Гипотеза Дайсона

Фриман Дайсон в 2005 году

В математике гипотеза Дайсона ( Freeman Dyson  1962 ) - это гипотеза о постоянном члене некоторых полиномов Лорана , доказанная Вильсоном и Гансоном. Andrews обобщил ее на д-Дайсона гипотезы , доказана Zeilberger и Bressoud , а иногда называют теоремой Zeilberger-Bressoud . Макдональд обобщил его на более общие корневые системы с помощью гипотезы о постоянных членах Макдональда , доказанной Чередником .

Гипотеза Дайсона [ править ]

Гипотеза Дайсона утверждает, что многочлен Лорана

${\ displaystyle \ prod _ {1 \ leq я \ neq j \ leq n} (1-t_ {i} / t_ {j}) ^ {a_ {i}}}$

имеет постоянный срок

${\displaystyle {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})!}{a_{1}!a_{2}!\cdots a_{n}!}}.}$

Гипотеза была впервые независимо доказана Уилсоном (1962) и Гансоном (1962) . Гуд (1970) позже нашел короткое доказательство, заметив, что многочлены Лорана и, следовательно, их постоянные члены удовлетворяют рекурсивным соотношениям

${\displaystyle F(a_{1},\dots ,a_{n})=\sum _{i=1}^{n}F(a_{1},\dots ,a_{i}-1,\dots ,a_{n}).}$

Случай n  = 3 гипотезы Дайсона следует из тождества Диксона .

Силлс и Зейлбергер (2006) и ( Силлс, 2006 ) использовали компьютер, чтобы найти выражения для непостоянных коэффициентов полинома Лорана Дайсона.

Интеграл Дайсона [ править ]

Когда все значения a _i равны β / 2, постоянным членом в гипотезе Дайсона является значение интеграла Дайсона

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\prod _{1\leq j<k\leq n}|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}|^{\beta }\,d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}.}$

Интеграл Дайсона является частным случаем интеграла Сельберга после замены переменной и имеет значение

${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+\beta n/2)}{\Gamma (1+\beta /2)^{n}}}}$

что дает еще одно доказательство гипотезы Дайсона в этом частном случае.

q - Гипотеза Дайсона [ править ]

Эндрюс (1975) нашел q-аналог гипотезы Дайсона, заявив, что постоянный член

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}\left({\frac {x_{i}}{x_{j}}};q\right)_{a_{i}}\left({\frac {qx_{j}}{x_{i}}};q\right)_{a_{j}}}$

является

${\displaystyle {\frac {(q;q)_{a_{1}+\cdots +a_{n}}}{(q;q)_{a_{1}}\cdots (q;q)_{a_{n}}}}.}$

Здесь ( a ; q ) _n - символ q-Поххаммера . Эта гипотеза сводится к гипотезе Дайсона для q = 1 и была доказана Zeilberger & Bressoud (1985) с использованием комбинаторного подхода, вдохновленного предыдущей работой Айры Гессель и Доминика Фоата.. Более короткое доказательство с использованием формальных рядов Лорана было дано в 2004 году Ирой Гессель и Гос Синь, а еще более короткое доказательство с использованием количественной формы, принадлежащее Карасеву и Петрову, и независимо от Ласона, комбинаторного нулевого замещения Ноги Алон, было дано в 2012 году - Дьюла Кароли и Золтан Лорант Надь. Последний метод был расширен в 2013 году Шалошем Б. Экхадом и Дороном Зейлбергером для получения явных выражений любого конкретного коэффициента, а не только постоянного члена, см. Http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/ mamarimhtml / qdyson.html , для получения подробной информации.

Предположения Макдональда [ править ]

Макдональд (1982) распространил гипотезу на произвольные конечные или аффинные корневые системы , при этом исходная гипотеза Дайсона соответствует случаю корневой системы A _{n −1,} а гипотеза Эндрюса соответствует аффинной системе корней A _{n −1} . Макдональд переформулировал эти гипотезы как гипотезы о нормах многочленов Макдональда . Гипотезы Макдональда были доказаны ( Чередник, 1995 ) с использованием дважды аффинных алгебр Гекке.

Форма Макдональда гипотезы Дайсона для корневых систем типа BC тесно связана с интегралом Сельберга .

Ссылки [ править ]

• Эндрюс, Джордж Э. (1975), "Проблемы и перспективы основных гипергеометрических функций", Теория и применение специальных функций (Proc. Advanced Sem., Math. Res. Center, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1975) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 191–224, MR  0399528 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Чередник, И. (1995), "Double аффинной Hecke Алгебра и Гипотезы Макдональда", Анналы математики , 141 (1): 191-216, DOI : 10,2307 / 2118632 , JSTOR  2118632
• Dyson, Freeman J. (1962), "Статистическая теория энергетических уровней сложных систем я.", Журнал математической физики , 3 : 140-156, DOI : 10,1063 / 1,1703773 , ISSN  0022-2488 , MR  0143556
• Хорошо, IJ (1970), "Краткое доказательство гипотезы Дайсона", Журнал математической физики , 11 (6): 1884, DOI : 10,1063 / 1,1665339 , ISSN  0022-2488 , MR  0258644
• Гансон, J. (1962), "Доказательство гипотезы Дайсона в статистической теории энергетических уровней", Журнал математической физики , 3 (4): 752-753, DOI : 10,1063 / 1,1724277 , ISSN  0022-2488 , М.Р.  0148401
• Макдональд, И. Г. (1982), "Некоторые гипотезы для корневых систем", SIAM Журнал по математическому анализу , 13 (6): 988-1007, DOI : 10,1137 / 0513070 , ISSN  0036-1410 , МР  0674768
• Силлс, Эндрю В. (2006), «Нарушение гипотезы Дайсона в целом ХОРОШИМ образом», Журнал комбинаторной теории, серия A , 113 (7): 1368–1380, arXiv : 1812.05557 , doi : 10.1016 / j.jcta .2005.12.005 , ISSN  1096-0899 , MR  2259066
• Подоконники, Андрей В .; Zeilberger, Дорон (2006), "Тревожные Дайсона гипотезу (в хорошем смысле)" , Experimental Mathematics , 15 (2): 187-191, Arxiv : 1812,04490 , DOI : 10,1080 / 10586458.2006.10128959 , ISSN  1058-6458 , MR  2253005
• Уилсон, Кеннет Г. (1962), "Доказательство гипотезы Дайсона", Журнал математической физики , 3 (5): 1040-1043, DOI : 10,1063 / 1,1724291 , ISSN  0022-2488 , МР  0144627
• Зейлбергер, Дорон ; Bressoud, Дэвид М. (1985), "Доказательство д-Dyson гипотезы Эндрюса", дискретная математика , 54 (2): 201-224, DOI : 10.1016 / 0012-365X (85) 90081-0 , ISSN  0012- 365X , Руководство по ремонту  0791661