Закон нуля или единицы Энгельберта – Шмидта - это теорема, которая дает математический критерий того, что событие, связанное с непрерывным неубывающим аддитивным функционалом броуновского движения, имеет вероятность либо 0, либо 1 без возможности промежуточного значения. Этот закон нуля или единицы используется при изучении вопросов конечности и асимптотики стохастических дифференциальных уравнений . [1] ( Винеровский процесс - это математическая формализация броуновского движения, используемая в формулировке теоремы.) Этот закон 0-1, опубликованный в 1981 году, назван в честь Ганса-Юргена Энгельберта [2] и вероятностного специалиста Вольфганга Шмидта [3 ] (не путать с теоретиком чиселВольфганг М. Шмидт ).
Закон Энгельберта – Шмидта 0–1
Позволять - σ-алгебра и пусть- возрастающее семейство под- σ -алгебр в. Позволять- винеровский процесс на вероятностном пространстве . Предположим, чтоявляется измеримой по Борелю функцией вещественной прямой на [0, ∞]. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
(я) .
(ii) .
(iii) для всех компактных подмножеств реальной линии. [4]
Расширение на стабильные процессы
В 1997 году Пио Андреа Занзотто доказал следующее расширение закона нуля или единицы Энгельберта – Шмидта. Он содержит результат Энгельберта и Шмидта как частный случай, поскольку винеровский процесс является вещественнозначным стабильным процессом индекса.
Позволять быть -значный стабильный процесс индексана фильтрованном вероятностном пространстве . Предположим, что- измеримая по Борелю функция. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
(я) .
(ii) .
(iii) для всех компактных подмножеств реальной линии. [5]
Доказательство результата Занзотто почти идентично доказательству закона нуля или единицы Энгельберта – Шмидта. Ключевым объектом доказательства является процесс местного времени, связанный со стабильными процессами индекса, который, как известно, совместно непрерывен. [6]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Karatzas, Иоаннис; Шрив, Стивен (2012). Броуновское движение и стохастическое исчисление . Springer. п. 215.
- ↑ Ханс-Юрген Энгельберт в проекте « Математическая генеалогия»
- ↑ Вольфганг Шмидт в проекте « Математическая генеалогия»
- ^ Engelbert, HJ; Шмидт, В. (1981). «О поведении некоторых функционалов винеровского процесса и приложениях к стохастическим дифференциальным уравнениям». В Арато, М .; Vermes, D .; Балакришнан, А.В. (ред.). Стохастические дифференциальные системы . Конспект лекций в области управления и информатики, т. 36. Берлин; Гейдельберг: Springer. С. 47–55. DOI : 10.1007 / BFb0006406 .
- ^ Занзотто, Пенсильвания (1997). «О решениях одномерных стохастических дифференциальных уравнений, управляемых устойчивым движением Леви». Случайные процессы и их приложения . 68 : 209–228. DOI : 10.1214 / AOP / 1023481008 .
- ^ Бертуан Дж. (1996). Процессы Леви, теоремы V.1, V.15 . Издательство Кембриджского университета.