Динамика полета (самолет)

В ведущем разделе этой статьи может не быть адекватного резюмирования ее содержания . Чтобы соответствовать рекомендациям Википедии по разделу лидов , рассмотрите возможность изменения лида, чтобы обеспечить доступный обзор ключевых моментов статьи таким образом, чтобы он мог стоять сам по себе как краткая версия статьи. ( Июль 2018 г. )

Динамика полета - это наука об ориентации и управлении воздушным транспортным средством в трех измерениях. Три критических параметра динамики полета - это углы поворота в трех измерениях относительно центра тяжести транспортного средства (cg), известные как тангаж , крен и рыскание .

Системы управления регулируют ориентацию автомобиля относительно его центра тяжести. Система управления включает в себя поверхности управления, которые при отклонении создают момент (или пару от элеронов) вокруг ЦТ, который вращает самолет по тангажу, крену и рысканью. Например, момент тангажа возникает из-за силы, приложенной на расстоянии вперед или назад от центра тяжести, заставляя самолет подниматься или опускаться по тангажу.

Крен, тангаж и рыскание относятся к поворотам вокруг соответствующих осей, начиная с определенного устойчивого состояния равновесия полета . Угол равновесного крена известен как уровень крыльев или нулевой угол крена.

Наиболее распространенное авиационное соглашение определяет крен как действие относительно продольной оси, положительное с правым (правым) крылом вниз. Рыскание относительно вертикальной оси корпуса положительно, носом вправо. Шаг вокруг оси, перпендикулярной продольной плоскости симметрии, положительным носом вверх. ^[1]

А самолетов увеличивает или уменьшает подъемную силу, порожденную крыльями , когда он Смолы нос вверх или вниз путем увеличения или уменьшения угла атаки (АОА). Угол крена также известен как угол крена на самолете с неподвижным крылом, который обычно «крен», чтобы изменить горизонтальное направление полета. Самолет имеет обтекаемую форму от носа до хвоста для уменьшения лобового сопротивления, что позволяет поддерживать угол бокового скольжения близким к нулю, хотя самолет может намеренно «скользить в сторону» для увеличения лобового сопротивления и скорости снижения во время посадки, чтобы самолет оставался таким же, как курс взлетно-посадочной полосы во время пересечения. -ветровые посадки и при полете с несимметричной мощностью. ^[2]

подача

рулон

определение угла рыскания или курса ^[3]

определение угла тангажа ^[3]

определение угла крена ^[3]

Введение [ править ]

Справочные рамки [ править ]

Три правшей , декартовой системы см частое использование в динамике полета. Первая система координат имеет начало координат, зафиксированное в системе отсчета Земли:

• Земляной каркас
  • Начало координат - произвольное, фиксированное относительно поверхности Земли.
  • ось x _E - положительная в направлении на север
  • ось y _E - положительная в направлении на восток
  • ось z _E - положительна по направлению к центру Земли

Во многих приложениях динамики полета предполагается, что земная рамка является инерциальной с плоской плоскостью x _E , y _E , хотя земную рамку также можно рассматривать как сферическую систему координат с началом в центре Земли.

Две другие системы отсчета закреплены на теле, их исходные точки перемещаются вместе с летательным аппаратом, обычно в центре тяжести. Для самолета, симметричного справа налево, кадры могут быть определены как:

• Каркас кузова
  • Начало координат - центр тяжести самолета
  • ось x _b - положительный выход из носовой части самолета в плоскости симметрии самолета
  • Ось z _b - перпендикулярно оси x _b , в плоскости симметрии самолета, положительно ниже самолета
  • Ось y _b - перпендикулярна плоскости x _b , z _b , положительная, определяется правилом правой руки (как правило, положительная вне правого крыла)
• Рамка ветра
  • Начало координат - центр тяжести самолета
  • ось x _w - положительная в направлении вектора скорости ЛА относительно воздуха
  • Ось z _w - перпендикулярно оси x _w , в плоскости симметрии самолета, положительно ниже самолета
  • ось y _w - перпендикулярна плоскости x _w , z _w , положительная, определяется правилом правой руки (как правило, положительная вправо)

Асимметричные самолеты имеют аналогичные неподвижные рамы, но для выбора точных направлений осей x и z необходимо использовать другие соглашения .

Каркас Земли - удобный кадр для выражения поступательной и вращательной кинематики самолета. Кадр Земли также полезен тем, что при определенных предположениях он может быть аппроксимирован инерционным. Кроме того, одна сила , действующая на борту воздушного судна, вес, фиксируется в + г _Е направлении.

Рама корпуса часто представляет интерес, потому что начало координат и оси остаются фиксированными относительно самолета. Это означает, что относительная ориентация кадров Земли и тела описывает положение самолета. Кроме того, направление силы тяги обычно фиксируется в раме корпуса, хотя некоторые летательные аппараты могут изменять это направление, например, путем изменения вектора тяги .

Рамка ветра - это удобная рамка для выражения аэродинамических сил и моментов, действующих на самолет. В частности, чистая аэродинамическая сила может быть разделена на составляющие вдоль осей ветровой рамы, с силой сопротивления в направлении - x _w и подъемной силой в направлении - z _w .

В дополнение к определению опорных кадров может быть определена относительная ориентация опорных кадров. Относительная ориентация может быть выражена в различных формах, включая:

• Матрицы вращения
• Косинусы направления
• Углы Эйлера
• Кватернионы

Различные углы Эйлера, связывающие три системы отсчета, важны для динамики полета. Существует множество соглашений об углах Эйлера, но все последовательности вращения, представленные ниже, используют соглашение z-y'-x " . Это соглашение соответствует типу углов Тейта-Брайана , которые обычно называют углами Эйлера. Это соглашение описано ниже подробно описаны углы Эйлера крена, тангажа и рыскания, которые описывают ориентацию системы координат тела относительно системы координат Земли.Другие наборы углов Эйлера описаны ниже по аналогии.

Преобразования ( углы Эйлера ) [ править ]

От кадра Земли к кадру тела [ править ]

• Сначала поверните оси x _E и y _E земной системы координат вокруг оси z _E на угол рыскания ψ . Это приводит к промежуточной системе отсчета с осями , обозначаемое х «у » , г «где г» = г _Е .
• Во- вторых, повернуть х « и Z » оси вокруг у ' оси с помощью основного тона угла & thetas . Это приводит к другой промежуточной системе отсчета с осями, обозначенными x ", y", z " , где y" = y ' .
• И, наконец, повернуть у « и г» оси вокруг х» ось по рулонному углу ф . Опорный кадр , что результаты после трех вращений являются кадром тела.

На основе приведенных выше соглашений о вращениях и осях:

• Угол рыскания ψ: угол между севером и проекцией продольной оси самолета на горизонтальную плоскость;
• Угол тангажа θ: угол между продольной осью самолета и горизонталью;
• Ролл угол φ: вращение вокруг продольной оси летательного аппарата после поворотапомощью рыскания и смолой.

От кадра Земли к кадру ветра [ править ]

• Курсовой угол σ: угол между севером и горизонтальной составляющей вектора скорости, который описывает, в каком направлении летательный аппарат движется относительно сторон света.
• Угол траектории полета γ: угол между горизонталью и вектором скорости, который описывает, набирает ли самолет или спускается.
• Bank угол μ: представляет собой вращение подъемной силы вокруг вектора скорости, что может указывать , является ли самолет поворота .

При выполнении описанных выше вращений для получения кадра тела из кадра Земли существует такая аналогия между углами:

• σ, ψ (курс против рыскания)
• γ, θ (зависимость траектории полета от тангажа)
• μ, φ (банк против рулона)

От ветровой рамы к корпусу [ править ]

• угол бокового скольжения β: угол между вектором скорости и проекцией продольной оси самолета наплоскостьx _w , y _w , который описывает, есть ли поперечная составляющая скорости самолета.

• угол атаки α : угол между плоскостями x _w , y _w и продольной осью самолета и, среди прочего, является важной переменной при определении величины подъемной силы.

При выполнении вращений, описанных ранее, чтобы получить каркас тела из земного каркаса, существует такая аналогия между углами:

• β, ψ (скольжение против рыскания)
• α , θ (атака против высоты тона)
• (φ = 0) (ничего против рулона)

Аналогии [ править ]

Таким образом, между тремя системами отсчета есть следующие аналогии:

• Рыскание / Курс / Боковое скольжение (ось Z, вертикальная)
• Шаг / траектория полета / угол атаки (ось Y, крыло)
• Крен / крен / ничего (ось X, нос)

Дизайнерские кейсы [ править ]

При анализе устойчивости самолета обычно учитывают возмущения относительно номинального установившегося режима полета . Таким образом, анализ будет применяться, например, при условии:

Прямой и горизонтальный полет

Поверните с постоянной скоростью

Подход и посадка

Взлететь

Скорость, высота и угол дифферента атаки различны для каждого условия полета, кроме того, самолет будет иметь разную конфигурацию, например, на низкой скорости могут быть выпущены закрылки и шасси может быть опущено.

За исключением асимметричных конструкций (или симметричных конструкций при значительном боковом скольжении), продольные уравнения движения (включая тангаж и подъемную силу) могут рассматриваться независимо от поперечного движения (включая крен и рыскание).

Ниже рассматриваются возмущения относительно номинальной прямой и горизонтальной траектории полета.

Для упрощения анализа (относительно) предполагается, что управляющие поверхности фиксируются на протяжении всего движения, это устойчивость с фиксацией ручки. Анализ без прихватов требует дальнейшего усложнения учета движения рулевых поверхностей.

Кроме того, предполагается, что полет происходит в неподвижном воздухе, и самолет рассматривается как твердое тело .

Силы бегства [ править ]

На самолет в полете действуют три силы: вес , тяга и аэродинамическая сила .

Аэродинамическая сила [ править ]

Компоненты аэродинамической силы [ править ]

Выражение для расчета аэродинамической силы:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {A} = \ int _ {\ Sigma} (- \ Delta p \ mathbf {n} + \ mathbf {f}) \, d \ sigma}$

куда:

${\ Displaystyle \ Delta p \ Equiv}$ Разница между статическим давлением и свободным текущим давлением

${\ Displaystyle \ mathbf {п} \ эквив}$ вектор внешней нормали элемента площади

${\ Displaystyle \ mathbf {F} \ Equiv}$ вектор касательного напряжения, практикуемый воздухом на теле

${\ Displaystyle \ Sigma \ Equiv}$ адекватная опорная поверхность

в проекции на ветровые оси получаем:

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {A} = - (\ mathbf {i} _ {w} D + \ mathbf {j} _ {w} Q + \ mathbf {k} _ {w} L)}$

куда:

${\ Displaystyle D \ Equiv}$ Тащить

${\ Displaystyle Q \ Equiv}$ Боковое усилие

${\ Displaystyle L \ Equiv}$ Поднимать

Аэродинамические коэффициенты [ править ]

Динамическое давление свободного тока${\ Displaystyle \ Equiv q = {\ tfrac {1} {2}} \, \ rho \, V ^ {2}}$

Правильная опорная поверхность ( поверхность крыла в случае плоскостей )${\ Displaystyle \ Equiv S}$

Коэффициент давления ${\ Displaystyle \ Equiv C_ {p} = {\ dfrac {p-p _ {\ infty}} {q}}}$

Коэффициент трения ${\displaystyle \equiv C_{f}={\dfrac {f}{q}}}$

Коэффициент трения ${\displaystyle \equiv C_{d}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {i_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {i_{w}} ]\,d\sigma }$

Коэффициент поперечной силы ${\displaystyle \equiv C_{Q}={\dfrac {Q}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {j_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {j_{w}} ]\,d\sigma }$

Коэффициент подъема ${\displaystyle \equiv C_{L}={\dfrac {L}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {k_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {k_{w}} ]\,d\sigma }$

Необходимо знать C _p и C _f в каждой точке рассматриваемой поверхности.

Безразмерные параметры и аэродинамические режимы [ править ]

При отсутствии тепловых эффектов есть три замечательных безразмерных числа:

• Сжимаемость потока:

число Маха ${\displaystyle \equiv M={\dfrac {V}{a}}}$

• Вязкость потока:

Число Рейнольдса ${\displaystyle \equiv Re={\dfrac {\rho Vl}{\mu }}}$

• Редкость потока:

Число Кнудсена ${\displaystyle \equiv Kn={\dfrac {\lambda }{l}}}$

куда:

${\displaystyle a={\sqrt {kR\theta }}\equiv }$скорость звука

${\displaystyle k\equiv }$ коэффициент удельной теплоемкости

${\displaystyle R\equiv }$ газовая постоянная на единицу массы

${\displaystyle \theta \equiv }$абсолютная температура

${\displaystyle \lambda ={\dfrac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\dfrac {\pi }{2R\theta }}}={\dfrac {M}{Re}}{\sqrt {\dfrac {k\pi }{2}}}\equiv }$ длина свободного пробега

Согласно λ существует три возможных степени разрежения и соответствующие им движения называются:

• Континуумный ток (разрежение незначительное): ${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\ll 1}$
• Переходный ток (умеренное разрежение): ${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\approx 1}$
• Свободный молекулярный ток (высокое разрежение): ${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\gg 1}$

В динамике полета движение тела в потоке рассматривается как непрерывный ток. Во внешнем слое пространства, окружающего тело, вязкость будет незначительной. Однако при анализе течения вблизи пограничного слоя необходимо учитывать влияние вязкости .

В зависимости от сжимаемости потока можно рассматривать разные виды токов:

• Несжимаемый дозвуковой ток :${\displaystyle 0<M<0.3}$
• Сжимаемый дозвуковой ток :${\displaystyle 0.3<M<0.8}$
• Трансзвуковой ток :${\displaystyle 0.8<M<1.2}$
• Сверхзвуковой ток :${\displaystyle 1.2<M<5}$
• Гиперзвуковой ток :${\displaystyle 5<M}$

Уравнение коэффициента лобового сопротивления и аэродинамическая эффективность [ править ]

Если геометрия тела фиксирована и в случае симметричного полета (β = 0 и Q = 0), коэффициенты давления и трения являются функциями, зависящими от:

${\displaystyle C_{p}=C_{p}(\alpha ,M,Re,P)}$

${\displaystyle C_{f}=C_{f}(\alpha ,M,Re,P)}$

куда:

${\displaystyle \alpha \equiv }$ угол атаки

${\displaystyle P\equiv }$ рассматриваемая точка поверхности

В этих условиях коэффициент лобового сопротивления и подъемной силы зависят исключительно от угла атаки корпуса и чисел Маха и Рейнольдса . Аэродинамическая эффективность, определяемая как соотношение между коэффициентами подъемной силы и сопротивления, также будет зависеть от этих параметров.

${\displaystyle {\begin{cases}C_{D}=C_{D}(\alpha ,M,Re)\\C_{L}=C_{L}(\alpha ,M,Re)\\E=E(\alpha ,M,Re)={\dfrac {C_{L}}{C_{D}}}\\\end{cases}}}$

Кроме того , можно получить зависимость коэффициента сопротивления по отношению к коэффициенту подъемной силы . Это соотношение известно как уравнение коэффициента сопротивления:

${\displaystyle C_{D}=C_{D}(C_{L},M,Re)\equiv }$ уравнение коэффициента сопротивления

Аэродинамическая эффективность имеет максимальное значение, E _max , относительно C _L, где касательная линия от начала координат касается графика уравнения коэффициента сопротивления.

Коэффициент лобового сопротивления C _D можно разложить двумя способами. Первое типичное разложение разделяет эффекты давления и трения:

${\displaystyle C_{D}=C_{Df}+C_{Dp}{\begin{cases}C_{Df}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \\C_{Dp}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \end{cases}}}$

Есть второе типичное разложение с учетом определения уравнения коэффициента сопротивления. Это разложение отделяет эффект от коэффициента подъемной силы в уравнении, получая два члена С _D0 и С _Di . C _D0 известен как коэффициент паразитного сопротивления, и это базовый коэффициент сопротивления при нулевой подъемной силе. C _Di известен как коэффициент индуцированного сопротивления и создается подъемом кузова.

${\displaystyle C_{D}=C_{D0}+C_{Di}{\begin{cases}C_{D0}=(C_{D})_{C_{L}=0}\\C_{Di}\end{cases}}}$

Параболический и общий коэффициент сопротивления [ править ]

Хорошей попыткой определения коэффициента индуцированного сопротивления является предположение о параболической зависимости подъемной силы.

${\displaystyle C_{Di}=kC_{L}^{2}\Rightarrow C_{D}=C_{D0}+kC_{L}^{2}}$

Аэродинамическая эффективность теперь рассчитывается как:

${\displaystyle E={\dfrac {C_{L}}{C_{D0}+kC_{L}^{2}}}\Rightarrow {\begin{cases}E_{max}={\dfrac {1}{2{\sqrt {kC_{D0}}}}}\\(C_{L})_{Emax}={\sqrt {\dfrac {C_{D0}}{k}}}\\(C_{Di})_{Emax}=C_{D0}\end{cases}}}$

Если конфигурация плоскости симметрична относительно плоскости XY, минимальный коэффициент сопротивления равен паразитному сопротивлению плоскости.

${\displaystyle C_{Dmin}=(C_{D})_{CL=0}=C_{D0}}$

Однако в случае, если конфигурация асимметрична относительно плоскости XY, минимальное сопротивление отличается от паразитного сопротивления. В этих случаях можно проследить новое приближенное уравнение параболического сопротивления, оставив минимальное значение сопротивления при нулевом значении подъемной силы.

${\displaystyle C_{Dmin}=C_{DM}\neq (C_{D})_{CL=0}}$

${\displaystyle C_{D}=C_{DM}+k(C_{L}-C_{LM})^{2}}$

Вариация параметров с числом Маха [ править ]

Коэффициент давления изменяется в зависимости от числа Маха соотношения , приведенного ниже: ^[4]

${\displaystyle C_{p}={\frac {C_{p0}}{\sqrt {|1-{M_{\infty }}^{2}|}}}}$

куда

• C _p - коэффициент сжимаемого давления
• C _p0 - коэффициент давления несжимаемой жидкости
• M _∞ - число Маха набегающего потока.

Это соотношение является достаточно точным для 0,3 <M <0,7, а когда M = 1, оно становится ∞, что невозможно с физической точки зрения и называется сингулярностью Прандтля – Глауэрта .

Аэродинамическая сила в заданной атмосфере [ править ]

см. Аэродинамическая сила

Статическая стабильность и контроль [ править ]

Продольная статическая устойчивость [ править ]

см. Продольная статическая устойчивость

Направленная устойчивость [ править ]

Направленная устойчивость или устойчивость флюгера связана со статической устойчивостью самолета относительно оси z. Так же, как и в случае продольной устойчивости, желательно, чтобы летательный аппарат имел тенденцию возвращаться в состояние равновесия, когда он подвергается некоторой форме возмущения рыскания. Для этого наклон кривой момента рыскания должен быть положительным. Самолет, обладающий этим режимом устойчивости, всегда будет указывать в сторону относительного ветра, отсюда и название «устойчивость флюгера».

Динамическая стабильность и контроль [ править ]

Продольные моды [ править ]

Обычно для описания продольного движения получают характеристическое уравнение четвертого порядка , а затем разлагают его приблизительно на высокочастотную моду и низкочастотную моду. Подход, принятый здесь, основан на использовании качественных данных о поведении воздушного судна для упрощения уравнений с самого начала и достижения результата с помощью более доступного маршрута.

Два продольных движения (режима) называются короткопериодическими колебаниями основного тона (SPPO) и фугоидом .

Короткопериодические колебания высоты звука [ править ]

Короткий ввод (в терминологии систем управления - импульс ) по тангажу (обычно через руль высоты в самолетах стандартной конфигурации с неподвижным крылом), как правило, приводит к перерегулированию относительно сбалансированного состояния. Переход характеризуется простым затухающим гармоническим движением вокруг новой планки. Траектория очень мало изменяется за время, необходимое для затухания колебаний.

Обычно это колебание имеет высокую частоту (следовательно, короткий период) и затухает в течение нескольких секунд. Пример из реальной жизни: пилот выбирает новое положение для набора высоты, например, нос на 5 ° вверх от исходного положения. Можно использовать короткое резкое оттягивание рулевой колонки назад, что обычно приводит к колебаниям относительно нового состояния дифферента. Если колебания слабо затухают, самолету потребуется длительный период времени, чтобы прийти в новое состояние, что может привести к колебаниям, вызванным пилотом . Если режим короткого периода является нестабильным, пилот, как правило, не может безопасно управлять летательным аппаратом в течение любого периода времени.

Это затухающее гармоническое движение называется короткопериодическим колебанием тангажа, оно возникает из-за стремления устойчивого летательного аппарата указывать в общем направлении полета. Он очень похож по своей природе на режим флюгера ракетных или ракетных конфигураций. Движение включает в себя в основном высоту тона (тета) и угол падения (альфа). Направление вектора скорости относительно инерциальных осей равно . Вектор скорости:${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta -\alpha }$

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle w_{f}=U\sin(\theta -\alpha )}$

где , - компоненты скорости по инерционным осям. Согласно второму закону Ньютона , ускорения пропорциональны силам , поэтому силы по инерционным осям равны:${\displaystyle u_{f}}$${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\theta -\alpha )-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=m{\frac {dw_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\theta -\alpha )+mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

где m - масса . По характеру движения изменение скорости незначительно в течение периода колебаний, поэтому:${\displaystyle m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle X_{f}=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

Но силы создаются распределением давления на теле и относятся к вектору скорости. Но набор осей скорости (ветра) не является инерциальной системой отсчета, поэтому мы должны преобразовать силы фиксированных осей в оси ветра. Кроме того, нас интересует только сила вдоль оси z:

${\displaystyle Z=-Z_{f}\cos(\theta -\alpha )+X_{f}\sin(\theta -\alpha )}$

Или же:

${\displaystyle Z=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}}$

На словах сила ветровой оси равна центростремительному ускорению.

Уравнение момента представляет собой производную по времени от углового момента :

${\displaystyle M=B{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$

где M - момент тангажа , а B - момент инерции относительно оси тангажа. Пусть:, скорость звука. Уравнения движения со всеми силами и моментами, относящимися к ветровым осям, поэтому:${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=q}$

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=q+{\frac {Z}{mU}}}$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M}{B}}}$

Нас интересуют только возмущения сил и моментов из-за возмущений в состояниях и q и их производных по времени. Они характеризуются производными устойчивости, определяемыми из условий полета. Возможные производные устойчивости:${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Z_{\alpha }}$ Подъем из-за падения, это отрицательно, потому что ось z направлена ​​вниз, в то время как положительное падение вызывает силу, направленную вверх.

${\displaystyle Z_{q}}$Подъем, обусловленный скоростью тангажа, возникает из-за увеличения угла наклона хвостовой части, следовательно, также отрицательный, но небольшой по сравнению с .${\displaystyle Z_{\alpha }}$

${\displaystyle M_{\alpha }}$ Момент тангажа от падения - термин статической устойчивости. Статическая стабильность требует, чтобы это значение было отрицательным.

${\displaystyle M_{q}}$ Момент тангажа из-за шага - член демпфирования шага, он всегда отрицательный.

Так как хвост работает в поле потока крыла, изменения угла наклона крыла вызывают изменения потока вниз, но существует задержка для изменения поля потока крыла, чтобы повлиять на подъемную силу, это представлено как момент, пропорциональный скорости изменения заболеваемости:

${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$

Эффект отсроченной промывки вниз увеличивает подъем хвостовой части и создает момент опускания носа, поэтому ожидается, что он будет отрицательным.${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$

Уравнения движения с малыми силами и моментами возмущения становятся:

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=\left(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}\right)q+{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}\alpha }$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M_{q}}{B}}q+{\frac {M_{\alpha }}{B}}\alpha +{\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}{\dot {\alpha }}}$

Это можно манипулировать , чтобы получить в качестве второго порядка линейного дифференциального уравнения в :${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}-\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}+{\frac {M_{q}}{B}}+(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}){\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}\right){\frac {d\alpha }{dt}}+\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}{\frac {M_{q}}{B}}-{\frac {M_{\alpha }}{B}}(1+{\frac {Z_{q}}{mU}})\right)\alpha =0}$

Это представляет собой затухающее простое гармоническое движение .

Мы должны ожидать, что будет мало по сравнению с единицей, поэтому коэффициент (термин «жесткость») будет положительным при условии . В этом выражении преобладает значение , которое определяет продольную статическую устойчивость самолета, для устойчивости оно должно быть отрицательным. Срок демпфирования уменьшается из-за эффекта смыва вниз, и сложно спроектировать самолет с быстрой естественной реакцией и сильным демпфированием. Обычно отклик слабозатухающий, но стабильный.${\displaystyle {\frac {Z_{q}}{mU}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle M_{\alpha }<{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}M_{q}}$${\displaystyle M_{\alpha }}$

Фугоид [ править ]

Если ручка зафиксирована, дрон не будет поддерживать прямой и горизонтальный полет (за исключением маловероятного случая, когда он окажется идеально сбалансированным для горизонтального полета на текущей высоте и настройке тяги), но начнет пикировать, выравниваться и снова подняться. Он будет повторять этот цикл, пока не вмешается пилот. Это длительное колебание скорости и высоты называется фугоидным режимом. Это анализируется исходя из предположения, что SSPO выполняет свою надлежащую функцию и поддерживает угол атаки около своего номинального значения. Основное влияние оказывают два состояния: угол траектории полета (гамма) и скорость. Уравнения движения малых возмущений:${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z}$

что означает, что центростремительная сила равна возмущению подъемной силы.

Для скорости, разрешающей по траектории:

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X-mg\gamma }$

где g - ускорение свободного падения у поверхности земли . Ускорение по траектории равно чистой силе по оси x минус компонент веса. Не следует ожидать, что существенные аэродинамические производные будут зависеть от угла траектории полета, поэтому следует учитывать только и . - приращение лобового сопротивления при увеличении скорости, оно отрицательно, равно как и приращение подъемной силы из-за приращения скорости, оно также отрицательно, поскольку подъемная сила действует в противоположном направлении оси z.${\displaystyle X_{u}}$${\displaystyle Z_{u}}$${\displaystyle X_{u}}$${\displaystyle Z_{u}}$

Уравнения движения становятся:

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z_{u}u}$

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X_{u}u-mg\gamma }$

Они могут быть выражены в виде уравнения второго порядка по углу траектории полета или возмущению скорости:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-{\frac {X_{u}}{m}}{\frac {du}{dt}}-{\frac {Z_{u}g}{mU}}u=0}$

Теперь подъемная сила почти равна весу:

${\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\rho U^{2}c_{L}S_{w}=W}$

где - плотность воздуха, - площадь крыла, W - вес и - коэффициент подъемной силы (предполагается постоянным, поскольку угол падения постоянен), мы имеем примерно:${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S_{w}}$${\displaystyle c_{L}}$

${\displaystyle Z_{u}={\frac {2W}{U}}={\frac {2mg}{U}}}$

Период фугоида T получается из коэффициента при u:

${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {2g^{2}}{U^{2}}}}}$

Или же:

${\displaystyle T={\frac {2\pi U}{{\sqrt {2}}g}}}$

Поскольку подъемная сила намного больше сопротивления, фугоид в лучшем случае слегка демпфируется. Пропеллер с фиксированной скоростью поможет. Сильное демпфирование вращения шага или большая инерция вращения увеличивают связь между короткопериодными и фугоидными модами, так что они изменяют фугоид.

Боковые режимы [ править ]

У симметричной ракеты или ракеты путевая устойчивость при рыскании такая же, как и устойчивость по тангажу; он напоминает короткопериодные колебания тангажа с плоскостью рыскания, эквивалентной производным устойчивости тангажа. По этой причине курсовая устойчивость по тангажу и рысканью вместе известна как устойчивость ракеты "флюгером".

Самолету не хватает симметрии между тангажом и рысканием, так что путевая устойчивость при рыскании определяется другим набором производных устойчивости. Плоскость рыскания, эквивалентная короткопериодным колебаниям тангажа, который описывает курсовую устойчивость плоскости рыскания, называется голландским креном. В отличие от движений в плоскости тангажа, боковые режимы включают как крен, так и рыскание.

Голландский ролл [ править ]

Принято выводить уравнения движения путем формальных манипуляций, что для инженера представляет собой математическую ловкость рук. Текущий подход следует за анализом плоскости шага при формулировании уравнений в терминах достаточно знакомых концепций.

Подача импульса с помощью педалей руля направления должна вызывать голландский крен , который представляет собой колебание крена и рыскания, при этом креновое движение отстает от рыскания на четверть цикла, так что законцовки крыла следуют эллиптическим траекториям относительно самолета.

Уравнение поступательного движения в плоскости рыскания, как и в плоскости тангажа, приравнивает центростремительное ускорение к боковой силе.

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y}{mU}}-r}$

где (бета) - угол бокового скольжения , Y - боковая сила, а r - скорость рыскания.${\displaystyle \beta }$

Уравнения моментов немного сложнее. Условие дифферента - это когда самолет находится под углом атаки по отношению к воздушному потоку. Ось x тела не совпадает с вектором скорости, который является опорным направлением для осей ветра. Другими словами, оси ветра не являются главными осями (масса не распределяется симметрично относительно осей рыскания и крена). Рассмотрим движение элемента массы в позиции -z, x в направлении оси y, то есть в плоскости бумаги.

Если скорость вращения равна p, скорость частицы равна:

${\displaystyle v=-pz+xr}$

Слагаемая из двух членов, сила, действующая на эту частицу, во-первых, пропорциональна скорости изменения v, а вторая - из-за изменения направления этой составляющей скорости при движении тела. Последние члены приводят к перекрестным произведениям малых количеств (pq, pr, qr), которые позже отбрасываются. В данном анализе они с самого начала отброшены для ясности. Фактически, мы предполагаем, что направление скорости частицы из-за одновременных скоростей крена и рыскания существенно не меняется на протяжении всего движения. При таком упрощающем предположении ускорение частицы становится равным:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}z+{\frac {dr}{dt}}x}$

Момент рыскания определяется по формуле:

${\displaystyle \delta mx{\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}xz\delta m+{\frac {dr}{dt}}x^{2}\delta m}$

Существует дополнительный момент рыскания из-за смещения частицы в направлении y:${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}y^{2}\delta m}$

Момент рыскания определяется суммированием всех частиц тела:

${\displaystyle N=-{\frac {dp}{dt}}\int xzdm+{\frac {dr}{dt}}\int x^{2}+y^{2}dm=-E{\frac {dp}{dt}}+C{\frac {dr}{dt}}}$

где N - момент рыскания, E - произведение инерции, а C - момент инерции относительно оси рыскания . Аналогичные рассуждения приводят к уравнению крена:

${\displaystyle L=A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}}$

где L - момент качения, A - момент инерции качения.

Производные поперечной и продольной устойчивости [ править ]

Состояниями являются (скольжение), r (скорость рыскания) и p (скорость крена) с моментами N (рыскание) и L (крен) и силой Y (вбок). Есть девять производных устойчивости, относящихся к этому движению, ниже объясняется, как они возникают. Однако лучшее интуитивное понимание можно получить, просто играя с моделью самолета и рассматривая, как силы, действующие на каждый компонент, зависят от изменения бокового скольжения и угловой скорости:${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Y_{\beta }}$ Боковое усилие из-за бокового скольжения (при отсутствии рыскания).

Боковое скольжение создает боковую силу от киля и фюзеляжа. Кроме того, если крыло имеет двугранную форму, боковое скольжение при положительном угле крена увеличивает угол падения на правое крыло и уменьшает его на левом борту, в результате чего результирующая составляющая силы прямо противоположна направлению бокового скольжения. Стреловидность крыльев назад оказывает такое же влияние на угол падения, но поскольку крылья не наклонены в вертикальной плоскости, только обратный замах не влияет . Тем не менее, угол наклона может использоваться с большими углами обратной стреловидности в самолетах с высокими характеристиками, чтобы компенсировать влияние бокового скольжения крыла. Как ни странно, это не меняет знака вклада конфигурации крыла в (по сравнению с двугранным случаем).${\displaystyle Y_{\beta }}$${\displaystyle Y_{\beta }}$

${\displaystyle Y_{p}}$ Боковое усилие из-за скорости крена.

Скорость крена приводит к падению на ребро, что создает соответствующую боковую силу. Кроме того, положительный крен (правое крыло опущено) увеличивает подъемную силу на правом крыле и уменьшает ее на левом. Если крыло имеет двугранный угол, это приведет к тому, что боковая сила на мгновение будет противодействовать результирующей тенденции к боковому скольжению. Конфигурации углового крыла и / или стабилизатора могут привести к изменению знака боковой силы, если эффект плавника подавлен.

${\displaystyle Y_{r}}$ Боковое усилие из-за рыскания.

При рыскании возникают боковые силы из-за падения на руль направления, киль и фюзеляж.

${\displaystyle N_{\beta }}$ Момент рыскания из-за силы скольжения.

Боковое скольжение при отсутствии руля направления приводит к падению на фюзеляж и оперение , создавая таким образом момент рыскания, которому противодействует только жесткость по направлению, которая будет иметь тенденцию указывать нос самолета назад против ветра в условиях горизонтального полета. В условиях бокового скольжения при заданном угле крена будет стремиться направить нос в сторону бокового скольжения даже без нажатия руля направления, вызывая полет по спирали вниз.${\displaystyle N_{\beta }}$

${\displaystyle N_{p}}$ Момент рыскания из-за скорости крена.

Скорость крена создает подъемную силу киля, вызывающую рыскание, а также по-разному изменяет подъемную силу на крыльях, таким образом влияя на вклад индуцированного сопротивления каждого крыла, вызывая (небольшой) вклад момента рыскания. Положительный крен обычно дает положительные значения, если только хвостовое оперение не является прямым или ребро не находится ниже оси крена. Компоненты поперечной силы, возникающие в результате двугранной или угловой разницы подъемной силы крыла, не имеют большого влияния, поскольку ось крыла обычно близко совмещена с центром тяжести.${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle N_{p}}$

${\displaystyle N_{r}}$ Момент рыскания из-за скорости рыскания.

Ввод скорости рыскания при любом угле крена генерирует векторы силы руля направления, киля и фюзеляжа, которые определяют результирующий момент рыскания. Рыскание также увеличивает скорость внешнего крыла, одновременно замедляя внутреннее крыло, с соответствующими изменениями сопротивления, вызывающими (небольшой) противоположный момент рыскания. противостоит присущей направленной жесткости, которая имеет тенденцию указывать нос самолета назад против ветра и всегда соответствует знаку входной скорости рыскания.${\displaystyle N_{r}}$

${\displaystyle L_{\beta }}$ Момент качения из-за бокового скольжения.

Положительный угол бокового скольжения вызывает падение оперения, которое может вызывать положительный или отрицательный момент крена в зависимости от его конфигурации. При любом ненулевом угле бокового скольжения двугранные крылья вызывают крутящий момент, который стремится вернуть самолет в горизонтальное положение, как и крылья с обратной стреловидностью. В случае крыльев с большой стреловидностью результирующий момент качения может быть чрезмерным для всех требований устойчивости, и можно использовать угол наклона для компенсации эффекта момента качения, вызванного стреловидностью крыла.

${\displaystyle L_{r}}$ Момент качения из-за рыскания.

Рыскание увеличивает скорость внешнего крыла, одновременно уменьшая скорость внутреннего крыла, вызывая момент крена во внутреннюю сторону. Вклад ребра обычно поддерживает этот эффект качения внутрь, если только он не компенсируется угловым стабилизатором над осью крена (или двугранным под осью крена).

${\displaystyle L_{p}}$ Момент качения из-за скорости крена.

Крен создает противодействующие силы вращения как на правом, так и на левом крыле, а также создает такие силы на оперении. Эти противоположные эффекты момента качения должны быть преодолены входом элеронов, чтобы поддерживать скорость крена. Если крен останавливается при ненулевом угле крена, восходящий момент качения, вызванный последующим боковым скольжением, должен возвращать летательный аппарат в горизонтальное положение, если только его не превосходит, в свою очередь, момент крена вниз, возникающий из-за скорости рыскания, вызванной боковым скольжением. Продольную устойчивость можно обеспечить или улучшить за счет минимизации последнего эффекта.${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{r}}$

Уравнения движения [ править ]

Поскольку голландский крен - это режим управления, аналогичный короткопериодным колебаниям тангажа, любое влияние, которое он может оказать на траекторию, можно игнорировать. Скорость тела r складывается из скорости изменения угла бокового скольжения и скорости поворота. Принимая последнее за ноль, предполагая, что не влияет на траекторию, с ограниченной целью изучения голландского броска:

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}=-r}$

Уравнения рыскания и крена с производными устойчивости становятся:

${\displaystyle C{\frac {dr}{dt}}-E{\frac {dp}{dt}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$ (рыскание)

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$ (рулон)

Инерционный момент из-за ускорения крена считается малым по сравнению с аэродинамическими условиями, поэтому уравнения принимают следующий вид:

${\displaystyle -C{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$

${\displaystyle E{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$

Это становится уравнением второго порядка, определяющим либо скорость крена, либо скольжение:

${\displaystyle \left({\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}\right){\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}\right){\frac {d\beta }{dt}}-\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}-{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}\right)\beta =0}$

Уравнение для скорости крена идентично. Но угол крена (фи) определяется по формуле:${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=p}$

Если p - это затухающее простое гармоническое движение, то так оно и есть , но крен должен находиться в квадратуре со скоростью крена, а следовательно, и с боковым скольжением. Движение состоит из колебаний по крену и рысканью, при этом крен отстает на 90 градусов от рыскания. Концы крыльев очерчивают эллиптические траектории.${\displaystyle \phi }$

Стабильность требует, чтобы термины « жесткость » и «демпфирование» были положительными. Это:

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$ (демпфирование)

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}-{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$ (жесткость)

В знаменателе преобладает производная демпфирования крена, которая всегда отрицательна, поэтому знаменатели этих двух выражений будут положительными.${\displaystyle L_{p}}$

Принимая во внимание термин «жесткость»: будет положительным, потому что всегда отрицательным и положительным по дизайну. обычно отрицательный, тогда как положительный. Чрезмерный двугранный угол может дестабилизировать крен по голландской траектории, поэтому конфигурации с крыльями с большой стреловидностью требуют наличия угла наклона, чтобы компенсировать влияние стреловидности крыла .${\displaystyle -L_{p}N_{\beta }}$${\displaystyle L_{p}}$${\displaystyle N_{\beta }}$${\displaystyle L_{\beta }}$${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle L_{\beta }}$

В параметре демпфирования преобладает произведение демпфирования крена и производных демпфирования рыскания, оба они отрицательны, поэтому их произведение положительно. Поэтому голландский ролл должен быть демпфированным.

Движение сопровождается небольшим боковым перемещением центра тяжести, и более «точный» анализ позволит ввести термины и т. Д. Ввиду точности, с которой могут быть вычислены производные устойчивости, это излишняя педантичность, которая служит для затемнения взаимосвязь между геометрией самолета и управляемостью, что является основной целью данной статьи.${\displaystyle Y_{\beta }}$

Проседание рулона [ править ]

Подергивание ручки в сторону и возвращение ее в центр вызывает чистое изменение ориентации рулона.

Креновое движение характеризуется отсутствием естественной устойчивости, отсутствуют производные по устойчивости, которые создают моменты в ответ на угол инерционного крена. Нарушение крена вызывает скорость крена, которая отменяется только вмешательством пилота или автопилота . Это происходит при незначительных изменениях скорости скольжения или рыскания, поэтому уравнение движения сводится к:

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}=L_{p}p.}$

${\displaystyle L_{p}}$отрицательный, поэтому скорость крена со временем будет уменьшаться. Скорость крена снижается до нуля, но нет прямого контроля над углом крена.

Спиральный режим [ править ]

Просто удерживая ручку неподвижно, при старте с крыльями почти на уровне, самолет обычно будет иметь тенденцию постепенно отклоняться в сторону от прямой траектории полета. Это (немного нестабильный) спиральный режим . ^{[ необходима цитата ]}

Траектория спирального режима [ править ]

При изучении траектории интерес представляет скорее направление вектора скорости, чем направление тела. Направление вектора скорости при проецировании на горизонталь будет называться треком, обозначенным ( mu ). Ориентация тела называется заголовком и обозначается (psi). Уравнение движения силы включает компонент веса: ^{[ необходима ссылка ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {d\mu }{dt}}={\frac {Y}{mU}}+{\frac {g}{U}}\phi }$

где g - ускорение свободного падения, а U - скорость.

Включая производные стабильности:

${\displaystyle {\frac {d\mu }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta +{\frac {Y_{r}}{mU}}r+{\frac {Y_{p}}{mU}}p+{\frac {g}{U}}\phi }$

Ожидается, что скорость крена и рыскания будет небольшой, поэтому влияние и будет игнорироваться.${\displaystyle Y_{r}}$${\displaystyle Y_{p}}$

Боковое скольжение и скорость крена изменяются постепенно, поэтому их производные по времени игнорируются. Уравнения рыскания и крена сводятся к:

${\displaystyle N_{\beta }\beta +N_{r}{\frac {d\mu }{dt}}+N_{p}p=0}$ (рыскание)

${\displaystyle L_{\beta }\beta +L_{r}{\frac {d\mu }{dt}}+L_{p}p=0}$ (рулон)

Решение для и p :${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta ={\frac {(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}{(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}}$

${\displaystyle p={\frac {(L_{\beta }N_{r}-L_{r}N_{\beta })}{(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}}$

Подстановка бокового скольжения и скорости крена в уравнение силы приводит к уравнению первого порядка для угла крена:

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=mg{\frac {(L_{\beta }N_{r}-N_{\beta }L_{r})}{mU(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })-Y_{\beta }(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}}\phi }$

Это экспоненциальный рост или спад, в зависимости от того, является ли коэффициент положительным или отрицательным. Знаменатель обычно отрицательный, что требует (оба произведения положительные). Это находится в прямом противоречии с голландскими требованиями к устойчивости по крену, и сложно спроектировать самолет, для которого и голландский режим крена, и спиральный режим по своей природе устойчивы. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \phi }$${\displaystyle L_{\beta }N_{r}>N_{\beta }L_{r}}$

Поскольку спиральный режим имеет длительную постоянную времени, пилот может вмешаться, чтобы эффективно стабилизировать его, но самолету с нестабильным голландским креном будет трудно летать. Обычно самолет проектируется со стабильным голландским режимом крена, но немного нестабильным спиральным режимом. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Примечания [ править ]

Библиография [ править ]

• Н.К. Синха и Н. Ананткришнан (2013), Элементарная динамика полета с введением в методы бифуркации и продолжения , CRC Press, Taylor & Francis.
• Бабистер, AW (1980). Динамическая устойчивость и реакция самолета (1-е изд.). Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 978-0080247687.
• Стенгель, Роберт Ф. (2004). Динамика полета . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-11407-2.

Внешние ссылки [ править ]

• Фреймворк для моделирования с открытым исходным кодом на C ++
• Библиотека программного обеспечения для управления динамикой и контролем полета с открытым исходным кодом на C ++.