Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гексафлексагон, показанный с одной и той же гранью в двух конфигурациях.
Гексафлексагон, показанный с одной и той же гранью в двух конфигурациях.

В геометрии , flexagons являются плоские модели, как правило , изготовленные путем складывания полоски бумаги, которые могут быть сгибаемые или сложенные определенным образом для выявления лиц , кроме двух , которые первоначально находились на передней и задней.

Флексагоны обычно квадратные или прямоугольные ( тетрафлексагоны ) или шестиугольные ( гексафлексагоны ). К имени можно добавить префикс, чтобы указать количество граней, которые может отображать модель, включая две грани (заднюю и переднюю), которые видны до изгиба. Например, шестиугольник с шестью гранями называется шестиугольником .

В теории hexaflexagon (то есть, в отношении flexagons с шести сторон), flexagons обычно определяются в терминах поглаживания . [1] [2]

Два флексагона эквивалентны, если один может быть преобразован в другой с помощью серии защемлений и вращений. Эквивалентность Flexagon - это отношение эквивалентности . [1]

История [ править ]

Открытие и введение [ править ]

Открытие первого флексагона, тригексафлексагона, приписывают британскому математику Артуру Х. Стоуну , когда он был студентом Принстонского университета в США в 1939 году. Его новая американская статья не помещалась в его английский переплет, поэтому он отрезал концы бумаги и начал складывать их в разные формы. [3] Один из них образовал тригексафлексагон. Коллеги Стоуна Брайант Такерман , Ричард Фейнман и Джон Тьюки заинтересовались этой идеей и сформировали Принстонский комитет Flexagon. Такерман разработал топологический метод, названный траверсом Такермана, для выявления всех граней флексагона. [4] Траверсы Такермана показаны в виде диаграммы.

Флексагоны были представлены широкой публике Мартином Гарднером в декабрьском выпуске журнала Scientific American за 1956 г. в статье, столь хорошо принятой, что она положила начало колонке Гарднера «Математические игры», которая затем шла в этом журнале в течение следующих двадцати пяти лет. [3] [5] В 1974 году фокусник Дуг Хеннинг включил гексафлексагон «сконструируй сам» с оригинальной записью бродвейского шоу «Волшебное шоу» .

Попытка коммерческого развития [ править ]

В 1955 году Рассел Роджерс и Леонард Д'Андреа из Хомстед-Парка, штат Пенсильвания, подали заявку на патент, а в 1959 году им был предоставлен патент США № 2883195 на гексагексафлексагон под названием «Сменные развлекательные устройства и тому подобное».

В их патенте предполагалось возможное применение устройства «в качестве игрушки, устройства отображения рекламы или учебного геометрического устройства». [6] Несколько таких новинок было выпущено Herbick & Held Printing Company , полиграфической компанией в Питтсбурге, где работал Роджерс, но устройство, продаваемое как Hexmo, не прижилось.

Разновидности [ править ]

Тетрафлексагоны [ править ]

Тритетрафлексагон [ править ]

Тритетрафлексагон можно сложить из полосы бумаги, как показано на рисунке.
У этой фигуры видны две грани, построенные из квадратов, отмеченных буквами A s и B s. Грань C s скрыта внутри флексагона.

Тритетрафлексагон - это простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными сторонами). «Три» в названии означает, что у него три грани, две из которых видны в любой момент времени, если флексагон прижат ровно. Конструкция тритетрафлексагона аналогична механизму, который используется в традиционной детской игрушке «Лестница Иакова », в «Магии Рубика», а также в фокусе с волшебным кошельком или кошельке Химбер .

У тритетрафлексагона есть два тупика, в которых нельзя прогнуться вперед. Чтобы перейти к другому лицу, вы должны либо согнуть назад, либо перевернуть флексагон.

Траверс тритетрафлексагона

Гексатетрафлексагон [ править ]

Более сложный циклический гексатетрафлексагон не требует склеивания. Циклический гексатетрафлексагон не имеет «тупиков», но человек, который его делает, может складывать его, пока не достигнет исходного положения. Если стороны окрашиваются в процессе, состояния можно увидеть более четко.

Гексатетрафлексагон траверс

В отличие от тритетрафлексагона, у гексатетрафлексагона нет тупиков, и его никогда не нужно сгибать назад.

Гексафлексагоны [ править ]

Гексафлексагоны бывают самых разнообразных, различающихся количеством граней, которые можно получить, сгибая собранную фигуру.

Trihexaflexagon [ править ]

Этот шаблон trihexaflexagon показывает 3 цвета из 9 треугольников, напечатанных на одной стороне и сложенных для раскрашивания с обеих сторон. Два желтых треугольника на концах будут скотчем. Красные и синие дуги выглядят как полные круги на внутренней стороне одной или другой стороны в сложенном виде.

Гексафлексагон с тремя гранями - самый простой из шестиугольников в изготовлении и управлении, он состоит из единой полосы бумаги, разделенной на девять равносторонних треугольников. (Некоторые выкройки содержат десять треугольников, два из которых склеиваются при окончательной сборке.)

Для сборки полоса складывается каждый третий треугольник, соединяясь обратно с собой после трех переворотов в соответствии с международным символом утилизации . Таким образом получается лента Мебиуса , единственный край которой образует узел-трилистник .

Hexahexaflexagon [ править ]

У этого шестиугольника шесть граней. Он состоит из девятнадцати треугольников, сложенных из полоски бумаги.

На фотографиях 1-6 ниже показана конструкция шестиугольника, сделанного из картонных треугольников, на основе из полоски ткани. Он был оформлен в шести цветах; оранжевый, синий и красный на рисунке 1 соответствуют 1, 2 и 3 на диаграмме выше. Противоположная сторона, цифра 2, украшена пурпурным, серым и желтым цветами. Обратите внимание на разные узоры, используемые для цветов с двух сторон. На рисунке 3 показана первая складка, а на рисунке 4 - результат первых девяти складок, которые образуют спираль. На рисунках 5-6 показано окончательное загибание спирали в шестиугольник; на 5 две красные грани были скрыты складкой долины, а на 6 две красные грани на нижней стороне были скрыты горной складкой. После рисунка 6 последний свободный треугольник загибается и прикрепляется к другому концу исходной полосы так, чтобы одна сторона была синей, а другая - оранжевой.

На фотографиях 7 и 8 показан процесс выворачивания шестиугольника, чтобы показать ранее скрытые красные треугольники. Дальнейшими манипуляциями можно выставить все шесть цветов. Лица 1, 2 и 3 найти легче, а лица 4, 5 и 6 найти труднее. Простой способ показать все шесть граней - использовать траверс Такермана. Он назван в честь Брайанта Такермана, одного из первых исследователей свойств гексафлексагонов. Траверс Такермана включает в себя повторяющееся изгибание, зажимая один угол и каждый раз изгибаясь точно в одном и том же углу. Если угол не открывается, перейдите в соседний угол и продолжайте сгибать. Эта процедура подводит вас к циклу из 12 лиц. Однако во время этой процедуры 1, 2 и 3 появляются в три раза чаще, чем 4, 5 и 6. Цикл протекает следующим образом:

1-3-6-1-3-2-4-3-2-1-5-2

А потом снова вернемся к 1.

Каждый цвет / лицо также можно экспонировать более чем одним способом. На рисунке 6, например, каждый синий треугольник имеет в центре его угол, украшенный клином, но также возможно, например, сделать так, чтобы треугольники, украшенные Y, приходили в центр. Существует 18 таких возможных конфигураций треугольников разного цвета, и их можно увидеть, согнув гексагексафлексагон всеми возможными способами в теории, но только 15 могут быть согнуты обычным гексагексафлексагоном. 3 дополнительные конфигурации невозможны из-за расположения плиток 4, 5 и 6 на задней крышке. (Углы в 60 градусов в ромбах, образованных соседними 4, 5 или 6 плитками, появятся только по бокам и никогда не появятся в центре, потому что потребуется разрезать полоску, что топологически запрещено.)

Гексагексафлексагоны можно построить из сеток различной формы из восемнадцати равносторонних треугольников. Один гексагексафлексагон, состоящий из неровной бумажной полосы, почти идентичен показанному выше, за исключением того, что все 18 конфигураций могут быть изогнуты в этой версии.

Другие гексафлексагоны [ править ]

В то время как наиболее часто встречающиеся гексафлексагоны имеют три или шесть граней, существуют вариации с любым количеством граней. Прямые полосы образуют гексафлексагоны с числом граней, кратным трем. Другие числа получены из непрямых полос, которые представляют собой просто прямые полосы с некоторыми загнутыми стыками, исключая некоторые грани. Многие полосы можно складывать по-разному, получая разные гексафлексагоны с разными картами складывания.


Флексагоны высшего порядка [ править ]

Правый октафлексагон и правый додекафлексагон [ править ]

В этих недавно обнаруженных флексагонах каждая квадратная или равносторонняя треугольная грань обычного флексагона дополнительно разделена на два прямоугольных треугольника, что обеспечивает дополнительные режимы изгиба. [7] Разделение квадратных граней тетрафлексагонов на прямоугольные равнобедренные треугольники дает октафлексагоны, [8] а разделение треугольных граней шестиугольников на 30-60-90 прямоугольных треугольников дает додекафлексагоны. [9]

Пентафлексагон и правый декафлексагон [ править ]

В плоском состоянии пятиугольник очень похож на логотип Chrysler : правильный пятиугольник, разделенный от центра на пять равнобедренных треугольников с углами 72-54-54. Из-за своей пятисторонней симметрии пятиугольник нельзя сложить пополам. Однако сложная серия изгибов приводит к его преобразованию от отображения первой и второй сторон спереди и сзади к отображению его ранее скрытых сторон третьей и четвертой. [10]

Дальнейшее деление 72-54-54 треугольников пятиугольника на 36-54-90 прямоугольных треугольников дает один вариант 10-стороннего декафексагона. [11]

Обобщенный равнобедренный n-флексагон [ править ]

Пентафлексагон - это один из бесконечной последовательности флексагонов, основанный на делении правильного n -угольника на n равнобедренных треугольников. Другие флексагоны включают гептафлексагон [12], равнобедренный октафлексагон [13], эннеафлексагон [14] и другие.

Непланарный пятиугольник и неплоский семиугольник [ править ]

Гарольд В. Макинтош также описывает «неплоские» флексагоны (т. Е. Те, которые нельзя согнуть, поэтому они лежат плоско); те , сложенные из пятиугольников называемых pentaflexagons , [15] и от семиугольников называемого heptaflexagons . [16]

В популярной культуре [ править ]

Флексагоны также являются популярной книжной структурой, используемой создателями книг художников, такими как Джули Чен ( Жизненный цикл ) и Эдвард Х. Хатчинс ( Альбом и Voces de México ). Инструкции по изготовлению тетра-тетра-флексагона и кросс-флексагона включены в « Изготовление книг ручной работы: 100+ переплетов, структур и форм » Алисы Голден. [17]

Гексафлексагон высокого порядка использовался в качестве элемента сюжета в романе Пирса Энтони 0X , в котором изгиб был аналогичен путешествию между альтернативными вселенными. [18]

Пользователь YouTube Ви Харт сняла видеоролики о гексафлексагонах и, вероятно, сделала их более популярными. [19]

См. Также [ править ]

  • Дерево Кэли
  • Геометрическая теория групп
  • Калейдоцикл

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Окли, Колорадо; Wisner, RJ (март 1957 г.). «Флексагоны». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 64 (3): 143–154. DOI : 10.2307 / 2310544 . JSTOR  2310544 .
  2. ^ Андерсон, Томас; Маклин, Т. Брюс; Паджухеш, Хомейра; Смит, Чейзен (январь 2010 г.). «Комбинаторика всех правильных флексагонов» . Европейский журнал комбинаторики . 31 (1): 72–80. DOI : 10.1016 / j.ejc.2009.01.005 .
  3. ^ a b Гарднер, Мартин (декабрь 1956 г.). «Флексагоны». Scientific American . Vol. 195 нет. 6. С. 162–168. DOI : 10.1038 / Scientificamerican1256-162 . OCLC 4657622161 . 
  4. ^ Гарднер, Мартин (1988). Гексафлексагоны и другие математические отклонения: первая научная американская книга головоломок и игр . Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-28254-6.
  5. ^ Мулкахи, Колм (21 октября 2014). «10 лучших статей Мартина Гарднера в Scientific American» . Scientific American .
  6. ^ Роджерс, Рассел Э .; Андреа, Леонард DL (21 апреля 1959 г.). «Сменные аттракционы и тому подобное» (PDF) . Freepatentsonline.com . Патент США 2883195 . Проверено 13 января 2011 года .
  7. ^ Шварц, Энн (2005). «Flexagon Discovery: 12-угольник, меняющий форму» . Eighthsquare.com . Проверено 26 октября 2012 года .
  8. ^ Шерман, Скотт (2007). «Октафлексагон» . Loki3.com . Проверено 26 октября 2012 года .
  9. ^ Шерман, Скотт (2007). «Додекафлексагон» . Loki3.com . Проверено 26 октября 2012 года .
  10. ^ Шерман, Скотт (2007). «Пентафлексагон» . Loki3.com . Проверено 26 октября 2012 года .
  11. ^ Шерман, Скотт (2007). «Декафлексагон» . Loki3.com . Проверено 26 октября 2012 года .
  12. ^ Шерман, Скотт (2007). «Гептафлексагон» . Loki3.com . Проверено 26 октября 2012 года .
  13. ^ Шерман, Скотт (2007). «Октафлексагон: Равнобедренный октафлексагон» . Loki3.com . Проверено 26 октября 2012 года .
  14. ^ Шерман, Скотт (2007). "Эннеафлексагон: Равнобедренный эннеафлексагон" . Loki3.com . Проверено 26 октября 2012 года .
  15. ↑ Макинтош, Гарольд В. (24 августа 2000 г.). «Пятиугольные флексагоны» . Cinvestav.mx . Автономный университет Пуэблы . Проверено 26 октября 2012 года .
  16. ↑ Макинтош, Гарольд В. (11 марта 2000 г.). «Шестиугольные флексагоны» . Cinvestav.mx . Автономный университет Пуэблы . Проверено 26 октября 2012 года .
  17. ↑ Golden, Алиса Дж. (2011). Изготовление книг ручной работы: более 100 переплетов, структур и форм . Ремесла Жаворонка. С.  130 , 132–133. ISBN 978-1-60059-587-5.
  18. ^ Коллингс, Майкл Р. (1984). Пирс Энтони . Руководство для читателей Стармонта №20. Borgo Press. С. 47–48. ISBN 0-89370-058-4.
  19. ^ Лэмб, Эвелин. «Flexagon, но не забытый: празднование дня рождения Мартина Гарднера» . Сеть блогов Scientific American . Проверено 12 мая, 2020 .

Библиография [ править ]

  • Митчелл, Дэвид (2000). Магия флексагонов - раритеты из бумаги, которые можно вырезать и создавать . Тарквин. ISBN 1-899618-28-7.
  • Пок, Лес (2009). Серьезное развлечение с Flexagons, компендиумом и руководством . Springer. ISBN 978-90-481-2502-9.
  • Пок, Лес (2006). Флексагоны наизнанку . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-81970-9.
  • Мартин Гарднер написал прекрасное введение в гексафлексагоны в декабрьской 1956 г. колонке « Математические игры» в журнале Scientific American . Он также появляется в:
    • Книга математических головоломок и отговорок "Scientific American" . Саймон и Шустер. 1959 г.
    • Гексафлексагоны и другие математические отклонения: первая книга головоломок и игр "Scientific American" . Издательство Чикагского университета. 1988. ISBN. 0-226-28254-6.
    • Колоссальная книга математики . WW Norton & Co. 2001. ISBN 0-393-02023-1.
    • Гексафлексагоны, парадоксы вероятностей и Ханойская башня: первая книга математических головоломок и игр Мартина Гарднера . Издательство Кембриджского университета. 2008. ISBN 978-0-521-73525-4.
    • Гарднер, Мартин (январь 2012 г.). «Гексафлексагоны». Журнал математики колледжа . 43 (1): 2–5. DOI : 10,4169 / college.math.j.43.1.002 . JSTOR  10.4169 / college.math.j.43.1.002 . В выпуске также есть еще одна статья Пука и одна Якоба, Маклина и Хуа.

Внешние ссылки [ править ]

  • Мои впечатления от Flexagon Гарольда В. Макинтоша - содержит историческую информацию и теорию
  • Портал Flexagon  - на сайте Робина Мозли есть шаблоны для большого разнообразия флексагонов.
  • Флексагоны
  • Флексагоны  - сайт Скотта Шермана с множеством флексагонов разной формы.
  • Страница MathWorld о тетрафлексагонах , включая три сети
  • Flexagons  - статья 1962 года Энтони С. Конрада и Дэниела К. Хартлайна (RIAS)
  • Запись MathWorld на Hexaflexagons
  • Ютака Нишияма (2010). "Общее решение для множественных складок шестиугольников" IJPAM, Vol. 58, No. 1, 113-124. «19 граней флексагонов»
  • Видео Vi Hart на Hexaflexagons, часть 1, часть 2