Правило знаков Декарта
В математике правило знаков Декарта , впервые описанное Рене Декартом в его работе «Геометрия », представляет собой метод получения информации о числе положительных действительных корней многочлена . Он утверждает, что количество положительных корней не превышает количества изменений знака в последовательности коэффициентов многочлена (без учета нулевых коэффициентов), и что разница между этими двумя числами всегда четна. Отсюда, в частности, следует, что если количество перемен знака равно нулю или единице, то соответственно ровно ноль или один положительный корень.
Гомографическим преобразованием переменной можно воспользоваться правилом знаков Декарта для получения аналогичной информации о числе корней в любом интервале. Это основная идея теоремы Будана и теоремы Будана–Фурье . Повторяя деление интервала на два интервала, можно в конечном итоге получить список непересекающихся интервалов, содержащих вместе все действительные корни многочлена и содержащий каждый ровно один действительный корень. Правило знаков Декарта и омографические преобразования переменной в настоящее время являются основой самых быстрых алгоритмов компьютерного вычисления действительных корней многочленов (см . Изоляция действительных корней ).
Сам Декарт использовал преобразование x → – x для использования своего правила для получения информации о количестве отрицательных корней.
Правило гласит, что если ненулевые члены многочлена с одной переменной с действительными коэффициентами упорядочены по убыванию переменной степени, то количество положительных корней многочлена либо равно количеству изменений знака между последовательными (ненулевыми) коэффициентами, либо меньше его на четное число. Корень кратности k считается за k корней.
В частности, если количество перемен знака равно нулю или единице, количество положительных корней равно количеству перемен знака.
Как следствие правила, количество отрицательных корней - это количество изменений знака после умножения коэффициентов членов нечетной степени на -1 или меньше, чем на четное число. Эта процедура эквивалентна замене самой переменной отрицанием переменной. Например, отрицательные корни являются положительными корнями
