Объясненная вариация

В статистике , объясненной вариации измеряет долю , в которой математическая модель учитывает вариации ( дисперсии ) данного набора данных. Часто вариацию количественно оценивают как дисперсию ; затем можно использовать более конкретный термин « объясненная дисперсия» .

Дополнительная часть общей вариации называется необъяснимой или остаточной вариацией.

Определение с точки зрения получения информации [ править ]

Получение информации за счет лучшего моделирования [ править ]

Следуя Кенту (1983), ^[1], мы используем информацию Фрейзера (Fraser 1965) ^[2]

${\displaystyle F(\theta )=\int {\textrm {d}}r\,g(r)\,\ln f(r;\theta )}$

где - плотность вероятности случайной величины , а с ( ) - два семейства параметрических моделей. Семейство моделей 0 является более простым с ограниченным пространством параметров .${\displaystyle g(r)}$${\displaystyle R\,}$${\displaystyle f(r;\theta )\,}$${\displaystyle \theta \in \Theta _{i}}$${\displaystyle i=0,1\,}$${\displaystyle \Theta _{0}\subset \Theta _{1}}$

Параметры определяются методом максимального правдоподобия ,

${\displaystyle \theta _{i}=\operatorname {argmax} _{\theta \in \Theta _{i}}F(\theta ).}$

Информационный выигрыш модели 1 по сравнению с моделью 0 записывается как

${\displaystyle \Gamma (\theta _{1}:\theta _{0})=2[F(\theta _{1})-F(\theta _{0})]\,}$

где для удобства включен коэффициент 2. Γ всегда неотрицательно; он измеряет степень, в которой лучшая модель семьи 1 лучше, чем лучшая модель семьи 0 в объяснении g ( r ).

Получение информации с помощью условной модели [ править ]

Предположим, что это двумерная случайная величина, где X следует рассматривать как объясняющую переменную, а Y как зависимую переменную. Модели семьи 1 «объясняют» Y через X ,${\displaystyle R=(X,Y)}$

${\displaystyle f(y\mid x;\theta )}$,

тогда как в семействе 0 предполагается , что X и Y независимы. Мы определяем случайность Y с помощью , а случайность Y , заданного X , с помощью . Потом,${\displaystyle D(Y)=\exp[-2F(\theta _{0})]}$${\displaystyle D(Y\mid X)=\exp[-2F(\theta _{1})]}$

${\displaystyle \rho _{C}^{2}=1-D(Y\mid X)/D(Y)}$

можно интерпретировать как долю дисперсии данных , которая является «объяснено» с помощью X .

Особые случаи и общее использование [ править ]

Линейная регрессия [ править ]

Доля необъяснимой дисперсии - это устоявшееся понятие в контексте линейной регрессии . Обычное определение коэффициента детерминации основано на фундаментальной концепции объясненной дисперсии.

Коэффициент корреляции как мера объясненной дисперсии [ править ]

Пусть X - случайный вектор, а Y - случайная величина, которая моделируется нормальным распределением с центром . В этом случае полученная выше доля объясненной вариации равна квадрату коэффициента корреляции .${\displaystyle \mu =\Psi ^{\textrm {T}}X}$${\displaystyle \rho _{C}^{2}}$ ${\displaystyle R^{2}}$

Обратите внимание на сильные допущения модели: центр Y распределения должна быть линейной функцией от X , и для любых заданных х , то Y распределение должно быть нормальным. В других ситуациях обычно неоправданно интерпретировать как долю объясненной дисперсии.${\displaystyle R^{2}}$

В анализе главных компонентов [ править ]

Объясненная дисперсия обычно используется в анализе главных компонентов . Связь с получением информации Фрейзером – Кентом еще предстоит выяснить.

Критика [ править ]

Поскольку доля «объясненной дисперсии» равна квадрату коэффициента корреляции , она разделяет все недостатки последнего: она отражает не только качество регрессии, но и распределение независимых (обусловливающих) переменных.${\displaystyle R^{2}}$

По словам одного критика: «Таким образом , получается« процент дисперсии, объясняемой »регрессией, выражение, которое для большинства социологов имеет сомнительный смысл, но имеет большую риторическую ценность. Если это число велико, регрессия дает хорошее подходят, и нет смысла искать дополнительные переменные. Другие уравнения регрессии для других наборов данных считаются менее удовлетворительными или менее эффективными, если их меньше. Ничего подобного не поддерживает эти утверждения ". ^{[3] : 58} И после построения примера, где улучшается просто совместным рассмотрением данных из двух разных популяций: «« Объясненная дисперсия »ничего не объясняет». ^{[3] [ необходима страница ] [4]}${\displaystyle R^{2}}$${\displaystyle R^{2}}$${\displaystyle R^{2}}$${\displaystyle R^{2}}$^{: 183}

См. Также [ править ]

• Дисперсионный анализ
• Снижение дисперсии
• Анализ чувствительности на основе дисперсии

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Объясненная и необъяснимая дисперсия на графике