В математике расширение Дуади -Эрла , названное в честь Адриана Дуади и Клиффорда Эрла , представляет собой способ расширения гомеоморфизмов единичного круга в комплексной плоскости до гомеоморфизмов замкнутого единичного диска, так что расширение является диффеоморфизмом открытого диска. . Расширение является аналитическим на открытом диске. Расширение обладает важным свойством эквивариантности: если гомеоморфизм составлен с обеих сторон с помощью преобразования Мёбиуса, сохраняющего единичную окружность, расширение также получается путем композиции с тем же преобразованием Мёбиуса. Если гомеоморфизм квазисимметричен , то диффеоморфизм квазиконформен . Расширение квазисимметричных гомеоморфизмов ранее было дано Ларсом Альфорсом и Арне Берлингом ; другая эквивариантная конструкция была предложена в 1985 году Пеккой Тукиа. Эквивариантные расширения имеют важные приложения в теории Тейхмюллера ; например, они приводят к быстрому доказательству сжимаемости пространства Тейхмюллера фуксовой группы .
гомеоморфизма f окружности определяет гармонический диффеоморфизм единичного круга, расширяющий f . Если f квазисимметричен , расширение не обязательно квазиконформно, т. е. комплекснаядилатация
Однако F можно использовать для определения другого аналитического расширения H f функции f −1 , которое удовлетворяет этому условию. Следует, что
В этом параграфе устанавливается, что расширение квазисимметричного гомеоморфизма квазиконформно . Фундаментально используется понятие квазимебиусового гомеоморфизма .
Если f квазисимметричен, то он также является квазимебиусовым, с c = a 2 и d = b : это следует путем умножения первого неравенства для ( z 1 , z 3 , z 4 ) и ( z 2 , z 4 , z 3 ).
Сразу видно, что квазимебиусовые гомеоморфизмы замкнуты относительно операций обращения и композиции.