Проблема с расположением объекта

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Проблема с местонахождением объекта» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( май 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Изучение проблем размещения объектов (FLP) , также известное как анализ местоположения , является отраслью исследования операций и вычислительной геометрии, связанной с оптимальным размещением объектов для минимизации транспортных расходов с учетом таких факторов, как недопущение размещения опасных материалов рядом с жилыми домами и конкурентов. удобства. Эти методы также применимы к кластерному анализу .

Минимальное расположение объекта [ править ]

Простая проблема размещения предприятия - это проблема Вебера , в которой необходимо разместить одно предприятие, при этом единственным критерием оптимизации является минимизация взвешенной суммы расстояний от заданного набора точечных участков. Более сложные проблемы, рассматриваемые в этой дисциплине, включают размещение нескольких объектов, ограничения на расположение объектов и более сложные критерии оптимизации.

В базовой формулировке проблема местоположения предприятия состоит из набора потенциальных участков L объекта, где предприятие может быть открыто, и набора точек спроса D, которые должны обслуживаться. Цель состоит в том, чтобы выбрать подмножество F объектов для открытия, чтобы минимизировать сумму расстояний от каждой точки спроса до ближайшего объекта, плюс сумму затрат на открытие объектов.

Задачу размещения оборудования на общих графах NP-сложно решить оптимальным образом, путем сокращения (например) задачи множественного покрытия . Разработан ряд аппроксимационных алгоритмов для задачи размещения объектов и многих ее вариантов.

Без предположений о наборе расстояний между клиентами и объектами (в частности, без предположения, что расстояния удовлетворяют неравенству треугольника ) проблема известна как неметрическое расположение объекта и может быть аппроксимирована с точностью до коэффициента O (log n ). ^[1] Этот коэффициент является точным, за счет сокращения с сохранением аппроксимации из задачи о множественном покрытии.

Если мы предположим, что расстояния между клиентами и площадками неориентированы и удовлетворяют неравенству треугольника, мы говорим о проблеме метрического местоположения объекта (MFL) . MFL по-прежнему NP-сложен, и его трудно аппроксимировать в пределах коэффициента лучше 1,463. ^[2] Самый известный в настоящее время алгоритм аппроксимации достигает коэффициента аппроксимации 1,488. ^[3]

Расположение объекта Minimax [ править ]

Задача минимаксного местоположения объекта ищет место, которое минимизирует максимальное расстояние до участков, где расстояние от одной точки до участков - это расстояние от точки до ближайшего к ней участка. Формальное определение таково: дано точечное множество P ⊂ ℝ ^d , найти точечное множество S ⊂ ℝ ^d , | S | = k , так что max _{p ∈ P} (min _{q ∈ S} (d ( p , q ))) минимизируется.

В случае евклидовой метрики для k = 1 она известна как проблема наименьшей охватывающей сферы или проблема 1-центра . Его исследование относилось, по крайней мере, к 1860 году. Для получения более подробной информации см. Наименьший охватывающий круг и ограничивающую сферу .

Твердость NP [ править ]

Доказано, что точное решение задачи k -центров является NP трудным. ^[4]^[5]^[6] Было обнаружено, что приближение к проблеме также NP трудное, когда ошибка мала. Уровень ошибки в алгоритме аппроксимации измеряется как коэффициент аппроксимации, который определяется как отношение между аппроксимацией и оптимумом. Доказано, что аппроксимация k -центровой задачи NP трудна, когда коэффициент аппроксимации меньше 1,822 (размерность = 2) ^[7] или 2 (размерность> 2). ^[6]

Алгоритмы [ править ]

Точный решатель

Существуют алгоритмы для получения точных решений этой проблемы. Один точный решатель работает вовремя . ^[8]^[9] ${\ Displaystyle п ^ {О ({\ sqrt {k}})}}$

1 + ε приближение

Приближение 1 + ε заключается в нахождении решения с коэффициентом аппроксимации не более 1 + ε . Это приближение NP трудное, поскольку ε произвольно. Предлагается один подход, основанный на концепции ядра, со сложностью исполнения . ^[10] В качестве альтернативы доступен другой алгоритм, также основанный на наборах ядер. Он вбегает . ^[11] Автор утверждает, что время работы намного меньше, чем в худшем случае, и, таким образом, можно решить некоторые проблемы, когда k мало (скажем, k <5). ${\ Displaystyle О (2 ^ {О (к \ журнал к / \ varepsilon ^ {2})} dn)}$ ${\ Displaystyle О (к ^ {п})}$

Кластеризация самой дальней точки

Из-за сложности проблемы получить точное решение или точное приближение нецелесообразно. Вместо этого для больших k случаев широко используется приближение с фактором = 2 . Приближение называется алгоритмом кластеризации самой дальней точки (FPC) или обходом самой дальней точки . ^[6] Алгоритм довольно прост: любая точка из множества выбирается как один центр; поиск самой дальней точки от оставшейся точки, установленной в качестве другого центра; повторять процесс до тех пор, пока не будут найдены k центров.

Легко видеть, что этот алгоритм работает за линейное время. Поскольку доказано, что приближение с коэффициентом меньше 2 является NP трудным, FPC считается лучшим приближением, которое можно найти.

Что касается производительности выполнения, временная сложность позже улучшается до O ( n log k ) с помощью техники декомпозиции ящиков. ^[7]

Расположение объекта Maxmin [ править ]

Задача о местонахождении объекта maxmin или неприятная проблема с расположением объекта заключается в поиске такого места, которое максимально увеличивает минимальное расстояние до объектов. В случае евклидовой метрики она известна как проблема наибольшей пустой сферы . Плоский случай ( проблема с наибольшим пустым кругом ) может быть решен за оптимальное время Θ ( n log n). ^[12]^[13]

Формулировки целочисленного программирования [ править ]

Задачи размещения объектов часто решаются целочисленными программами . В этом контексте проблемы с размещением объектов часто формулируются следующим образом: предположим, что есть предприятия и клиенты. Мы хотим выбрать (1) какое из предприятий открыть и (2) какие (открытые) объекты использовать для снабжения потребителей, чтобы удовлетворить некоторый фиксированный спрос при минимальных затратах. Введем следующие обозначения: пусть обозначает (фиксированную) стоимость открытия объекта , для . Позвольте обозначить стоимость доставки продукта от объекта к покупателю для и . Пусть обозначают спрос клиента на ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ точки, п}$ ${\ displaystyle c_ {ij}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ точки, п}$ ${\ displaystyle j = 1, \ dots, m}$ ${\ displaystyle d_ {j}}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle j = 1, \ dots, m}$ . Далее предположим, что каждое предприятие имеет максимальную производительность. Пусть обозначает максимальное количество продукта, которое может быть произведено на предприятии , то есть пусть обозначает мощность предприятия . Остальная часть этого раздела следует за ^[14] ${\ displaystyle u_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle u_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$

Емкостное расположение объекта [ править ]

В нашей первоначальной формулировке введите двоичную переменную для , где, если предприятие открыто, и в противном случае. Далее введите переменную для и, которая представляет долю спроса, удовлетворяемую учреждением . Тогда так называемая проблема размещения мощностей определяется следующим образом: ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ точки, п}$ ${\ displaystyle x_ {i} = 1}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle x_ {i} = 0}$ ${\ displaystyle y_ {ij}}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ точки, п}$ ${\ displaystyle j = 1, \ dots, m}$ ${\ displaystyle d_ {j}}$ ${\ displaystyle i}$

{\begin{array}{rl}\min &\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}c_{ij}d_{j}y_{ij}+\sum _{i=1}^{n}f_{i}x_{i}\\{\text{s.t.}}&\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{ij}=1{\text{ for all }}j=1,\dots ,m\\&\displaystyle \sum _{j=1}^{m}d_{j}y_{ij}\leqslant u_{i}x_{i}{\text{ for all }}i=1\dots ,n\\&y_{ij}\geqslant 0{\text{ for all }}i=1,\dots ,n{\text{ and }}j=1,\dots ,m\\&x_{i}\in \{0,1\}{\text{ for all }}i=1,\dots ,n\end{array}}

Обратите внимание, что второй набор ограничений гарантирует, что если , то есть объект не открыт, то для всех , то есть ни один из клиентов не может быть удовлетворен из объекта . $x_{i}=0$ $i$ $y_{ij}=0$ $j$ $i$

Неработоспособное расположение объекта [ править ]

Распространенный случай указанной выше проблемы с размещением емкостного оборудования - это когда для всех . В этом случае всегда оптимально удовлетворить весь спрос со стороны заказчика с ближайшего открытого объекта. Из-за этого мы можем заменить непрерывные переменные сверху двоичными переменными , если заказчик предоставляется предприятием , и в противном случае. Uncapacitated задачи размещения затем задается $u_{i}=+\infty$ $i=1,\dots ,n$ $j$ $y_{ij}$ $z_{ij}$ $z_{ij}=1$ $j$ $i$ $z_{ij}=0$

{\begin{array}{rl}\min &\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}c_{ij}d_{j}z_{ij}+\sum _{i=1}^{n}f_{i}x_{i}\\{\text{s.t.}}&\displaystyle \sum _{i=1}^{n}z_{ij}=1{\text{ for all }}j=1,\dots ,m\\&\displaystyle \sum _{j=1}^{m}z_{ij}\leqslant Mx_{i}{\text{ for all }}i=1\dots ,n\\&z_{ij}\in \{0,1\}{\text{ for all }}i=1,\dots ,n{\text{ and }}j=1,\dots ,m\\&x_{i}\in \{0,1\}{\text{ for all }}i=1,\dots ,n\end{array}}

где - константа, выбранная достаточно большой. Выбор может повлиять на результаты вычислений - лучший выбор в этом случае очевиден: взять . Тогда, если любой выбор будет удовлетворять второму набору ограничений. $M$ $M$ $M=m$ $x_{i}=1$ $z_{ij}$

Другая формулировка возможность для uncapacitated задачи размещения состоит в дезагрегации ограничений мощности (big- ограничения). То есть заменить ограничения $M$

\sum _{j=1}^{m}z_{ij}\leqslant Mx_{i}{\text{ for all }}i=1,\dots ,n

с ограничениями

z_{ij}\leqslant x_{i}{\text{ for all }}i=1,\dots ,n{\text{ and }}j=1,\dots ,m

На практике эта новая формулировка работает значительно лучше в том смысле, что она имеет более жесткую релаксацию линейного программирования, чем первая формулировка. ^[14] Обратите внимание, что суммирование новых ограничений дает исходные большие ограничения. В случае с емкостной нагрузкой эти составы не эквивалентны. Более подробную информацию о проблеме размещения неработающих объектов можно найти в главе 3 «Теории дискретного размещения». ^[15]

M

Приложения [ править ]

Здравоохранение [ править ]

В сфере здравоохранения неправильные решения о местонахождении медицинского учреждения имеют серьезное влияние на общество, помимо простых показателей стоимости и услуг; например, труднодоступные медицинские учреждения могут быть связаны с повышением заболеваемости и смертности. С этой точки зрения моделирование местоположения учреждения для здравоохранения более важно, чем аналогичное моделирование для других областей. ^[16]

Управление твердыми отходами [ править ]

Управление твердыми бытовыми отходами по-прежнему остается проблемой для развивающихся стран из-за увеличения образования отходов и высоких затрат, связанных с управлением отходами. За счет постановки и точного решения проблемы размещения объекта можно оптимизировать размещение полигонов для захоронения отходов. ^[17]

Кластеризация [ править ]

Определенное подмножество задач кластерного анализа можно рассматривать как проблемы размещения производственных мощностей. В задаче кластеризации на основе центроидов цель состоит в том, чтобы разделить точки данных (элементы общего метрического пространства) на классы эквивалентности - часто называемые цветами - таким образом, чтобы точки одного цвета были близки друг к другу (что эквивалентно, так что точки разные цвета далеки друг от друга). ^[18] $n$

Чтобы увидеть, как можно рассматривать (читай «преобразовать» или «уменьшить») проблему кластеризации на основе центроидов как (метрическую) проблему местоположения объекта, рассмотрите каждую точку данных в первом как точку спроса во втором. Предположим, что данные, подлежащие кластеризации, являются элементами метрического пространства (например, пусть будет -мерное евклидово пространство для некоторого фиксированного ). В задаче размещения объектов, которую мы строим, мы разрешаем размещать объекты в любой точке этого метрического пространства ; это определяет набор разрешенных местоположений объектов . Мы определяем затраты как попарные расстояния между парами точек спроса и местоположения (например, см. Метрический k-центр ). В задаче кластеризации на основе центроидов данные разбиваются на $M$ $M$ $p$ $p$ $M$ $L$ $c_{\ell ,d}$ $k$ классы эквивалентности (т.е. цвета), каждый из которых имеет центроид. Давайте посмотрим, как решение нашей проблемы размещения построенного объекта также достигает такого разделения. Допустимое решение является непустое подмножество из местоположений. Эти местоположения в нашей задаче размещения объектов составляют набор центроидов в нашей задаче кластеризации на основе центроидов. Теперь назначьте каждую точку спроса местоположению, которое минимизирует затраты на обслуживание; то есть назначить точку данных центроиду (произвольно разорвать связи). Таким образом достигается разделение при условии, что затраты задачи определения местоположения оборудования определены так, что они являются изображениями функции расстояния задачи кластеризации на основе центроидов. $L'\subseteq L$ $k$ $k$ $d$ $\ell ^{*}$ $d$ $\ell ^{*}:=\mathrm {arg\,min} _{\ell \in L}\{c_{\ell ,d}\}$ $c_{\ell ,d}$

Популярный учебник по алгоритмам Algorithm Design ^[19] предоставляет описание связанной проблемы и приближенный алгоритм. Авторы называют метрическую проблему местоположения объекта (то есть проблему кластеризации на основе центроидов или метрическую проблему центра ) как проблему выбора центра , тем самым увеличивая список синонимов. $k$

Кроме того, обратите внимание на то, что в приведенном выше определении проблемы размещения предприятия целевая функция является общей. Конкретный выбор приводит к различным вариантам задачи размещения предприятия и, следовательно, к различным вариантам задачи кластеризации на основе центроидов. Например, можно выбрать минимизацию суммы расстояний от каждого местоположения до каждой из назначенных ему точек спроса (как проблема Вебера ), или можно выбрать минимизацию максимума всех таких расстояний (как задача с одним центром ). $f$ $f$

См. Также [ править ]

Центр графика
Квадратичная задача о назначении
Размещение-распределение
Алгоритм Дейкстры
Список программного обеспечения для пространственного анализа
Соревновательная игра по поиску объектов
Задача вершинного k-центра

Ссылки [ править ]

^ Hochbaum, DS (1982). «Эвристика для решения проблемы медианы фиксированной стоимости». Математическое программирование . 22 : 148–162. DOI : 10.1007 / BF01581035 .
^ Гуха, S .; Хуллер, С. (1999). «Жадный ответный удар: улучшенные алгоритмы определения местоположения объекта». Журнал алгоритмов . 31 : 228–248. CiteSeerX 10.1.1.47.2033 . DOI : 10.1006 / jagm.1998.0993 .
^ Ли, С. (2011). «Алгоритм аппроксимации 1.488 для проблемы размещения неработающих производственных объектов». Автоматы, языки и программирование . LNCS . 6756 . С. 77–88. CiteSeerX 10.1.1.225.6387 . DOI : 10.1007 / 978-3-642-22012-8_5 . ISBN 978-3-642-22011-1.
^ Фаулер, RJ; Патерсон, MS; Танимото, С.Л. (1981), «Оптимальная упаковка и покрытие в плоскости являются NP-полными», Информационные письма , 12 (3): 133–137, DOI : 10.1016 / 0020-0190 (81) 90111-3.
↑ Мегиддо, Нимрод ; Тамир, Арье (1982), "О сложности размещения линейных объектов в плоскости" (PDF) , операции Research Letters , 1 (5): 194-197, DOI : 10,1016 / 0167-6377 (82) 90039-6 .
^ a b c Гонсалес, Теофило (1985), «Кластеризация для минимизации максимального межкластерного расстояния» (PDF) , Теоретическая информатика , 38 : 293–306, DOI : 10.1016 / 0304-3975 (85) 90224-5 , заархивировано из оригинал (PDF) от 24.01.2013 .
^ a b Федер, Томас; Грин, Даниэль (1988), «Оптимальные алгоритмы приближенной кластеризации» , Труды Двадцатой Ежегодного ACM симпозиума по теории вычислений : 434-444, DOI : 10,1145 / 62212,62255 , ISBN 0897912640
^ HWang, RZ; Ли, РКИ; Чанг, Р.К. (1993), "Подход к разделению плиты для решения проблемы евклидова p-центра", Algorithmica , 9 (1): 1–22, doi : 10.1007 / BF01185335
^ HWang, RZ; Чанг, RC; Ли, RCT (1993), "Обобщенная стратегия поиска по разделителям для решения некоторых NP-трудных задач в субэкспоненциальное время", Algorithmica , 9 (4): 398–423, doi : 10.1007 / bf01228511
^ Bādoiu Михай; Хар-Пелед, Сариэль ; Индика, Петр (2002), «Приближенный кластеризация с помощью ключевых наборов» (PDF) , Труды тридцать четвертого ежегодного ACM симпозиума по теории вычислений : 250-257, DOI : 10,1145 / 509907,509947 , ISBN 1581134959
^ Кумар, Панкадж; Кумар, Пиюш (2010), "Почти оптимальные решения для K-кластеризации проблемы" (PDF) , Международный журнал вычислительной геометрии и приложений , 20 (4): 431-447, DOI : 10,1142 / S0218195910003372
^ Франко П. Препарата и Майкл Ян Шамос (1985). Вычислительная геометрия - Введение . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96131-6. 1-е издание; 2-е издание, исправленное и расширенное, 1988 г .; Русский перевод, 1989., стр. 256
^ GT Toussaint, "Вычисление самых больших пустых кругов с ограничениями местоположения", Международный журнал компьютерных и информационных наук , вып. 12, № 5, октябрь 1983 г., стр. 347–358.
^ a b Конфорти, Микеле; Корнежоль, Жерар; Замбелли, Джакомо (2014). Целочисленное программирование | SpringerLink . Тексты для выпускников по математике. 271 . DOI : 10.1007 / 978-3-319-11008-0 . ISBN 978-3-319-11007-3.
^ Теория дискретного размещения . Мирчандани, Питу Б., Фрэнсис, Р.Л. Нью-Йорк: Wiley. 1990. ISBN. 9780471892335. OCLC 19810449 .CS1 maint: others (link)
^ Ахмади-Джавид, А .; Seyedi, P .; Сям, С. (2017). «Обследование месторасположения лечебного учреждения». Компьютеры и исследования операций . 79 : 223–263. DOI : 10.1016 / j.cor.2016.05.018 .
^ Франко, DGB; Штайнер, MTA; Ассеф, FM (2020). «Оптимизация разделения мусорных свалок в штате Парана, Бразилия». Журнал чистого производства . 283 . DOI : 10.1016 / j.jclepro.2020.125353 .
^ Хасти, Тревор; Тибширани, Роберт; Фридман, Джером (2009). Элементы статистического обучения (Второе изд.). Springer.
^ Клейнберг, Джон; Тардос, Ива (2006). Разработка алгоритмов . Пирсон.

Внешние ссылки [ править ]

Рабочая группа EWGLA EURO по локационному анализу .
Раздел ИНФОРМАЦИЯ по анализу местоположения , профессиональное сообщество, занимающееся местоположением объекта.
Библиография по местонахождению объекта, собранная Тревором Хейлом , содержит более 3400 статей.
Библиотека алгоритмов локации
Веб-утилита для определения местоположения объекта (одно предприятие)
Оптимизатор местоположения объектов, основанный на MATLAB инструмент для решения проблем размещения объектов.

[1] Hochbaum, DS (1982). «Эвристика для решения проблемы медианы фиксированной стоимости». Математическое программирование . 22 : 148–162. DOI : 10.1007 / BF01581035 .

[2] Гуха, S .; Хуллер, С. (1999). «Жадный ответный удар: улучшенные алгоритмы определения местоположения объекта». Журнал алгоритмов . 31 : 228–248. CiteSeerX 10.1.1.47.2033 . DOI : 10.1006 / jagm.1998.0993 .

[3] Ли, С. (2011). «Алгоритм аппроксимации 1.488 для проблемы размещения неработающих производственных объектов». Автоматы, языки и программирование . LNCS . 6756 . С. 77–88. CiteSeerX 10.1.1.225.6387 . DOI : 10.1007 / 978-3-642-22012-8_5 . ISBN 978-3-642-22011-1.

[4] Фаулер, RJ; Патерсон, MS; Танимото, С.Л. (1981), «Оптимальная упаковка и покрытие в плоскости являются NP-полными», Информационные письма , 12 (3): 133–137, DOI : 10.1016 / 0020-0190 (81) 90111-3.

[5] Мегиддо, Нимрод ; Тамир, Арье (1982), "О сложности размещения линейных объектов в плоскости" (PDF) , операции Research Letters , 1 (5): 194-197, DOI : 10,1016 / 0167-6377 (82) 90039-6 .

[Gonzalez1985-6] Гонсалес, Теофило (1985), «Кластеризация для минимизации максимального межкластерного расстояния» (PDF) , Теоретическая информатика , 38 : 293–306, DOI : 10.1016 / 0304-3975 (85) 90224-5 , заархивировано из оригинал (PDF) от 24.01.2013 .

[Feder1988-7] Федер, Томас; Грин, Даниэль (1988), «Оптимальные алгоритмы приближенной кластеризации» , Труды Двадцатой Ежегодного ACM симпозиума по теории вычислений : 434-444, DOI : 10,1145 / 62212,62255 , ISBN 0897912640

[8] HWang, RZ; Ли, РКИ; Чанг, Р.К. (1993), "Подход к разделению плиты для решения проблемы евклидова p-центра", Algorithmica , 9 (1): 1–22, doi : 10.1007 / BF01185335

[9] HWang, RZ; Чанг, RC; Ли, RCT (1993), "Обобщенная стратегия поиска по разделителям для решения некоторых NP-трудных задач в субэкспоненциальное время", Algorithmica , 9 (4): 398–423, doi : 10.1007 / bf01228511

[10] Bādoiu Михай; Хар-Пелед, Сариэль ; Индика, Петр (2002), «Приближенный кластеризация с помощью ключевых наборов» (PDF) , Труды тридцать четвертого ежегодного ACM симпозиума по теории вычислений : 250-257, DOI : 10,1145 / 509907,509947 , ISBN 1581134959

[11] Кумар, Панкадж; Кумар, Пиюш (2010), "Почти оптимальные решения для K-кластеризации проблемы" (PDF) , Международный журнал вычислительной геометрии и приложений , 20 (4): 431-447, DOI : 10,1142 / S0218195910003372

[ps256-12] Франко П. Препарата и Майкл Ян Шамос (1985). Вычислительная геометрия - Введение . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96131-6. 1-е издание; 2-е издание, исправленное и расширенное, 1988 г .; Русский перевод, 1989., стр. 256

[13] GT Toussaint, "Вычисление самых больших пустых кругов с ограничениями местоположения", Международный журнал компьютерных и информационных наук , вып. 12, № 5, октябрь 1983 г., стр. 347–358.

[:0-14] Конфорти, Микеле; Корнежоль, Жерар; Замбелли, Джакомо (2014). Целочисленное программирование | SpringerLink . Тексты для выпускников по математике. 271 . DOI : 10.1007 / 978-3-319-11008-0 . ISBN 978-3-319-11007-3.

[15] Теория дискретного размещения . Мирчандани, Питу Б., Фрэнсис, Р.Л. Нью-Йорк: Wiley. 1990. ISBN. 9780471892335. OCLC 19810449 .CS1 maint: others (link)

[Ahmadi-16] Ахмади-Джавид, А .; Seyedi, P .; Сям, С. (2017). «Обследование месторасположения лечебного учреждения». Компьютеры и исследования операций . 79 : 223–263. DOI : 10.1016 / j.cor.2016.05.018 .

[17] Франко, DGB; Штайнер, MTA; Ассеф, FM (2020). «Оптимизация разделения мусорных свалок в штате Парана, Бразилия». Журнал чистого производства . 283 . DOI : 10.1016 / j.jclepro.2020.125353 .

[18] Хасти, Тревор; Тибширани, Роберт; Фридман, Джером (2009). Элементы статистического обучения (Второе изд.). Springer.

[19] Клейнберг, Джон; Тардос, Ива (2006). Разработка алгоритмов . Пирсон.

[1]