В математике , а точнее в теории методов Монте-Карло , уменьшение дисперсии - это процедура, используемая для повышения точности оценок, которые могут быть получены для данного моделирования или вычислительных усилий. [1] Каждая выходная случайная величина из моделирования связана с дисперсией, которая ограничивает точность результатов моделирования. Чтобы сделать моделирование статистически эффективным, т. Е. Для получения большей точности и меньших доверительных интервалов для выходной случайной величины, представляющей интерес, можно использовать методы уменьшения дисперсии. Основные из них - обычные случайные числа, противоположные переменные , управляющие переменные., выборка по важности , стратифицированная выборка , согласование моментов , условные Монте-Карло и квазислучайные величины . Для симуляции с моделями черного ящика также можно использовать симуляцию подмножества и линейную выборку . Под этими заголовками находятся различные специализированные методы; например, при моделировании переноса частиц широко используются методы «окна веса» и «разделение / русская рулетка», которые являются формой выборки по важности.
Грубое моделирование Монте-Карло
Предположим, кто-то хочет вычислить со случайной величиной определен на вероятностном пространстве . Монте-Карло делает это путем выборки iid . копии из а затем оценить с помощью оценщика выборочного среднего
В более мягких условиях, таких как , будет применяться центральная предельная теорема такая, что при больших, распределение сходится к нормальному распределению со средним и стандартная ошибка . Поскольку стандартное отклонение сходится только к по оценке , что означает необходимость увеличения количества симуляций () в раз уменьшить вдвое стандартное отклонение , методы уменьшения дисперсии часто полезны для получения более точных оценок для без необходимости очень большого количества симуляций.
Общие случайные числа (CRN)
Обычный метод уменьшения дисперсии случайных чисел - это популярный и полезный метод уменьшения дисперсии, который применяется, когда мы сравниваем две или более альтернативных конфигураций (системы) вместо исследования одной конфигурации. CRN также называют коррелированной выборкой , согласованными потоками или согласованными парами .
CRN требует синхронизации потоков случайных чисел, что гарантирует, что помимо использования одних и тех же случайных чисел для моделирования всех конфигураций, конкретное случайное число, используемое для определенной цели в одной конфигурации, используется для точно такой же цели во всех других конфигурациях. Например, в теории очередей, если мы сравниваем две разные конфигурации кассиров в банке, мы хотели бы, чтобы (случайное) время прибытия N- го клиента генерировалось с использованием одного и того же извлечения из потока случайных чисел для обоих конфигурации.
Основополагающий принцип метода CRN
Предполагать а также - наблюдения из первой и второй конфигураций на j- й независимой репликации.
Мы хотим оценить
Если мы выполним n репликаций каждой конфигурации и позволим
тогда а также объективная оценка .
А поскольку являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами,
В случае независимой выборки, т. Е. Не используются общие случайные числа, тогда Cov ( X 1 j , X 2 j ) = 0. Но если нам удастся вызвать элемент положительной корреляции между X 1 и X 2, такой, что Cov ( X 1 j , X 2 j )> 0, из приведенного выше уравнения видно, что дисперсия уменьшается.
Также можно заметить, что если CRN вызывает отрицательную корреляцию, т. Е. Cov ( X 1 j , X 2 j ) <0, этот метод может фактически иметь обратный эффект, когда дисперсия увеличивается, а не уменьшается (как предполагалось). [2]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Ботев, З .; Риддер, А. (2017). «Снижение дисперсии». Wiley StatsRef: Статистический справочник в Интернете : 1–6. DOI : 10.1002 / 9781118445112.stat07975 . ISBN 9781118445112.
- ^ Хамрик, Джефф. «Метод обыкновенных случайных чисел: пример» . Вольфрам Демонстрационный проект . Проверено 29 марта 2016 года .
- Хаммерсли, Дж. М.; Хэндскомб, округ Колумбия (1964). Методы Монте-Карло . Лондон: Метуэн. ISBN 0-416-52340-4.
- Kahn, H .; Маршалл, AW (1953). «Методы уменьшения размера выборки в вычислениях Монте-Карло». Журнал Общества исследования операций Америки . 1 (5): 263–271. DOI : 10.1287 / opre.1.5.263 .
- MCNP - Общий код Монте-Карло по переносу N-частиц, версия 5, отчет Лос-Аламоса, LA-UR-03-1987