В математике , особенно в алгебраической топологии , существует особый класс спектров, называемый спектрами Эйленберга – Маклейна.для любой абелевой группы [1] стр. 134 . Отметим, что эту конструкцию можно обобщить на коммутативные кольца а также из лежащей в основе абелевой группы. Это важный класс спектров, поскольку они моделируют обычные целочисленные когомологии и когомологии с коэффициентами в абелевой группе. Кроме того, они являются подъемом гомологической структуры в производной категории абелевых групп в гомотопической категории спектров. Кроме того, эти спектры могут использоваться для построения разрешений спектров, называемых разрешениями Адамса, которые используются при построении спектральной последовательности Адамса .
Определение
Для фиксированной абелевой группы позволять обозначим множество пространств Эйленберга – Маклейна
с отображением присоединения, проистекающим из свойства пространств петель пространств Эйленберга – Маклейна, а именно, потому что существует гомотопическая эквивалентность
мы можем построить карты от примыкания предоставление желаемых структурных карт набора для получения спектра. Этот набор называется спектром Эйленберга – Маклейна[1] стр. 134 .
Характеристики
Использование спектра Эйленберга – Маклейна мы можем определить понятие когомлогии спектра и гомологии спектра [2] стр. 42 . Использование функтора
мы можем определить когомологии просто как
Отметим, что для комплекса CW , когомологии подвесного спектра восстанавливает когомологии исходного пространства . Обратите внимание, что мы можем определить двойственное понятие гомологии как
которое можно интерпретировать как «двойственное» к обычному гом-тензорному присоединению в спектрах. Обратите внимание, что вместо, мы принимаем для некоторой абелевой группы , мы восстанавливаем обычные (ко) гомологии с коэффициентами в абелевой группе и обозначим его.
Mod - р - спектры и алгебра Стинрода
Для спектра Эйленберга – Маклейна есть изоморфизм
для p- алгебры Стинрода .
Инструменты для вычисления разрешений Адамса
Одним из основных инструментов для вычисления стабильных гомотопических групп является спектральная последовательность Адамса. [2] Для построения этой конструкции используются резольвенты Адамса . Они зависят от следующих свойств спектров Эйленберга – Маклейна. Определим обобщенный спектр Эйленберга – Маклейна как конечный клин подвесов спектров Эйленберга – Маклейна , так
Обратите внимание, что для и спектр
поэтому он сдвигает степень классов когомологий. В остальной части статьи для некоторой фиксированной абелевой группы
Эквивалентность отображений K
Обратите внимание, что гомотопический класс представляет собой конечный набор элементов в . И наоборот, любой конечный набор элементов в представлен некоторым гомотопическим классом .
Построение сюръекции
Для локально конечного набора элементов в порождая ее как абелеву группу, ассоциированное отображение индуцирует сюръекцию на когомологии, то есть если мы оцениваем эти спектры на некотором топологическом пространстве , всегда есть сюрприз
абелевых групп.
Структура Стинрод-модуля на когомологиях спектров
Для спектра взяв клин строит спектр, гомотопически эквивалентный обобщенному пространству Эйленберга – Маклейна с одним клиновидным слагаемым для каждого генератор или . В частности, он дает структуру модуля над алгеброй Стинрода для . Это потому, что указанная ранее эквивалентность может быть прочитана как
и карта побуждает -состав.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b Адамс, Дж. Франк (Джон Франк) (1974). Стабильная гомотопия и обобщенные гомологии . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-00523-2. OCLC 1083550 .
- ^ а б Равенел, Дуглас К. (1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер . Орландо: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC 316566772 .