Псевдопотенциал

Сравнение волновой функции в кулоновском потенциале ядра (синий) с волновой функцией в псевдопотенциале (красный). Реальная и псевдоволновая функция и потенциалы совпадают выше определенного радиуса отсечки .${\displaystyle r_{c}}$

В физике , A Псевдопотенциал или эффективный потенциал используется в качестве приближения для упрощенного описания сложных систем. Приложения включают атомную физику и рассеяние нейтронов . Приближение псевдопотенциала было впервые введено Гансом Хеллманом в 1934 году ^[1].

Атомная физика [ править ]

Псевдопотенциал представляет собой попытку заменить сложные эффекты движения ядра (т.е. не - валентный ) электроны на качестве атома и его ядра с эффективным потенциалом , или псевдопотенциалом, так что уравнение Шредингера содержит модифицированный эффективный потенциал вместо термина кулоновский потенциальный член для остовных электронов обычно находятся в уравнении Шредингера.

Псевдопотенциал - это эффективный потенциал, созданный для замены атомного полностью электронного потенциала (полного потенциала), так что остовные состояния устраняются, а валентные электроны описываются псевдоволновыми функциями со значительно меньшим количеством узлов. Это позволяет описывать псевдоволновые функции с помощью гораздо меньшего количества мод Фурье , таким образом создавая базисные наборы плоских волнпрактично в использовании. В этом подходе обычно явно рассматриваются только химически активные валентные электроны, в то время как остовные электроны «заморожены», считаясь вместе с ядрами жесткими неполяризуемыми ионными остовами. Возможно самосогласованное обновление псевдопотенциала с химической средой, в которую он встроен, что дает эффект ослабления приближения замороженного ядра, хотя это делается редко. В кодах, использующих локальные базисные функции, такие как гауссовский, часто используются эффективные потенциалы ядра, которые замораживают только электроны ядра.

Первопринципные псевдопотенциалы выводятся из эталонного атомного состояния, требующего, чтобы собственные состояния псевдо- и полностью электронной валентности имели одинаковые энергии и амплитуду (и, следовательно, плотность) за пределами выбранного радиуса отсечки ядра .${\displaystyle r_{c}}$

Псевдопотенциалы с большим радиусом отсечения считаются более мягкими , более быстро сходящимися, но в то же время менее переносимыми , что менее точно воспроизводит реалистичные особенности в различных средах.

Мотивация:

1. Уменьшение размера базисного набора
2. Уменьшение количества электронов
3. Учет релятивистских и других эффектов

Приближения:

1. Одноэлектронная картина.
2. Приближение малого ядра предполагает отсутствие значительного перекрытия между волновой функцией ядра и валентной волновой функцией. Нелинейные поправки к остову ^[2] или включение электронов «полуостер» ^[3] имеют дело с ситуациями, когда перекрытием нельзя пренебречь.

Ранние применения псевдопотенциалов к атомам и твердым телам, основанные на попытках подогнать атомные спектры, достигли лишь ограниченного успеха. Твердотельные псевдопотенциалы достигли своей нынешней популярности в основном благодаря успешной подгонке Уолтера Харрисона к поверхности Ферми алюминия с почти свободными электронами (1958) и Джеймса К. Филлипса к ковалентным энергетическим зазорам кремния и германия (1958). Филипс и его коллеги (особенно Марвин Л. Коэн и его коллеги) позже распространили эту работу на многие другие полупроводники в том, что они назвали «полуэмпирическими псевдопотенциалами». ^[4]

Псевдопотенциал, сохраняющий норму [ править ]

Нормально-сохраняющий и ультрамягкий - две наиболее распространенные формы псевдопотенциала, используемые в современных кодах электронной структуры с плоскими волнами . Они позволяют использовать базисный набор со значительно более низким порогом (частота наивысшей моды Фурье) для описания электронных волновых функций и, таким образом, обеспечивают надлежащую численную сходимость с разумными вычислительными ресурсами. Альтернативой было бы расширение базисного набора ядер атомарными функциями, как это делается в LAPW . Сохраняющий норму псевдопотенциал был впервые предложен Хаманном, Шлютером и Чиангом (HSC) в 1979 году. ^[5] Первоначальный сохраняющий норму псевдопотенциал HSC принимает следующую форму:

${\displaystyle {\hat {V}}_{\textit {ps}}(r)=\sum _{l}\sum _{m}|Y_{lm}\rangle V_{lm}(r)\langle Y_{lm}|}$

где проецирует одночастичную волновую функцию, такую ​​как одна орбиталь Кона-Шэма, на угловой момент, помеченный как . - псевдопотенциал, действующий на проецируемый компонент. Тогда разные состояния углового момента воспринимают разные потенциалы, таким образом, сохраняющий норму псевдопотенциал HSC нелокален, в отличие от локального псевдопотенциала, который действует на все одночастичные волновые функции одинаковым образом.${\displaystyle |Y_{lm}\rangle }$${\displaystyle \{l,m\}}$${\displaystyle V_{lm}(r)}$

Сохраняющие норму псевдопотенциалы создаются для выполнения двух условий.

1. Внутри отсечка радиуса , то норма каждого псевдо-волновой функции будут идентичны соответствующим ему все-электронов волновую функцию: ^[6]${\displaystyle r_{c}}$

${\displaystyle \int _{r<r_{c}}dr^{3}\phi _{\mathbf {R} ,i}({\vec {r}})\phi _{\mathbf {R} ,j}({\vec {r}})=\int _{r<r_{c}}dr^{3}{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}({\vec {r}}){\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}({\vec {r}})}$,

где и - полностью электронное и псевдореферентное состояния для псевдопотенциала на атоме .${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} ,i}}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$

2. Все электронные и псевдоволновые функции идентичны за пределами радиуса отсечки .${\displaystyle r_{c}}$

Псевдопотенциал, представляющий эффективный заряд ядра.

Ультрамягкие псевдопотенциалы [ править ]

Ультрамягкие псевдопотенциалы ослабляют ограничение, сохраняющее норму, чтобы дополнительно уменьшить необходимый размер базисного набора за счет введения обобщенной проблемы собственных значений. ^[7] Теперь при ненулевой разнице норм мы можем определить:

${\displaystyle q_{\mathbf {R} ,ij}=\langle \phi _{\mathbf {R} ,i}|\phi _{\mathbf {R} ,j}\rangle -\langle {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}|{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}\rangle }$,

и поэтому нормированное собственное состояние псевдогамильтониана теперь подчиняется обобщенному уравнению

${\displaystyle {\hat {H}}|\Psi _{i}\rangle =\epsilon _{i}{\hat {S}}|\Psi _{i}\rangle }$,

где оператор определяется как${\displaystyle {\hat {S}}}$

${\displaystyle {\hat {S}}=1+\sum _{\mathbf {R} ,i,j}|p_{\mathbf {R} ,i}\rangle q_{\mathbf {R} ,ij}\langle p_{\mathbf {R} ,j}|}$,

где - проекторы, которые образуют дуальный базис с псевдореференсными состояниями внутри радиуса отсечки, а снаружи равны нулю:${\displaystyle p_{\mathbf {R} ,i}}$

${\displaystyle \langle p_{\mathbf {R} ,i}|{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}\rangle _{r<r_{c}}=\delta _{i,j}}$.

Родственный метод ^[8] - метод расширенной волны проектора (PAW) .

Псевдопотенциал Ферми [ править ]

Энрико Ферми ввел псевдопотенциал для описания рассеяния свободного нейтрона на ядре. ^[9] Предполагается, что рассеяние представляет собой рассеяние s- волн и, следовательно, сферически симметрично. Следовательно, потенциал задается как функция радиуса :${\displaystyle V}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle V(r)={\frac {4\pi \hbar ^{2}}{m}}b\,\delta (r)}$,

где есть постоянная Планка делится на , это масса , является дельта - функцией Дирака , является оценкой когерентного нейтронов длиной рассеяния и центр масс от ядра . ^[10] Преобразование Фурье этой -функции приводит к постоянному форм-фактору нейтрона .${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \delta (r)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle \delta }$

Псевдопотенциал Филлипса [ править ]

Джеймс Чарльз Филлипс разработал упрощенный псевдопотенциал в Bell Labs, полезный для описания кремния и германия.

См. Также [ править ]

• Функциональная теория плотности
• Метод дополненной волны проектора

Ссылки [ править ]

Псевдопотенциальные библиотеки [ править ]

• Библиотека псевдопотенциалов  : веб-сайт сообщества псевдопотенциалов / эффективных ядерных потенциалов, разработанный для высокоточных коррелированных методов многих тел, таких как квантовый Монте-Карло и квантовая химия.
• Виртуальное хранилище NNIN для псевдопотенциалов  : эта веб-страница, поддерживаемая NNIN / C, предоставляет доступную для поиска базу данных псевдопотенциалов для функциональных кодов плотности, а также ссылки на генераторы псевдопотенциалов, преобразователи и другие онлайн-базы данных.
• Сайт Vanderbilt Ultra-Soft Pseudopotential  : Сайт Дэвида Вандербильта со ссылками на коды, реализующие сверхмягкие псевдопотенциалы и библиотеки сгенерированных псевдопотенциалов.
• Сайт псевдопотенциала GBRV  : на этом сайте размещена библиотека псевдопотенциала GBRV.
• PseudoDojo  : этот сайт сопоставляет проверенные псевдопотенциалы, отсортированные по типу, точности и эффективности, показывает информацию о сходимости различных проверенных свойств и предоставляет варианты загрузки.
• SSSP  : стандартные твердотельные псевдопотенциалы

Дальнейшее чтение [ править ]

• Хеллманн, Ханс (1935), "Новый метод приближения в проблеме многих электронов" , Журнал химической физики , Институт физической химии Карпова, Москва, 3 (1), с. 61, Bibcode : 1935JChPh ... 3 ... 61H , doi : 10.1063 / 1.1749559 , ISSN  0021-9606 , заархивировано из оригинала 23.02.2013
• Hellmann, H .; Кассаточкин, В. (1936), "Металлическое связывание в соответствии с процедурой комбинированного приближения" , Журнал химической физики , Институт физической химии Карпова, Москва, 4 (5), с. 324, Bibcode : 1936JChPh ... 4..324H , doi : 10.1063 / 1.1749851 , ISSN  0021-9606 , заархивировано из оригинала 23.02.2013
• Харрисон, Уолтер Эшли (1966), Псевдопотенциалы в теории металлов , Границы физики, Университет Вирджинии
• Брюст, Дэвид (1968), Альдер, Берни (ред.), «Метод псевдопотенциала и одночастичные электронные спектры возбуждения кристаллов», Методы вычислительной физики , Нью-Йорк: Academic Press, 8 , стр. 33–61, ISSN  0076-6860
• Heine, Volker (1970), "Псевдопотенциал Concept", физика твердого тела , физика твердого тела, Academic Press, 24 , стр 1-36,. Дои : 10.1016 / S0081-1947 (08) 60069-7 , ISBN 9780126077247
• Пикетт, Уоррен Э. (апрель 1989 г.), "Псевдопотенциальные методы в приложениях для конденсированных сред", Computer Physics Reports , 9 (3), стр. 115–197, Bibcode : 1989CoPhR ... 9..115P , doi : 10.1016 / 0167 -7977 (89) 90002-6
• Хаманн, Д.Р. (2013), «Оптимизированные сохраняющие норму псевдопотенциалы Вандербильта», Physical Review B , 88 (8), стр. 085117, arXiv : 1306.4707 , Bibcode : 2013PhRvB..88h5117H , doi : 10.1103 / PhysRevB.88.085117
• Lejaeghere, K .; Bihlmayer, G .; Bjorkman, T .; Blaha, P .; Blugel, S .; Блюм, В .; Caliste, D .; Castelli, IE; Кларк, SJ; Даль Корсо, А .; de Gironcoli, S .; Deutsch, T .; Дьюхерст, Дж. К.; Ди Марко, I .; Draxl, C .; Дуак, М .; Eriksson, O .; Флорес-Ливас, JA; Гаррити, KF; Genovese, L .; Giannozzi, P .; Giantomassi, M .; Goedecker, S .; Gonze, X .; Granas, O .; Брутто, ЭКУ; Гулянс, А .; Gygi, F .; Hamann, DR; Hasnip, PJ; Holzwarth, NAW; Юань, Д .; Jochym, DB; Jollet, F .; Jones, D .; Kresse, G .; Коперник, К .; Kucukbenli, E .; Квашнин Ю.О .; Locht, ILM; Любек, С .; Марсман, М .; Marzari, N .; Nitzsche, U .; Nordstrom, L .; Ozaki, T .; Paulatto, L .; Пикард, CJ; Poelmans, W .; Probert, MIJ; Refson, K .; Richter, M .; Rignanese, G.-M .; Saha, S .; Scheffler, M .; Schlipf, M .; Schwarz, K .; Sharma, S .; Tavazza, F .; Thunstrom, P .; Ткаченко,А .; Торрент, М .; Vanderbilt, D .; ван Сеттен, MJ; Van Speybroeck, V .; Wills, JM; Йетс, младший; Zhang, G.-X .; Коттенье, С. (2016),«Воспроизводимость расчетов твердых тел по теории функционала плотности» (PDF) , Science , 351 (6280): aad3000, Bibcode : 2016Sci ... 351 ..... L , doi : 10.1126 / science.aad3000 , ISSN  0036-8075 , PMID  27013736