Введение в физику плазмы . Филадельфия: Издательский институт физики .
Ликлема (1993). Основы интерфейсной и коллоидной науки . Нью-Йорк: Academic Press .

[1] Дебай, P .; Хюкель, Э. (2019) [1923]. Перевод Брауса, Майкла Дж. "Zur Theorie der Elektrolyte. I. Gefrierpunktserniedrigung und verwandte Erscheinungen" [Теория электролитов. I. Понижение точки замерзания и связанные с ним явления. Physikalische Zeitschrift . 24 (9): 185–206.

[Kirby-2] Кирби, Би Джей (2010). Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11903-0.

[DLi-3] Ли, Д. (2004). Электрокинетика в микрофлюидике . Академическая пресса. ISBN 0-12-088444-5.

[Clemmow-4] ПК Клеммова & JP Догерти (1969). Электродинамика частиц и плазмы . Редвуд-Сити, Калифорния: Эддисон-Уэсли . стр. § 7.6.7, с. 236 сл. ISBN 978-0-201-47986-7.

[Robinson-5] Перейти ↑ RA Robinson & RH Stokes (2002). Растворы электролитов . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . п. 76. ISBN 978-0-486-42225-1.

[Brydges-6] См. Brydges, David C .; Мартин, доктор философии (1999). «Кулоновские системы при низкой плотности: обзор». Журнал статистической физики . 96 (5/6): 1163–1330. arXiv : cond-mat / 9904122 . Bibcode : 1999JSP .... 96.1163B . DOI : 10,1023 / A: 1004600603161 . S2CID 54979869 .

[7] IH Hutchinson Принципы диагностики плазмы ISBN 0-521-38583-0

[8] Кип Торн (2012). "Глава 20: Кинетика частиц плазмы" (PDF) . Приложения классической физики . Проверено 7 сентября 2017 года .

[ISO-9] Международный стандарт ISO 13099-1, 2012, «Коллоидные системы. Методы определения дзета-потенциала. Часть 1: Электроакустические и электрокинетические явления»

[Dukhin-10] а б Духин А.С.; Гетц, П.Дж. (2017). Определение характеристик жидкостей, нано- и микрочастиц и пористых тел с помощью ультразвука . Эльзевир. ISBN 978-0-444-63908-0.

[11] Рассел, ВБ; Saville, DA; Шовальтер, WR (1989). Коллоидные дисперсии . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42600-6.

[12] Israelachvili, J. (1985). Межмолекулярные и поверхностные силы . Академическая пресса. ISBN 0-12-375181-0.

[13] Стерн, Эрик; Робин Вагнер; Фред Дж. Сигворт; Рональд Брейкер; Тарек М. Фахми; Марк А. Рид (01.11.2007). "Важность дебаевской длины экранирования на датчиках полевых транзисторов на основе нанопроволоки" . Нано-буквы . 7 (11): 3405–3409. Bibcode : 2007NanoL ... 7.3405S . DOI : 10.1021 / nl071792z . PMC 2713684 . PMID 17914853 .

[14] Го, Lingjie; Эффенди Леобандунг; Стивен Ю. Чоу (199). "Одноэлектронная память металл-оксид-полупроводник кремния при комнатной температуре с плавающим затвором нанометрового размера и сверхузким каналом". Письма по прикладной физике . 70 (7): 850. Bibcode : 1997ApPhL..70..850G . DOI : 10.1063 / 1.118236 .

[15] Тивари, Сандип; Фархан Рана; Кевин Чан; Литен Ши; Хусейн Ханафи (1996). «Эффект одиночного заряда и удержания в памяти нанокристаллов». Письма по прикладной физике . 69 (9): 1232. Bibcode : 1996ApPhL..69.1232T . DOI : 10.1063 / 1.117421 .

[1]