Ито диффузия

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике - в частности, в стохастическом анализе - диффузия Ито представляет собой решение определенного типа стохастического дифференциального уравнения . Это уравнение похоже на уравнение Ланжевена, используемое в физике для описания броуновского движения частицы, находящейся под действием потенциала в вязкой жидкости. Диффузии Ито названы в честь японского математика Киёси Ито .

Обзор

Этот винеровский процесс (броуновское движение) в трехмерном пространстве (показан один примерный путь) является примером диффузии Ито.

( Однородная по времени ) диффузия Ито в n- мерном евклидовом пространстве R ⁿ - это процесс X  : [0, + ∞) × Ω →  R ^n, определенный на вероятностном пространстве (Ω, Σ,  P ) и удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению формы

${\ Displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}) \, \ mathrm {d} t + \ sigma (X_ {t}) \, \ mathrm {d} B_ {t},}$

где В представляет собой м - мерное броуновское движение и б  :  R ^п  →  R ^п и σ:  R ^п  →  R ^{п × м} удовлетворяют обычную Липшицу непрерывности условию

${\ Displaystyle | b (x) -b (y) | + | \ sigma (x) - \ sigma (y) | \ leq C | xy |}$

для некоторой постоянной C и всех x , y ∈ R ⁿ ; это условие обеспечивает существование единственного сильного решения X приведенного выше стохастического дифференциального уравнения. Векторное поле б известно как дрейф коэффициент от X ; матрица поля σ известен как коэффициент диффузии из X . Важно отметить, что b и σ не зависят от времени; если бы они зависели от времени, X можно было бы называть только процессом Ито., а не распространение. Диффузии Ито обладают рядом хороших свойств, в том числе:

• непрерывность образца и Феллера ;
• марковость ;
• сильная марковость ;
• наличие бесконечно малого генератора ;
• наличие характеристического оператора ;
• Формула Дынкина .

В частности, диффузия Ито - это непрерывный, сильно марковский процесс, такой, что область определения его характеристического оператора включает все дважды непрерывно дифференцируемые функции, поэтому это диффузия в смысле, определенном Дынкиным (1965).

Непрерывность

Непрерывность образца

Диффузия Ито X является выборочным непрерывным процессом , т. Е. Почти для всех реализаций B _t (ω) шума X _t (ω) является непрерывной функцией временного параметра t . Точнее, существует «непрерывная версия» X , непрерывный процесс Y, так что

${\ displaystyle \ mathbf {P} [X_ {t} = Y_ {t}] = 1 {\ mbox {для всех}} т.}$

Это следует из стандартной теории существования и единственности сильных решений стохастических дифференциальных уравнений.

Феллеровская преемственность

В дополнение к непрерывности (образца), диффузия Ито X удовлетворяет более строгим требованиям, чтобы быть непрерывным по Феллеру процессом .

Для точки x  ∈  R ⁿ пусть P ^x обозначает закон X при заданной исходной системе данных X ₀  =  x , а E ^x обозначает математическое ожидание относительно P ^x .

Пусть f  :  R ⁿ  →  R - измеримая по Борелю функция , ограниченная снизу, и определим для фиксированного t  ≥ 0 u  :  R ⁿ  →  R формулой

${\displaystyle u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].}$

• Полунепрерывность снизу : если f полунепрерывно снизу, то u полунепрерывно снизу.
• Непрерывность по Феллеру: если f ограничена и непрерывна, то u непрерывна.

Поведение указанной выше функции u при изменении времени t рассматривается обратным уравнением Колмогорова, уравнением Фоккера – Планка и т. Д. (См. Ниже).

Марковское свойство

Марковское свойство

Распространение Ито X обладает важным свойством марковости : будущее поведение X , учитывая то, что произошло до некоторого времени t , такое же, как если бы процесс был начат в позиции X _t в момент времени 0. Точная математика Формулировка этого утверждения требует дополнительных обозначений:

Пусть Σ _* обозначим естественную фильтрацию из (Q, Е) , порожденную броуновского движения B : для т  ^ 0,

${\displaystyle \Sigma _{t}=\Sigma _{t}^{B}=\sigma \left\{B_{s}^{-1}(A)\subseteq \Omega \ :\ 0\leq s\leq t,A\subseteq \mathbf {R} ^{n}{\mbox{ Borel}}\right\}.}$

Легко показать , что X является адаптированным к Е _* (т.е. каждый X _т есть Σ _т -измеримая), поэтому естественная фильтрация F _*  =  F _* ^X из (Q, S) , порожденная X имеет F _т  ⊆ Σ _т для каждый t  ≥ 0.

Пусть f  :  R ⁿ  →  R - ограниченная измеримая по Борелю функция. Тогда для всех t и h  ≥ 0 условное ожидание, обусловленное σ-алгеброй Σ _t, и ожидание процесса, "перезапущенного" из X _t, удовлетворяют марковскому свойству :

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}{\big ]}(\omega )=\mathbf {E} ^{X_{t}(\omega )}[f(X_{h})].}$

Фактически, X также является марковским процессом относительно фильтрации F _∗ , как показывает следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{aligned}}}$

Сильное марковское свойство

Сильное марковское свойство является обобщением марковского свойства, приведенного выше, в котором t заменяется подходящим случайным моментом τ: Ω → [0, + ∞], известным как момент остановки . Так, например, вместо того, чтобы «перезапускать» процесс X в момент времени t  = 1, можно «перезапустить» всякий раз, когда X впервые достигает некоторой заданной точки p на R ⁿ .

Как и раньше, пусть f  :  R ⁿ  →  R - ограниченная измеримая по Борелю функция. Пусть τ - момент остановки по отношению к фильтрации Σ _∗ с τ <+ ∞ почти наверное . Тогда для всех h  ≥ 0

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{\tau +h}){\big |}\Sigma _{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\big [}f(X_{h}){\big ]}.}$

Генератор

Определение

С каждой диффузией Ито связан оператор в частных производных второго порядка, известный как генератор диффузии. Генератор является очень полезным во многих приложениях и кодирует большое количество информации о процессе X . Формально инфинитезимальный генератор диффузии Ито X - это оператор A , который определен как действующий на подходящие функции f  :  R ⁿ  →  R формулой

${\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}.}$

Множество всех функций f, для которых этот предел существует в точке x , обозначается D _A ( x ), а D _A обозначает множество всех f, для которых предел существует для всех x  ∈  R ⁿ . Можно показать, что любая функция f C ^{2 с} компактным носителем (дважды дифференцируемая с непрерывной второй производной) лежит в D _A и что

${\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x),}$

или, в терминах градиента и скаляр и фробениусовыми внутренних продуктов ,

${\displaystyle Af(x)=b(x)\cdot \nabla _{x}f(x)+{\tfrac {1}{2}}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right):\nabla _{x}\nabla _{x}f(x).}$

Пример

Генератор A для стандартного n- мерного броуновского движения B , который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению d X _t  = d B _t , имеет вид

${\displaystyle Af(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\delta _{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(x)}$,

т.е. A  = Δ / 2, где Δ обозначает оператор Лапласа .

Уравнения Колмогорова и Фоккера – Планка.

Генератор используется при формулировке обратного уравнения Колмогорова. Интуитивно это уравнение сообщает нам, как ожидаемое значение любой подходящей гладкой статистики X изменяется во времени: оно должно решать определенное уравнение в частных производных, в котором время t и начальное положение x являются независимыми переменными. Точнее, если f  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) имеет компактный носитель и u  : [0, + ∞) ×  R ⁿ  →  R определяется равенством

${\displaystyle u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],}$

тогда u ( t ,  x ) дифференцируема по t , u ( t , ·) ∈  D _A для всех t , и u удовлетворяет следующему уравнению в частных производных , известному как обратное уравнение Колмогорова :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Au(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\u(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

Уравнение Фоккера-Планка (также известный как вперед уравнение Колмогорова ) в каком - то смысле « сопряженный » для обратного уравнения, и говорит нам , как функции плотности вероятности от X _т с течением времени эволюционируют т . Пусть ρ ( t , ·) - плотность X _t относительно меры Лебега на R ⁿ , т. Е. Для любого измеримого по Борелю множества S  ⊆  R ⁿ ,

${\displaystyle \mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int _{S}\rho (t,x)\,\mathrm {d} x.}$

Пусть ^* обозначим эрмитово сопряженный с А (по отношению к L 2 скалярное произведение ). Тогда, учитывая, что начальное положение X ₀ имеет заданную плотность ρ ₀ , ρ ( t ,  x ) дифференцируемо по t , ρ ( t , ·) ∈  D _{A *} для всех t , а ρ удовлетворяет следующему частному дифференциалу уравнение, известное как уравнение Фоккера – Планка :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial \rho }{\partial t}}(t,x)=A^{*}\rho (t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\\rho (0,x)=\rho _{0}(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

Формула Фейнмана – Каца

Формула Фейнмана – Каца является полезным обобщением обратного уравнения Колмогорова. Опять же, f принадлежит C ² ( R ⁿ ;  R ) и имеет компактный носитель, а q  :  R ⁿ  →  R считается непрерывной функцией , ограниченной снизу. Определим функцию v  : [0, + ∞) ×  R ⁿ  →  R следующим образом:

${\displaystyle v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left(-\int _{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm {d} s\right)f(X_{t})\right].}$

Формула Фейнмана – Каца утверждает, что v удовлетворяет уравнению в частных производных

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}(t,x)=Av(t,x)-q(x)v(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\v(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

Более того, если w  : [0, + ∞) ×  R ⁿ  →  R является C ¹ во времени, C ² в пространстве, ограниченным на K  ×  R ⁿ для всех компактных K и удовлетворяет вышеуказанному уравнению в частных производных, то w должно быть v, как определено выше.

Обратное уравнение Колмогорова является частным случаем формулы Фейнмана – Каца, в которой q ( x ) = 0 для всех x  ∈  R ⁿ .

Характеристический оператор

Определение

Характеристический оператор диффузии Ито X является оператором в частных производных, тесно связанным с генератором, но несколько более общим. Он больше подходит для определенных задач, например, для решения проблемы Дирихле .

Характеристический оператор из Ито диффузии X определяется${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}})\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _{U}]}},}$

где множества U образуют последовательность открытых множеств U _k , убывающих до точки x в том смысле, что

${\displaystyle U_{k+1}\subseteq U_{k}{\mbox{ and }}\bigcap _{k=1}^{\infty }U_{k}=\{x\},}$

а также

${\displaystyle \tau _{U}=\inf\{t\geq 0\ :\ X_{t}\not \in U\}}$

первый раз , когда выход из U для X . обозначает множество всех f, для которых этот предел существует для всех x  ∈  R ⁿ и всех последовательностей { U _k }. Если E ^x [τ _U ] = + ∞ для всех открытых множеств U, содержащих x , определим${\displaystyle D_{\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=0.}$

Связь с генератором

Характеристический оператор и инфинитезимальный генератор очень тесно связаны и даже совпадают для большого класса функций. Можно показать, что

${\displaystyle D_{A}\subseteq D_{\mathcal {A}}}$

и это

${\displaystyle Af={\mathcal {A}}f{\mbox{ for all }}f\in D_{A}.}$

В частности, генератор и характеристический оператор согласуются для всех C ² функций f , и в этом случае

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).}$

Приложение: броуновское движение на римановом многообразии.

Выше вычислен генератор (и, следовательно, характеристический оператор) броуновского движения на R ^n, равный ½Δ, где Δ обозначает оператор Лапласа. Характеристический оператор полезен при определении броуновского движения на m -мерном римановом многообразии ( M ,  g ): броуновское движение на M определяется как диффузия на M , характеристический оператор которой в локальных координатах x _i , 1 ≤  i  ≤  m , задается формулой ½Δ _LB , где Δ _LB - оператор Лапласа-Бельтрами${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ задано в местных координатах

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$

где [ g ^ij ] = [ g _ij ] ⁻¹ в смысле обратной квадратной матрицы .

Оператор резольвенты

В общем случае генератор A диффузии Ито X не является ограниченным оператором . Однако, если из A вычесть положительное кратное единичного оператора I, то полученный оператор обратим. Обратный к этому оператору может быть выражен через сам X с помощью оператора резольвенты .

При α> 0 резольвентный оператор R _α , действующий на ограниченные непрерывные функции g  :  R ⁿ  →  R , определяется формулой

${\displaystyle R_{\alpha }g(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}g(X_{t})\,\mathrm {d} t\right].}$

Используя непрерывность диффузии X по Феллеру, можно показать, что R _α g сама является ограниченной непрерывной функцией. Также R _α и α I  -  A взаимно обратные операторы:

• если f  :  R ⁿ  →  R - это C ² с компактным носителем, то для всех α> 0

${\displaystyle R_{\alpha }(\alpha \mathbf {I} -A)f=f;}$

• если g  :  R ⁿ  →  R ограничен и непрерывен, то R _α g лежит в D _A и для всех α> 0

${\displaystyle (\alpha \mathbf {I} -A)R_{\alpha }g=g.}$

Инвариантные меры

Иногда необходимо найти инвариантную меру для диффузии Ито X , т. Е. Меру на R ⁿ , которая не меняется под действием «потока» X : то есть, если X ₀ распределен в соответствии с такой инвариантной мерой μ _∞ , то X _t также распределяется согласно μ _∞ для любого t  ≥ 0. Уравнение Фоккера – Планка предлагает способ найти такую ​​меру, по крайней мере, если оно имеет функцию плотности вероятности ρ _∞ : если X ₀ действительно распределено согласно инвариантная мера μ _∞ с плотностью ρ_∞ , то плотность ρ ( t , ·) X _t не меняется с t , поэтому ρ ( t , ·) = ρ _∞ , и поэтому ρ _∞ должно решать (не зависящее от времени) уравнение в частных производных

${\displaystyle A^{*}\rho _{\infty }(x)=0,\quad x\in \mathbf {R} ^{n}.}$

Это иллюстрирует одну из связей между стохастическим анализом и изучением уравнений в частных производных. И наоборот, данное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка вида Λ f  = 0 может быть трудно решить напрямую, но если Λ =  A ^∗ для некоторой диффузии Ито X и инвариантная мера для X легко вычисляется, то Плотность меры обеспечивает решение уравнения в частных производных.

Инвариантные меры для градиентных потоков

Инвариантную меру сравнительно легко вычислить, когда процесс X представляет собой стохастический градиентный поток вида

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\nabla \Psi (X_{t})\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

где β> 0 играет роль обратной температуры, а Ψ:  R ⁿ  →  R - скалярный потенциал, удовлетворяющий подходящим условиям гладкости и роста. В этом случае уравнение Фоккера – Планка имеет единственное стационарное решение ρ _∞ (т.е. X имеет единственную инвариантную меру μ _∞ с плотностью ρ _∞ ) и задается распределением Гиббса :

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=Z^{-1}\exp(-\beta \Psi (x)),}$

где статистическая сумма Z определяется выражением

${\displaystyle Z=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\exp(-\beta \Psi (x))\,\mathrm {d} x.}$

Кроме того, плотность р _∞ удовлетворяет вариационный принцип : он минимизирует по всей плотности вероятности р на R ^н в свободной энергии функциональной F , заданной

${\displaystyle F[\rho ]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],}$

куда

${\displaystyle E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x}$

играет роль энергетического функционала, а

${\displaystyle S[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho (x)\log \rho (x)\,\mathrm {d} x}$

является отрицательным от функционала энтропии Гиббса-Больцмана. Даже когда потенциал Ψ ​​недостаточно хорош для определения статистической суммы Z и меры Гиббса μ _∞ , свободная энергия F [ρ ( t , ·)] по-прежнему имеет смысл для каждого момента времени t  ≥ 0, при условии, что начальное условие имеет F [ρ (0, ·)] <+ ∞. Функционал свободной энергии F фактически является функцией Ляпунова для уравнения Фоккера – Планка: F [ρ ( t , ·)] должен убывать с увеличением t . Таким образом, F является H- функцией для X-динамика.

Пример

Рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека X на R ^n, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\kappa (X_{t}-m)\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

где m  ∈  R ⁿ и β, κ> 0 - заданные постоянные. В этом случае потенциал Ψ ​​определяется выражением

${\displaystyle \Psi (x)={\tfrac {1}{2}}\kappa |x-m|^{2},}$

и поэтому инвариантная мера для X является гауссовой мерой с плотностью ρ _∞, задаваемой формулой

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=\left({\frac {\beta \kappa }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\exp \left(-{\frac {\beta \kappa |x-m|^{2}}{2}}\right)}$.

Эвристически, для больших t , X _t приблизительно нормально распределено со средним m и дисперсией (βκ) ^-1 . Выражение для дисперсии можно интерпретировать следующим образом: большие значения κ означают, что потенциальная яма Ψ имеет «очень крутые стороны», поэтому маловероятно , что X _t уйдет далеко от минимума Ψ при m ; аналогично, большие значения β означают, что система довольно «холодная» с небольшим шумом, поэтому, опять же, маловероятно , что X _t удалится далеко от m .

Мартингейл недвижимость

В общем, диффузия Ито X не является мартингалом . Однако для любого f  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) с компактным носителем процесс M  : [0, + ∞) × Ω →  R, определенный равенством

${\displaystyle M_{t}=f(X_{t})-\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s,}$

где является генератором X , является мартингалом относительно естественной фильтрации Р _* из (Ω, Σ) с помощью X . Доказательство довольно просто: из обычного выражения действия генератора на достаточно гладкие функции f и леммы Ито ( правило стохастической цепочки ) следует, что

${\displaystyle f(X_{t})=f(x)+\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\nabla f(X_{s})^{\top }\sigma (X_{s})\,\mathrm {d} B_{s}.}$

Поскольку Ито интегралы мартингалы относительно естественной фильтрации Е _* из (Q, S) по B , для т  >  s ,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}=M_{s}.}$

Следовательно, как и требовалось,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[M_{t}|F_{s}]=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}{\big |}F_{s}\right]=\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{s}{\big |}F_{s}{\big ]}=M_{s},}$

так как М _ы является Р _с -измеримым.

Формула Дынкина

Формула Дынкина, названная в честь Евгения Дынкина , дает ожидаемое значение любой подходящей гладкой статистики диффузии Ито X (с генератором A ) в момент остановки. А именно, если τ - момент остановки с E ^x [τ] <+ ∞, а f  :  R ⁿ  →  R - это C ² с компактным носителем, то

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

Формулу Дынкина можно использовать для расчета многих полезных статистических данных о времени остановки. Например, каноническое броуновское движение на реальной прямой, начинающейся с 0, выходит из интервала (- R , + R ) в случайное время τ _R с ожидаемым значением

${\displaystyle \mathbf {E} ^{0}[\tau _{R}]=R^{2}.}$

Формула Дынкина предоставляет информацию о поведении X в довольно общий момент остановки. Для получения дополнительной информации о распределении X в момент срабатывания можно изучить гармоническую меру процесса.

Сопутствующие меры

Гармоническая мера

Во многих ситуациях достаточно знать, когда диффузия Ито X сначала покинет измеримое множество H  ⊆  R ⁿ . То есть хочется изучить время первого выхода.

${\displaystyle \tau _{H}(\omega )=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in H\}.}$

Иногда, однако, также желательно знать распределение точек, в которых X выходит из множества. Например, каноническое Броуновское движение Б на прямой , начиная с 0 выходит из интервала (-1, 1) при -1 с вероятностью ½ и через 1 с вероятностью ½, так что B _{τ (-1, 1)} будет равномерно распределен на установить {−1, 1}.

В общем, если G является компактно вложено в пределах R ^п , то гармоническая мера (или ударять распределение ) из X на границе ∂ G из G является мерой μ _G ^х определяется

${\displaystyle \mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}\left[X_{\tau _{G}}\in F\right]}$

для й  ∈  G и F  ⊆ ∂ G .

Возвращаясь к предыдущему примеру броуновского движения, можно показать, что если B - броуновское движение в R ^{n с} началом в x  ∈  R ⁿ и D  ⊂  R ⁿ - открытый шар с центром в x , то гармоническая мера B на ∂ D является инвариантным относительно всех вращений из D о х и совпадает с нормированной поверхностной мерой на ∂ D .

Гармоническая мера удовлетворяет интересному свойству среднего значения : если f  :  R ⁿ  →  R - любая ограниченная функция, измеримая по Борелю и φ задается формулой

${\displaystyle \varphi (x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{H}})\right],}$

то для всех борелевских множеств G  ⊂⊂  Н , и все х  ∈  G ,

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\partial G}\varphi (y)\,\mathrm {d} \mu _{G}^{x}(y).}$

Свойство среднего значения очень полезно при решении уравнений в частных производных с использованием случайных процессов .

Мера Грина и формула Грина

Пусть A - оператор в частных производных в области D  ⊆  R ^n, и пусть X - диффузия Ито с A в качестве генератора. Наглядно мера Грина борелевского множество H является ожидаемой продолжительностью времени, X остается в H , прежде чем он покинет область D . То есть, мера Грина из X по отношению к D , при х , обозначается С ( х , ·), определяется для борелевских множеств H  ⊆  R ^п по

${\displaystyle G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],}$

или для ограниченных непрерывных функций f  :  D  →  R формулой

${\displaystyle \int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

Название «Зеленая мера» происходит от того факта, что если X - броуновское движение, то

${\displaystyle G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,}$

где G ( х ,  у ) является функцией Грина для оператора ½Δ на домене D .

Предположим , что Е ^х [τ _D ] <+ ∞ для всех х  ∈  D . Тогда формула Грина верна для всех f  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) с компактным носителем:

${\displaystyle f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau _{D}}\right)\right]-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

В частности, если носитель F является компактно вложено в D ,

${\displaystyle f(x)=-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

Смотрите также

• Процесс диффузии

использованная литература

• Дынкин, Евгений Б .; пер. Дж. Фабиус; В. Гринберг; А. Майтра; Дж. Майон (1965). Марковские процессы. Тт. I, II . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121. Нью-Йорк: Academic Press Inc. MR 0193671
• Джордан, Ричард; Киндерлерер, Дэвид; Отто, Феликс (1998). «Вариационная формулировка уравнения Фоккера – Планка». SIAM J. Math. Анальный . 29 (1): 1–17 (в электронном виде). CiteSeerX  10.1.1.6.8815 . DOI : 10.1137 / S0036141096303359 . Руководство по ремонту 1617171
• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1. MR 2001996 (см. Разделы 7, 8 и 9)