Поверхность Фано

В алгебраической геометрии поверхностью Фано называется поверхность общего типа (в частности, не многообразие Фано ), точки которой индексируют прямые на неособом кубическом трехмерном многообразии . Впервые они были изучены Фано  ( 1904 ).

Алмаз Ходжа:

Поверхности Фано, пожалуй, самые простые и наиболее изученные примеры неправильных поверхностей общего типа, не связанных с произведением двух кривых и не являющихся полным пересечением дивизоров в абелевом многообразии.

Поверхность Фано S гладкого кубического трехмерного многообразия F в P ⁴ обладает многими замечательными геометрическими свойствами. Поверхность S естественным образом вкладывается в грассманиан прямых G(2,5) P ⁴ . Пусть U — ограничение на S универсального расслоения ранга 2 на G. Имеем:

Теорема о касательном расслоении ( Фано , Клеменс - Гриффитс , Тюрин): Касательное расслоение к S изоморфно U.

Это довольно интересный результат, поскольку априори между этими двумя связками не должно быть никакой связи. Он имеет много мощных приложений. Например, можно восстановить тот факт, что кокасательное пространство S порождается глобальными сечениями. Это пространство глобальных 1-форм можно отождествить с пространством глобальных сечений линейного тавтологического расслоения O(1), ограниченного на кубическое F, и более того:

Теорема типа Торелли. Пусть g' — естественный морфизм из S в грассманиан G(2,5), определяемый кокасательным пучком S, порожденным его 5-мерным пространством глобальных сечений. Пусть F' — объединение прямых, соответствующих g'(S). Трехмерное многообразие F' изоморфно F.

Таким образом, зная поверхность Фано S, мы можем восстановить трехмерное многообразие F. По теореме о касательном расслоении мы также можем геометрически понять инварианты S:

а) Напомним, что вторым числом Черна векторного расслоения ранга 2 на поверхности является число нулей общего сечения. Для поверхности Фано S 1-форма w определяет также гиперплоское сечение {w=0} в P ⁴ кубики F. Нули общей w на S взаимно однозначно соответствуют числам прямых пересечения гладкой кубической поверхности из {w=0} и F, поэтому мы получаем, что второй класс Черна для S равен 27.

б) Пусть w1 , w2 — _{две 1 -формы на S. Канонический дивизор K на S, ассоциированный} с канонической формой _w1 ∧ w2 , параметризует прямые на F, пересекающие плоскость P _{= {} w1 = w2 ₌ 0} в P ⁴ . Используя w ₁ и w ₂ такие, что пересечение P и F является объединением 3 прямых, можно восстановить тот факт, что K ² =45. Приведем некоторые детали этого вычисления: Через общую точку кубика F проходит 6 прямых. Пусть s — точка S, и пусть L _sбыть соответствующей линии на кубический F. Пусть С _с дивизор на S параметризующих линий, вырезанных линия л _ы . Самопересечение C _s равно числу пересечений C _s и C _t для общей точки. Пересечение С _с и С _т есть множество прямых на F , что режет непересекающиеся линии L _сек и L _т . Рассмотрим линейную оболочку L _s и L _t  : это гиперплоскость в P ⁴который разрезает F на гладкую кубическую поверхность. Согласно хорошо известным результатам о кубической поверхности, количество прямых, пересекающих две непересекающиеся прямые, равно 5, поэтому мы получаем ( C _s ) ² = C _s C _t = 5. Так как K численно эквивалентен 3 C _s , мы получаем K ² =45.

в) Естественное составное отображение: S -> G(2,5) -> P9 есть ^{каноническое} отображение S. Это вложение.

Смотрите также

• Теория Ходжа

использованная литература

• Бомбьери, Энрико ; Суиннертон-Дайер, HPF (1967), «О локальной дзета-функции трехмерного кубического многообразия» , Ann. Скуола Норм. Как дела. Пиза (3) , 21 : 1–29, MR  0212019
• Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филипп А. (1972), «Промежуточный якобиан кубического тройного многообразия », Annals of Mathematics , Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX  10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307/1970801 , ISSN  0003 -486X , JSTOR  1970801 , MR  0302652
• Фано, Г. (1904), «Sul sisteme ∞ ² di rette contenuto in une varietà cubeca generale dello spacio a quattro Dimensi», Atti R. Accad. науч. Турин , 39 : 778–792
• Куликов, Вик.С. (2001) [1994], «Поверхность Фано» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Мурре, Дж. П. (1972), «Алгебраическая эквивалентность по модулю рациональной эквивалентности на трехмерном кубическом многообразии» , Compositio Mathematica , 25 : 161–206, ISSN  0010-437X , MR  0352088