Квазиконформное отображение
В комплексном математическом анализе квазиконформное отображение , введенное Грёчем (1928) и названное Альфорсом (1935) , представляет собой гомеоморфизм между плоскими областями, который в первом порядке переводит маленькие окружности в малые эллипсы с ограниченным эксцентриситетом .
Интуитивно пусть f : D → D ′ — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм между открытыми множествами на плоскости. Если f непрерывно дифференцируема , то она K -квазиконформна, если производная f в каждой точке отображает окружности в эллипсы с эксцентриситетом , ограниченным K.
Предположим , что f : D → D ′, где D и D ′ — две области в C. Существует множество эквивалентных определений в зависимости от требуемой гладкости f . Если предполагается, что f имеет непрерывные частные производные , то f квазиконформно при условии, что оно удовлетворяет уравнению Бельтрами
где Ω( z ) > 0. Тогда f удовлетворяет ( 1 ) именно тогда, когда оно является конформным преобразованием из D , снабженной этой метрикой, в область D ′, снабженную стандартной евклидовой метрикой. Тогда функция f называется µ-конформной . В более общем смысле, непрерывная дифференцируемость f может быть заменена более слабым условием, что f находится в пространстве Соболева W1,2 ( D ) функций, производные по распределению первого порядка которых находятся в L2 ( D ). В этом случае требуется, чтобы f было слабым решением ( 1 ). Когда µ почти всюду равно нулю, любой гомеоморфизм в W1,2 ( D ), являющийся слабым решением уравнения ( 1 ) , конформен.
Не прибегая к вспомогательной метрике, рассмотрим эффект от обратного образа под f обычной евклидовой метрики. Результирующая метрика затем определяется как
которая относительно фоновой евклидовой метрики имеет собственные значения
