Противоположные варианты

В статистике метод противоположных вариаций - это метод уменьшения дисперсии , используемый в методах Монте-Карло . Учитывая, что ошибка в смоделированном сигнале (с использованием методов Монте-Карло ) имеет однозначную сходимость с квадратным корнем , для получения точного результата требуется очень большое количество путей выборки . Метод противоположных вариаций снижает разброс результатов моделирования. ^{[1] [2]}

Основной принцип [ править ]

Техника противоположных вариаций состоит в том, чтобы для каждого полученного пути выборки следовать его противоположному пути - которому также дается путь, по которому следует идти . Преимущество этого метода двоякое: он уменьшает количество нормальных выборок, которые необходимо взять для генерации N путей, и уменьшает дисперсию траекторий выборки, повышая точность.${\ displaystyle \ {\ varepsilon _ {1}, \ dots, \ varepsilon _ {M} \}}$${\ displaystyle \ {- \ varepsilon _ {1}, \ dots, - \ varepsilon _ {M} \}}$

Предположим, что мы хотим оценить

${\ Displaystyle \ тета = \ mathrm {E} (час (X)) = \ mathrm {E} (Y) \,}$

Для этого мы сгенерировали два образца

${\ Displaystyle Y_ {1} {\ text {и}} Y_ {2} \,}$

Беспристрастная оценка дается выражением${\ displaystyle {\ theta}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = {\ frac {{\ hat {\ theta}} _ {1} + {\ hat {\ theta}} _ {2}} {2}}.}$

А также

${\ displaystyle {\ text {Var}} ({\ hat {\ theta}}) = {\ frac {{\ text {Var}} (Y_ {1}) + {\ text {Var}} (Y_ {2 }) + 2 {\ text {Cov}} (Y_ {1}, Y_ {2})} {4}}}$

поэтому дисперсия уменьшается, если она отрицательна.${\ displaystyle {\ text {Cov}} (Y_ {1}, Y_ {2})}$

Пример 1 [ править ]

Если закон переменной X следует равномерное распределение вдоль [0, 1], первый образец будет , где, для любого заданного I , получается из U (0, 1). Второй образец построен из , где, для любого заданного I : . Если множество равномерно вдоль [0, 1], то так и будет . Кроме того, ковариация отрицательна, что позволяет уменьшить исходную дисперсию.${\ Displaystyle и_ {1}, \ ldots, и_ {п}}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\displaystyle u'_{1},\ldots ,u'_{n}}$${\displaystyle u'_{i}=1-u_{i}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle u'_{i}}$

Пример 2: интегральное вычисление [ править ]

Мы хотели бы оценить

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x.}$

Точный результат есть . Этот интеграл можно рассматривать как математическое ожидание , где${\displaystyle I=\ln 2\approx 0.69314718}$${\displaystyle f(U)}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x}}}$

и U следует равномерному распределению  [0, 1].

В следующей таблице сравнивается классическая оценка Монте-Карло (размер выборки: 2 n , где n  = 1500) с оценкой с противоположными вариациями (размер выборки: n , дополненная преобразованной выборкой 1 -  u _i ):

	Оценивать	Стандартное отклонение
Классическая оценка	0,69365	0,00255
Антитетические варианты	0,69399	0,00063

Использование метода противоположных вариаций для оценки результата показывает значительное сокращение дисперсии.

Ссылки [ править ]