Экстраполяция

В математике экстраполяция — это тип оценки за пределами исходного диапазона наблюдения значения переменной на основе ее связи с другой переменной. Это похоже на интерполяцию , которая дает оценки между известными наблюдениями, но экстраполяция подвержена большей неопределенности и более высокому риску получения бессмысленных результатов. Экстраполяция может также означать расширение метода при условии, что будут применимы аналогичные методы. Экстраполяция может также применяться к человеческому опыту.проецировать, расширять или расширять известный опыт в область, неизвестную или ранее испытанную, чтобы прийти к (обычно предположительному) знанию неизвестного ^[1] (например, водитель во время вождения экстраполирует дорожные условия за пределы своего поля зрения). Метод экстраполяции может быть применен в задаче реконструкции интерьера .

Правильный выбор метода экстраполяции зависит от априорного знания процесса, в результате которого были созданы существующие точки данных. Некоторые эксперты предлагали использовать причинно-следственные связи при оценке методов экстраполяции. ^[2] Ключевыми вопросами являются, например, можно ли считать данные непрерывными, гладкими, возможно, периодическими и т. д.

Линейная экстраполяция означает создание касательной линии в конце известных данных и продолжение ее за пределы этого предела. Линейная экстраполяция дает хорошие результаты только тогда, когда используется для расширения графика приблизительно линейной функции или не слишком далеко за пределы известных данных.

Если две точки данных, ближайшие к точке , подлежащей экстраполяции, равны и , то линейная экстраполяция дает функцию:${\ Displaystyle х_ {*}}$${\ Displaystyle (х_ {к-1}, у_ {к-1})}$${\ Displaystyle (х_ {к}, у_ {к})}$

(что идентично линейной интерполяции , если ). Можно включить более двух точек и усреднить наклон линейной интерполянты с помощью методов, подобных регрессии , по точкам данных, выбранным для включения. Это похоже на линейное предсказание .${\ Displaystyle х_ {к-1} <х_ {*} <х_ {к}}$

Полиномиальную кривую можно построить по всем известным данным или только ближе к концу (две точки для линейной экстраполяции, три точки для квадратичной экстраполяции и т. д.). Полученную кривую затем можно расширить за пределы известных данных. Полиномиальная экстраполяция обычно выполняется с помощью интерполяции Лагранжа или с использованием метода конечных разностей Ньютона для создания ряда Ньютона , соответствующего данным. Полученный полином можно использовать для экстраполяции данных.

Пример иллюстрации проблемы экстраполяции, состоящей в присвоении значимого значения синему прямоугольнику при заданных красных точках данных.${\ Displaystyle х = 7}$

Экстраполяции Лагранжа последовательности 1,2,3. Экстраполяция на 4 приводит к полиному минимальной степени ( голубая линия).