Экранирование электрического поля

В физике , скрининг является затуханием электрических полей , вызванного наличием мобильного заряда носителей. Это важная часть поведения несущих заряд жидкостей , таких как ионизированные газы (классическая плазма ), электролиты и носители заряда в электронных проводниках ( полупроводники , металлы ). В жидкости с заданной диэлектрической проницаемостью ε , состоящей из электрически заряженных составляющих частиц, каждая пара частиц (с зарядами q ₁ и q ₂ ) взаимодействует черезКулоновская сила как

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {4 \ pi \ varepsilon \ left | \ mathbf {r} \ right | ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}}}$,

где вектор r - относительное положение между зарядами. Это взаимодействие усложняет теоретическое рассмотрение жидкости. Например, наивный квантово-механический расчет плотности энергии основного состояния дает бесконечность, что неразумно. Сложность заключается в том, что даже несмотря на то, что кулоновская сила уменьшается с расстоянием как 1 / r ² , среднее количество частиц на каждом расстоянии r пропорционально r ² , если предположить, что жидкость достаточно изотропна . В результате флуктуация заряда в любой точке оказывает существенное влияние на больших расстояниях.

В действительности эти дальнодействующие эффекты подавляются потоком частиц в ответ на электрические поля. Этот поток сводит эффективное взаимодействие между частицами к короткодействующему «экранированному» кулоновскому взаимодействию. Эта система соответствует простейшему примеру перенормированного взаимодействия (см. Разделы 1.2.1 и 3.2 в ^[1] ). 

В физике твердого тела , особенно для металлов и полупроводников , эффект экранирования описывает электростатическое поле и кулоновский потенциал иона внутри твердого тела. Подобно тому, как электрическое поле ядра уменьшается внутри атома или иона из-за эффекта экранирования , электрические поля ионов в проводящих твердых телах дополнительно уменьшаются за счет облака электронов проводимости .

Описание [ править ]

Рассмотрим жидкость, состоящую из электронов, движущихся на однородном фоне положительного заряда (однокомпонентная плазма). Каждый электрон обладает отрицательным зарядом. Согласно кулоновскому взаимодействию отрицательные заряды отталкиваются друг от друга. Следовательно, этот электрон будет отталкивать другие электроны, создавая вокруг себя небольшую область, в которой меньше электронов. Эту область можно рассматривать как положительно заряженную «экранирующую дыру». Если смотреть с большого расстояния, это экранирующее отверстие создает эффект наложенного положительного заряда, который нейтрализует электрическое поле, создаваемое электроном. Только на коротких расстояниях, внутри дырочной области, можно обнаружить поле электрона. Для плазмы этот эффект может быть выражен в явном виде расчетом для одного тела (см. Раздел 5 ^[2]).${\ displaystyle N}$ ). Если фон состоит из положительных ионов, их притяжение интересующим электроном усиливает вышеуказанный механизм экранирования. В атомной физике эффект германа существует для атомов с более чем одной электронной оболочкой: эффект экранирования . В физике плазмы экранирование электрического поля также называется экранированием или экранированием Дебая. В макроскопических масштабах она проявляется оболочкой (оболочкой Дебая ) рядом с материалом, с которым плазма контактирует.

Экранированный потенциал определяет межатомную силу и закон дисперсии фононов в металлах. Экранированный потенциал используется для расчета электронной зонной структуры большого количества материалов, часто в сочетании с псевдопотенциальными моделями. Экранирующий эффект приводит к независимому приближению электронов , что объясняет предсказательную силу вводных моделей твердых тел , как Друде модель , в модели свободных электронов и модель свободных электронов .

Теория и модели [ править ]

Первое теоретическое рассмотрение электростатического экранирования, в связи с Дебай и Хюккелем , ^[3] имело дело с неподвижной точкой зарядом , погруженным в жидкости.

Представьте себе жидкость из электронов на фоне тяжелых положительно заряженных ионов. Для простоты мы пренебрегаем движением и пространственным распределением ионов, аппроксимируя их как однородный фоновый заряд. Это упрощение допустимо, поскольку электроны легче и подвижнее, чем ионы, при условии, что мы рассматриваем расстояния, намного превышающие расстояние между ионами. В физике конденсированного состояния эта модель называется желеем .

Экранированные кулоновские взаимодействия [ править ]

Пусть ρ обозначает плотность электронов, а φ - электрический потенциал . Сначала электроны распределяются равномерно, так что в каждой точке есть нулевой общий заряд. Следовательно, изначально φ также является константой.

Теперь введем фиксированный точечный заряд Q в начале координат. Соответствующая плотность заряда равна Qδ ( r ), где δ ( r ) - дельта-функция Дирака . После того, как система вернется в состояние равновесия, пусть изменение плотности электронов и электрического потенциала составит Δρ ( r ) и Δφ ( r ) соответственно. Плотность заряда и электрический потенциал связаны уравнением Пуассона , которое дает

${\ displaystyle - \ nabla ^ {2} [\ Delta \ phi (r)] = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} [Q \ delta (r) -e \ Delta \ rho (r )]}$,

где ε ₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума .

Чтобы продолжить, мы должны найти второе независимое уравнение, связывающее Δρ и Δφ . Мы рассматриваем два возможных приближения, в которых две величины пропорциональны: приближение Дебая – Хюккеля, действительное при высоких температурах (например, классическая плазма), и приближение Томаса – Ферми, действующее при низких температурах (например, электроны в металлах).

Приближение Дебая – Хюккеля [ править ]

В приближении Дебая – Хюккеля ^[3] мы поддерживаем систему в термодинамическом равновесии при температуре T, достаточно высокой, чтобы частицы жидкости подчинялись статистике Максвелла – Больцмана . В каждой точке пространства плотность электронов с энергией j имеет вид

${\ Displaystyle \ rho _ {j} (r) = \ rho _ {j} ^ {(0)} (r) \; \ exp \ left [{\ frac {e \ phi (r)} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right]}$

где k _B - постоянная Больцмана . Возмущая по φ и разлагая экспоненту до первого порядка, получаем

${\ displaystyle e \ Delta \ rho \ simeq \ varepsilon _ {0} k_ {0} ^ {2} \ Delta \ phi}$

куда

${\ displaystyle k_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {\ rho e ^ {2}} {\ varepsilon _ {0} k _ {\ mathrm { B}} T}}}}$

Соответствующая длина λ _D ≡ 1 / k ₀ называется длиной Дебая . Длина Дебая - это фундаментальный масштаб классической плазмы.

Приближение Томаса – Ферми [ править ]

В приближении Томаса – Ферми ^[4], названном в честь Ллевеллина Томаса и Энрико Ферми , в системе поддерживается постоянный электронный химический потенциал ( уровень Ферми ) и низкая температура. Первое условие соответствует в реальном эксперименте поддержанию электрического контакта металла / жидкости с фиксированной разностью потенциалов с землей . Химический потенциал μ - это, по определению, энергия добавления дополнительного электрона к жидкости. Эта энергия может быть разложена на кинетическую энергию T часть и потенциальную энергию - eφ часть. Поскольку химический потенциал остается постоянным,

${\ Displaystyle \ Delta \ mu = \ Delta Te \ Delta \ phi = 0}$.

Если температура чрезвычайно низкая, поведение электронов приближается к квантово-механической модели ферми-газа . Таким образом , мы приближенное Т за счет кинетической энергии дополнительного электрона в модели газа Ферми, которая является просто энергией Ферми Е _Р . Энергия Ферми для 3D-системы связана с плотностью электронов (включая вырождение спина) соотношением

${\displaystyle \rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {4}{3}}\pi k_{\mathrm {F} }^{3}\right),\quad E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}},}$

где k _F - волновой вектор Ферми. Переходя к первому порядку, находим, что

${\displaystyle \Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{2E_{\mathrm {F} }}}\Delta E_{\mathrm {F} }}$.

Подставляя это в приведенное выше уравнение для Δμ, получаем

${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$

куда

${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{2\varepsilon _{0}E_{\mathrm {F} }}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{\mathrm {F} }}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}}$

называется волновым вектором экранирования Томаса – Ферми.

Этот результат следует из уравнений ферми-газа, который представляет собой модель невзаимодействующих электронов, тогда как жидкость, которую мы изучаем, содержит кулоновское взаимодействие. Следовательно, приближение Томаса – Ферми применимо только при низкой плотности электронов, так что взаимодействия частиц относительно слабые.

Результат: проверенный потенциал [ править ]

Наши результаты из приближения Дебая – Хюккеля или Томаса – Ферми теперь могут быть включены в уравнение Пуассона. Результат

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r)}$,

известное как экранированное уравнение Пуассона . Решение

${\displaystyle \phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r}}$,

который называется экранированным кулоновским потенциалом. Это кулоновский потенциал, умноженный на экспоненциальный демпфирующий член, причем сила демпфирующего фактора определяется величиной k ₀ , волнового вектора Дебая или Томаса – Ферми. Обратите внимание, что этот потенциал имеет ту же форму, что и потенциал Юкавы . Это экранирование обеспечивает диэлектрическую функцию .${\displaystyle \varepsilon (r)=\varepsilon _{0}e^{k_{0}r}}$

Теория многих тел [ править ]

Классическая физика и линейный отклик [ править ]

Подход с механическим телом обеспечивает вывод эффекта экранирования и затухания Ландау . ^{[2] [5]} Он имеет дело с единственной реализацией однокомпонентной плазмы, электроны которой имеют дисперсию скоростей (для тепловой плазмы должно быть много частиц в сфере Дебая, объем, радиус которого равен длине Дебая). Используя линеаризованное движение электронов в их собственном электрическом поле, получается уравнение типа${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}\Phi =S}$,

где - линейный оператор, - член источника, связанный с частицами, - преобразование Фурье-Лапласа электростатического потенциала. Подставляя интеграл по гладкой функции распределения для дискретной суммы по частицам в , получаем${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )\,\Phi (\mathbf {k} ,\omega )=S(\mathbf {k} ,\omega )}$,

где - диэлектрическая проницаемость плазмы или диэлектрическая функция, обычно получаемая с помощью линеаризованного уравнения Власова-Пуассона (раздел 6.4 в ^[6] ), - волновой вектор, - частота и - сумма исходных членов, обусловленных частицами (уравнение (20) из ^[2] ).${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$${\displaystyle N}$ 

Посредством обратного преобразования Фурье-Лапласа потенциал каждой частицы складывается из двух частей (раздел 4.1 в ^[2] ). Один соответствует возбуждению ленгмюровских волн частицей, а другой - ее экранированному потенциалу, который классически получается линеаризованным вычислением Власова с участием пробной частицы (раздел 9.2 в ^[6] ). Экранированный потенциал представляет собой указанный выше экранированный кулоновский потенциал для тепловой плазмы и тепловой частицы. Для более быстрой частицы потенциал изменяется (раздел 9.2 ^[6] ). Подставляя интеграл по гладкой функции распределения для дискретной суммы по частицам в , получаем выражение Власова, позволяющее вычислить затухание Ландау (раздел 6.4 документа   ${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$ ^[6] ).

Квантово-механический подход [ править ]

В реальных металлах эффект экранирования более сложен, чем описано выше в теории Томаса – Ферми. Предположение, что носители заряда (электроны) могут реагировать на любой волновой вектор, является всего лишь приближением. Однако для электрона внутри или на поверхности Ферми энергетически невозможно реагировать на волновых векторах короче волновых векторов Ферми. Это ограничение связано с явлением Гиббса , когда ряды Фурье для функций, которые быстро меняются в пространстве, не являются хорошими приближениями, если не сохраняется очень большое количество членов в ряду. В физике это явление известно как колебания Фриделя., и применяется как к поверхностному, так и к насыпному грохочению. В каждом случае чистое электрическое поле не спадает экспоненциально в пространстве, а скорее как обратный степенной закон, умноженный на колебательный член. Теоретические расчеты могут быть получены из квантовой гидродинамики и теории функционала плотности (DFT).

См. Также [ править ]

• Длина Бьеррума
• Длина Дебая

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Фитцпатрик, Ричард (31 марта 2011 г.). «Дебай Шилдинг» . Техасский университет в Остине . Проверено 12 июля 2018 .