Местное время (математика)

Примерная траектория процесса Itō вместе с его поверхностью местного времени.

В математической теории стохастических процессов , по местному времени представляет собой случайный процесс , связанный с семимартингальных процессами , такими как броуновское движение , которое характеризует количество времени частица провел на заданном уровне. Местное время появляется в различных формулах стохастического интегрирования , таких как формула Танаки , если подынтегральное выражение недостаточно гладкое. Это также изучается в статистической механике в контексте случайных полей .

Формальное определение [ править ]

Для непрерывного семимартингала с действительными значениями местное время в точке является случайным процессом, который неформально определяется формулой${\ displaystyle (B_ {s}) _ {s \ geq 0}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle L ^ {x} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ delta (x-B_ {s}) \, d [B] _ {s},}$

где есть дельта - функция Дирака и является квадратичной вариацией . Это понятие придумал Поль Леви . Основная идея заключается в том, что это (соответствующим образом масштабируемый и параметризованный по времени) показатель того, сколько времени было потрачено на текущее время . Более строго, это можно записать как почти верный предел${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle [B]}$${\ Displaystyle L ^ {х} (т)}$${\ displaystyle B_ {s}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle L ^ {x} (t) = \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} {\ frac {1} {2 \ varepsilon}} \ int _ {0} ^ {t} 1 _ {\ {x- \ varepsilon <B_ {s} <x + \ varepsilon \}} \, d [B] _ {s},}$

которые можно показать, чтобы существовать всегда. Обратите внимание, что в частном случае броуновского движения (или, в более общем смысле, диффузии с действительными значениями формы, где - броуновское движение), термин просто сводится к , что объясняет, почему оно называется местным временем at . Для дискретного процесса в пространстве состояний местное время можно выразить проще как ^[1]${\ Displaystyle дБ = Ь (т, В) dt + dW}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle d [B] _ {s}}$${\ displaystyle ds}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (X_ {s}) _ {s \ geq 0}}$

${\ displaystyle L ^ {x} (t) = \ int _ {0} ^ {t} 1 _ {\ {x \}} (X_ {s}) \, ds.}$

Формула Танаки [ править ]

Формула Танаки также дает определение местного времени для произвольного непрерывного семимартингала на ^[2]${\ displaystyle (X_ {s}) _ {s \ geq 0}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}:}$

${\displaystyle L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)\,dX_{s},\qquad t\geq 0.}$

Более общая форма была независимо доказана Мейером ^[3] и Вангом; ^[4] формула расширяет лемму Ито для дважды дифференцируемых функций на более общий класс функций. Если абсолютно непрерывна с производной ограниченной вариации, то${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle F',}$

${\displaystyle F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})\,dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)\,dF'_{-}(x),}$

где - левая производная.${\displaystyle F'_{-}}$

Если - броуновское движение, то для любого поле локальных времен имеет модификацию, которая является как непрерывной по Гёльдеру с показателем , так и равномерно для ограниченных и . ^[5] В общем случае , имеет модификацию, которая , как непрерывна в и càdlàg в .${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}$${\displaystyle L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$

Формула Танаки обеспечивает явное разложение Дуба-Мейер для одномерного отражающего броуновского движения, .${\displaystyle (|B_{s}|)_{s\geq 0}}$

Теоремы Рэя – Найта [ править ]

Поле локальных времен, связанных со случайным процессом в пространстве, является хорошо изученной темой в области случайных полей. Теоремы типа Рэя – Найта связывают поле L _t с ассоциированным гауссовским процессом .${\displaystyle L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}}$${\displaystyle E}$

В общем, теоремы типа Рэя – Найта первого типа рассматривают поле L _t в момент достижения основного процесса, в то время как теоремы второго типа относятся к моменту остановки, при котором поле локальных времен сначала превышает заданное значение .

Первая теорема Рэя – Найта [ править ]

Пусть ( B _t ) _{t ≥ 0} - одномерное броуновское движение, начавшееся с B ₀ = a > 0, и ( W _t ) _{t ≥0} - стандартное двумерное броуновское движение W ₀ = 0 ∈ R ² . Определите время остановки, в которое B впервые попадает в начало координат . Рэй ^[6] и Найт ^[7] (независимо) показали, что${\displaystyle T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}}$

${\displaystyle \left\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{|W_{x}|^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,}$

( 1 )

где ( L _t ) _{t ≥ 0} - поле локальных времен ( B _t ) _{t ≥ 0} , а равенство находится в распределении на C [0, a ]. Процесс | W _x | ² известен как процесс Бесселя в квадрате .

Вторая теорема Рэя – Найта [ править ]

Пусть ( B _t ) _{t ≥ 0} - стандартное одномерное броуновское движение B ₀ = 0 ∈ R , и пусть ( L _t ) _{t ≥ 0} - ассоциированное поле локальных времен. Пусть T _a будет первым моментом, когда местное время в нуле превышает a > 0.

${\displaystyle T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.}$

Пусть ( W _t ) _{t ≥ 0} - независимое одномерное броуновское движение, начавшееся с W ₀ = 0, тогда ^[8]

${\displaystyle \left\{L_{T_{a}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{(W_{x}+{\sqrt {a}})^{2}\colon x\geq 0\right\}.\,}$

( 2 )

Эквивалентно, процесс (который является процессом в пространственной переменной ) равен по распределению квадрату 0-мерного бесселевского процесса, в котором начался , и как таковой является марковским.${\displaystyle (L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$

Обобщенные теоремы Рэя – Найта [ править ]

Результаты типа Рэя – Найта для более общих случайных процессов интенсивно изучаются, и аналогичные утверждения как ( 1 ), так и ( 2 ) известны для сильно симметричных марковских процессов.

См. Также [ править ]

• Формула Танаки
• Броуновское движение
• Случайное поле

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• К.Л. Чанг и Р.Дж. Уильямс, Введение в стохастическую интеграцию , 2-е издание, 1990 г., Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8 . 
• М. Маркус и Дж. Розен, Марковские процессы, гауссовские процессы и местное время , 1-е издание, 2006 г., Cambridge University Press ISBN 978-0-521-86300-1 
• П. Мортс и Ю. Перес, Brownian Motion , 1-е издание, 2010 г., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8 .