В математике , квазисимметрический гомеоморфизм метрических пространств является отображением, обобщающим билипшицевой карта. В то время как билипшицевы карты сжимают или увеличивают диаметр множества не более чем на мультипликативный коэффициент, квазисимметричные карты удовлетворяют более слабому геометрическому свойству, заключающемуся в том, что они сохраняют относительные размеры множеств: если два множества A и B имеют диаметры t и не более чем расстояние t друг от друга, то соотношение их размеров изменяется не более чем на мультипликативную константу. Эти отображения также связаны с квазиконформными отображениями, поскольку во многих случаях они фактически эквивалентны. [1]
Определение
Пусть ( X , d X ) и ( Y , d Y ) - два метрических пространства . Гомеоморфизм F : X → Y называется η-квазисимметрическим , если существует возрастающая функция η : [0, ∞) → [0, ∞), что для любой тройки х , у , г различных точек в X , мы имеют
Основные свойства
- Обратные квазисимметричные
- Если f : X → Y - обратимое η -квазисимметричное отображение, как указано выше, то его обратное отображение имеет вид -квазисимметричный, где ( t ) = 1 / η −1 (1 / t ).
- Квазисимметричные карты сохраняют относительные размеры множеств
- Если A и B - подмножества X, а A - подмножество B , то
Примеры
Слабо квазисимметричные карты
Отображение f: X → Y называется H-слабо-квазисимметричным для некоторого H > 0, если для всех троек различных точек x, y, z в X выполняется
Не все слабо квазисимметричные карты квазисимметричны. Однако, если X является подключен и X и Y являются удвоением , то все слабо Квазисимметричеекие карты квазисимметрические. Привлекательность этого результата заключается в том, что доказать слабую квазисимметрию намного проще, чем напрямую доказать квазисимметрию, и во многих естественных условиях эти два понятия эквивалентны.
δ-монотонные отображения
Монотонное отображение F : Н → Н на гильбертовом пространстве H является δ-монотонной , если для всех х и у в Н ,
Чтобы понять, что это условие означает геометрически, предположим, что f (0) = 0, и рассмотрим приведенную выше оценку, когда y = 0. Тогда это означает, что угол между вектором x и его изображением f ( x ) остается между 0 и arccos δ < π / 2.
Эти карты квазисимметричны, хотя представляют собой гораздо более узкий подкласс квазисимметричных карт. Например, в то время как общее квазисимметричное отображение в комплексной плоскости может отображать действительную линию в набор размерности Хаусдорфа строго больше единицы, δ -монотон всегда будет отображать действительную линию в повернутый график липшицевой функции L : ℝ → ℝ. [2]
Удвоение мер
Настоящая линия
Квазисимметричные гомеоморфизмы вещественной прямой к самой себе можно охарактеризовать в терминах их производных. [3] Возрастающий гомеоморфизм f : ℝ → ℝ квазисимметричен тогда и только тогда, когда существуют постоянная C > 0 и мера удвоения μ на вещественной прямой такие, что
Евклидово пространство
Аналогичный результат имеет место в евклидовом пространстве. Предположим, что C = 0, и мы перепишем приведенное выше уравнение для f как
Записывая это таким образом, мы можем попытаться определить карту, используя тот же самый интеграл, но вместо этого проинтегрировать (что теперь является векторным подынтегральным выражением) по ℝ n : если μ - мера удвоения на n и
тогда карта
квазисимметричен (на самом деле является δ -монотонным для некоторого δ, зависящего от меры μ ). [4]
Квазисимметрия и квазиконформность в евклидовом пространстве
Пусть Ω и Ω´ - открытые подмножества ℝ n . Если F : Ω → Ω'является η -quasisymmetric, то это также K - квазиконформный , где K > 0 константа , зависящая от п .
И наоборот, если F : Ω → Ω'является К -квазиконформных и В ( х , 2 г ) содержится в П , то F есть η -quasisymmetric на B ( х , г ), где η зависит только от K .
Квазимебиусовые карты
Связанное, но более слабое условие - понятие квазимебиусовых отображений, где вместо отношения рассматривается только поперечное отношение: [5]
Определение
Пусть ( X , d X ) и ( Y , d Y ) - два метрических пространства . Гомеоморфизм F : X → Y называется η-квази-Мёбиусово , если существует возрастающая функция η : [0, ∞) → [0, ∞), что для любого quadrupple х , у , г , т различных точек в X мы имеем
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Heinonen, Юха (2001). Лекции по анализу метрических пространств . Universitext. Нью-Йорк: Springer-Verlag. с. x + 140. ISBN 978-0-387-95104-1.
- ^ Ковалев, Леонид В. (2007). «Квазиконформная геометрия монотонных отображений». Журнал Лондонского математического общества . 75 (2): 391–408. CiteSeerX 10.1.1.194.2458 . DOI : 10,1112 / jlms / jdm008 .
- ^ Beurling, A .; Альфорс, Л. (1956). «Граничное соответствие при квазиконформных отображениях» . Acta Math . 96 : 125–142. DOI : 10.1007 / bf02392360 .
- ^ Ковалев, Леонид; Мальдонадо, Диего; Ву, Чан-Мэй (2007). «Меры удвоения, монотонность и квазиконформность». Математика. Z . 257 (3): 525–545. arXiv : математика / 0611110 . DOI : 10.1007 / s00209-007-0132-5 .
- ^ Буяло, Сергей; Шредер, Виктор (2007). Элементы асимптотической геометрии . Монографии EMS по математике. Американское математическое общество. п. 209. ISBN 978-3-03719-036-4.