Маятник Фуко

Маятник Фуко в Пантеоне, Париж

Воспроизвести медиа

Маятник Фуко в COSI Columbus, сбивающий мяч

Маятник Фуко или маятник Фуко это простое устройство , названное в честь французского физика Леона Фуко и задуман в качестве эксперимента , чтобы продемонстрировать вращение Земли . Маятник был введен в 1851 году и был первый эксперимент , чтобы дать простое, непосредственное доказательство вращения Земли. Сегодня маятники Фуко - популярные экспонаты в научных музеях и университетах. ^[1]

Оригинальный маятник Фуко [ править ]

Воспроизвести медиа

Маятник Фуко в Пантеоне, Париж

Гравюра с маятником Фуко, 1895 г.

Первая публичная выставка маятника Фуко состоялась в феврале 1851 года на меридиане Парижской обсерватории . Несколько недель спустя Фуко сделал свой самый известный маятник, когда подвесил 28-килограммовый (62 фунта) свинцовый карабин с латунным покрытием на 67-метровой (220 футов) проволоке на куполе Пантеона в Париже . Период маятника составлял секунды. Поскольку широта его местоположения была = 48 ° 52 'северной широты, плоскость качания маятника сделала полный круг примерно за = 31,8 часа (31 час 50 минут), вращаясь по часовой стрелке примерно на 11,3 ° в час.${\ displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} = 16,5}$${\displaystyle \phi \,}$${\displaystyle {\frac {23h56'}{\sin \phi }}}$

Оригинальный каре, который использовался в 1851 году в Пантеоне, был перемещен в 1855 году в Консерваторию искусств и ремесел в Париже. Вторая временная установка была сделана к 50 - летию в 1902. ^[2]

Во время реконструкции музея в 1990-х гг. Оригинальный маятник был временно выставлен в Пантеоне (1995 г.), но позже был возвращен в Музей искусств и ремесел, прежде чем он был вновь открыт в 2000 г. ^[3] 6 апреля 2010 г. кабель, подвешивающий трос. Боб в Музее искусств и ремесел сломался, что нанесло непоправимый ущерб маятниковому бобу и мраморному полу музея. ^{[4] [5]} Исходный, теперь поврежденный маятник отображается в отдельном ящике рядом с текущим индикатором маятника.

Точная копия оригинального маятника работает под куполом Пантеона в Париже с 1995 года. ^[6]

Объяснение механики [ править ]

Анимация маятника Фуко в северном полушарии с сильно преувеличенной скоростью вращения Земли. Зеленая кривая показывает путь качания маятника над землей (вращающаяся система отсчета) в любой вертикальной плоскости. Фактическая плоскость поворота кажется вращающейся относительно Земли. Провод должен быть как можно более длинным - обычно длина составляет 12–30 м (40–100 футов). ^[7]

На географическом северном полюсе или географическом южном полюсе плоскость колебания маятника остается фиксированной относительно далеких масс Вселенной, в то время как Земля вращается под ней, за один звездный день для завершения вращения. Таким образом, относительно Земли плоскость колебаний маятника на Северном полюсе, если смотреть сверху, совершает полный оборот по часовой стрелке в течение суток; маятник на Южном полюсе вращается против часовой стрелки.

Когда маятник Фуко подвешен на экваторе , плоскость колебаний остается фиксированной относительно Земли. На других широтах плоскость колебаний прецессирует относительно Земли, но медленнее, чем на полюсе; угловая скорость, ω (измеренный по часовым градусам в день) сидерический, пропорциональна синус от широты , ф :

${\displaystyle \omega =360^{\circ }\sin \varphi \ /\mathrm {day} }$,

где широты к северу и югу от экватора определены как положительные и отрицательные соответственно. Например, маятник Фуко на 30 ° южной широты, если смотреть сверху наземным наблюдателем, вращается на 360 ° против часовой стрелки за два дня.

Маятник Фуко требует осторожности при установке, потому что неточная конструкция может вызвать дополнительный поворот, который маскирует земной эффект. Как было отмечено позже Нобелевская премия Камерлинг-Оннес , который разработал более полную теорию маятника Фуко для его докторской диссертации (1879), геометрического несовершенства системы или упругости опорной проволоки может вызвать помехи между двумя горизонтальными модами колебаний, которые вызвали Маятник Оннеса может за час перейти от линейного к эллиптическому колебанию. ^[8] Первоначальный запуск маятника также имеет решающее значение; традиционный способ сделать это - использовать пламя, чтобы прожечь нить, которая временно удерживает боб в исходном положении, таким образом избегая нежелательного бокового движения (см.деталь запуска на 50-летие в 1902 г. ).

Примечательно, что отклонение маятника наблюдалось еще в 1661 году Винченцо Вивиани , учеником Галилея , но нет никаких свидетельств того, что он связывал этот эффект с вращением Земли; скорее, он считал это неудобством в своем исследовании, которое следует преодолеть, подвешивая боб на двух веревках вместо одной.

Сопротивление воздуха гасит колебания, поэтому некоторые маятники Фуко в музеях оснащены электромагнитным или другим приводом, чтобы качалась качалка; другие запускаются регулярно, иногда с церемонией запуска в качестве дополнительной достопримечательности. Помимо сопротивления воздуха, другой главной инженерной проблемой при создании 1-метрового маятника Фуко в настоящее время, как говорят, является обеспечение отсутствия предпочтительного направления качания. ^[9]

«Маятниковый день» - это время, необходимое плоскости свободно подвешенного маятника Фуко, чтобы совершить видимый оборот вокруг местной вертикали. Это один звездный день, разделенный на синус широты. ^{[10] [11]}

Гироскоп Фуко [ править ]

Чтобы продемонстрировать вращение прямо, а не косвенно через качающийся маятник, Фуко использовал гироскоп (слово, придуманное Фуко в 1852 году) ^[12]в эксперименте 1852 г. Внутренний кардан гироскопа Фуко был уравновешен на ножевых подшипниках на внешнем кардане, а внешний кардан был подвешен на тонкой резьбе без скручивания таким образом, что нижняя точка поворота почти не имела веса. Гироскоп был раскручен до 9000–12000 оборотов в минуту с помощью ряда шестерен перед установкой в ​​нужное положение, что было достаточным временем, чтобы сбалансировать гироскоп и провести 10 минут экспериментов. За прибором можно было наблюдать либо в микроскоп с точностью до десятых долей градуса, либо по длинной стрелке. По крайней мере еще три копии гироскопа Фуко были изготовлены в удобных дорожных и демонстрационных боксах, а копии сохранились в Великобритании, Франции и США. Гироскоп Фуко стал проблемой и источником вдохновения для опытных любителей науки, таких какDB Adamson . ^[13]

Прецессия как форма параллельного переноса [ править ]

В почти инерциальной системе отсчета, движущейся в тандеме с Землей, но не разделяющей вращения Земли вокруг своей оси, точка подвеса маятника проходит по круговой траектории в течение одного звездного дня.

На широте Парижа, 48 градус 51 минута северной широты, полный цикл прецессии занимает чуть менее 32 часов, поэтому после одного звездного дня, когда Земля вернулась в ту же ориентацию, что и предыдущий звездный день, плоскость колебаний повернулась всего на более 270 градусов. Если вначале плоскость поворота была с севера на юг, то на один звездный день позже это будет восток-запад.

Это также означает, что произошел обмен импульсом ; Земля и качающийся маятник обменялись движением. Земля настолько массивнее маятника, что изменение количества движения Земли незаметно. Тем не менее, поскольку плоскость качания маятника сместилась, законы сохранения подразумевают, что обмен должен был произойти.

Вместо того, чтобы отслеживать изменение количества движения, прецессию плоскости колебаний можно эффективно описать как случай параллельного переноса . Для этого, он может быть продемонстрирована путем составления бесконечно малых оборотов, что скорость прецессии пропорциональна проекции от угловой скорости Земли на нормальном направлении к Земле, что предполагает , что след плоскости колебаний будет проходить параллельный перенос . Через 24 часа разница между начальной и конечной ориентациями следа в системе координат Земли составляет α = −2π sin φ , что соответствует значению, заданному теоремой Гаусса – Бонне . αтакже называется голономией или геометрической фазой маятника. При анализе движений, связанных с Землей, земная рамка не является инерциальной , а вращается вокруг местной вертикали с эффективной скоростью 2π sin φ радиан в день. Для описания угла поворота плоскости поворота маятника Фуко можно использовать простой метод, использующий параллельный перенос в конусах, касательных к поверхности Земли. ^{[14] [15]}

С точки зрения привязанной к Земле системы координат, ось x которой указывает на восток, а ось y - на север, прецессия маятника описывается силой Кориолиса . Рассмотрим плоский маятник с собственной частотой ω в малоугловом приближении . На маятник действуют две силы: восстанавливающая сила, создаваемая силой тяжести и проволоки, и сила Кориолиса. Сила Кориолиса на широте φ является горизонтальной в приближении малого угла и определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{c,x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\F_{c,y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi \end{aligned}}}$

где Ω - частота вращения Земли, F _{c , x} - составляющая силы Кориолиса в направлении x, а F _{c , y} - составляющая силы Кориолиса в направлении y .

Возвращающая сила в малоугловом приближении определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}}$

Используя законы движения Ньютона, это приводит к системе уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}}$

При переходе к комплексным координатам z = x + iy уравнения имеют вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0\,.}$

Для первого заказа в Ω/ω это уравнение имеет решение

${\displaystyle z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right)\,.}$

Если время измерять в днях, то Ω = 2π и маятник вращается на угол −2π sin φ в течение одного дня.

Связанные физические системы [ править ]

Многие физические системы прецессируют аналогично маятнику Фуко. Еще в 1836 году шотландский математик Эдвард Санг придумал и объяснил прецессию волчка . В 1851 году Чарльз Уитстон ^[16] описал устройство, которое состоит из вибрирующей пружины, которая установлена ​​на верхней части диска так, что она образует с диском фиксированный угол φ . Пружина ударяется так, что она колеблется в плоскости. Когда диск поворачивается, плоскость колебаний изменяется так же, как и у маятника Фуко на широте φ .

Аналогичным образом рассмотрим не вращающееся, идеально сбалансированное велосипедное колесо, установленное на диске так, что его ось вращения составляет угол φ с диском. Когда диск совершает полный оборот по часовой стрелке, колесо велосипеда не вернется в исходное положение, а совершит чистый оборот на 2π sin φ .

Прецессия, подобная Фуко, наблюдается в виртуальной системе, в которой безмассовая частица вынуждена оставаться на плоскости вращения, наклоненной по отношению к оси вращения. ^[17]

Спин релятивистской частицы, движущейся по круговой орбите, прецессирует аналогично плоскости качания маятника Фуко. Релятивистское пространство скоростей в пространстве-времени Минковского можно рассматривать как сферу S ³ в 4-мерном евклидовом пространстве с мнимым радиусом и мнимой времениподобной координатой. Параллельный перенос векторов поляризации вдоль этой сферы приводит к прецессии Томаса , который аналогичен вращению плоскости качания маятника Фуко в связи с параллельным переносом вдоль сферы S ² в 3-мерном евклидовом пространстве. ^[18]

В физике эволюция таких систем определяется геометрическими фазами . ^{[19] [20]} Математически они понимаются через параллельный перенос.

Маятники Фуко по всему миру [ править ]

Маятники Фуко можно найти в университетах, научных музеях и т.п. по всему миру. Он есть в штаб-квартире ООН в Нью-Йорке; самый большой находится в Конференц-центре Орегона : его длина составляет примерно 27 м (89 футов). ^{[21] [22]} Однако, раньше были гораздо больше маятников, например, 98 м (322 футов) маятника в Исаакиевском соборе , Санкт - Петербурге , Россия . ^{[23] [24]}

• Маятник Фуко в Музее искусств и ремесел

• Маятник Фуко в научном центре Ранчи

• Маятник Фуко в Калифорнийской академии наук

• Маятник Фуко в Девонширском куполе , Университет Дерби

Южный полюс [ править ]

Эксперимент также проводился на Южном полюсе , где предполагалось, что вращение Земли будет иметь максимальный эффект ^{[25] [26]} на Южнополярной станции Амундсена – Скотта , на шестиэтажной лестнице нового здания. строящаяся станция. Маятник имел длину 33 м (108 футов), а боб весил 25 кг (55 фунтов). Расположение было идеальным: никакой движущийся воздух не мог помешать маятнику, а низкая вязкость холодного воздуха уменьшала сопротивление воздуха. Исследователи подтвердили, что период вращения плоскости колебаний составляет около 24 часов.

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме маятников Фуко .

• Эффект Кориолиса
• Вращение Земли
• Эксперимент Этвёша
• Инерциальная рамка
• Абсолютное вращение
• Лариат цепочка
• Прецессия

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Арнольд, В.И. (1989). Математические методы классической механики . Springer. п. 123 . ISBN 978-0-387-96890-2.
• Мэрион, Джерри Б.; Торнтон, Стивен Т. (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Брукс Коул. С.  398–401 . ISBN 978-0-03-097302-4.
• Перссон, Андерс О. (2005). «Эффект Кориолиса: четыре века конфликта между здравым смыслом и математикой, Часть I: История до 1885 года» (PDF) . История метеорологии . 2 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 апреля 2014 года . Проверено 27 апреля 2006 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме маятников Фуко .

• Рубин, Джулиан (2007). «Изобретение маятника Фуко» .Follow the Path of Discovery, 2007, извлечено 31 октября 2007 г. Указания по повторению эксперимента Фуко на сайте любительской науки.
• Вулф, Джо, " Вывод прецессии маятника Фуко ".
• « Маятник Фуко », вывод прецессии в полярных координатах.
• « Маятник Фуко » Джо Вулфа, с клипом и анимацией.
• « Маятник Фуко » Йенса-Пера Куска с Джеффом Брайантом, Wolfram Demonstrations Project : компьютерная модель маятника, позволяющая управлять частотой маятника, частотой вращения Земли, широтой и временем.
• « Веб-камера Kirchhoff-Institut für Physik, Гейдельбергский университет ».
• Калифорнийская академия наук, Калифорнийская академия наук, объяснение маятника Фуко, в удобном формате
• Модель маятника Фуко Экспозиция, включающая настольное устройство, показывающее эффект Фуко за секунды.
• Фуко, М.Л., Физическая демонстрация вращения Земли с помощью маятника , Институт Франклина, 2000 г., получено 31 октября 2007 г. Перевод его статьи о маятнике Фуко.
• Тобин, Уильям. «Жизнь и наука Леона Фуко» .
• Боули, Роджер (2010). «Маятник Фуко» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .
• Маятник Фуко-Инги Парижбан Фуко в Париже - видео действующего маятника Фуко в Пантеоне (на венгерском языке) .
• Pendolo nel Salone Маятник Фуко внутри Палаццо делла Раджионе в Падуе, Италия
• Чессин, А.С. (1895). «О маятнике Фуко». Являюсь. J. Math . 17 (1): 81–88. DOI : 10.2307 / 2369710 . JSTOR  2369710 .
• Макмиллан, Уильям Дункан (1915). «О маятнике Фуко». Являюсь. J. Math . 37 (1): 95–106. DOI : 10.2307 / 2370259 . JSTOR  2370259 . S2CID  123717776 .
• Сомервилл, ВБ (1972). «Описание маятника Фуко». QJR Astron. Soc . 13 : 40–62. Bibcode : 1972QJRAS..13 ... 40S .
• Брагинский, Владимир Б .; Польнарёв Александр Г .; Торн, Кип С. (1984). "Маятник Фуко на Южном полюсе: предложение об эксперименте по обнаружению общего релятивистского гравитомагнитного поля Земли" (PDF) . Phys. Rev. Lett . 53 (9): 863. Bibcode : 1984PhRvL..53..863B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.53.863 .
• Крейн, Х. Ричард (1995). "Настенные часы " с маятником Фуко " ". Являюсь. J. Phys . 63 (1): 33–39. Bibcode : 1995AmJPh..63 ... 33С . DOI : 10.1119 / 1.17765 .
• Hard, John B .; Миллер, Раймонд Э. (1987). «Простая геометрическая модель для визуализации движения маятника Фуко». Являюсь. J. Phys . 55 (1): 67. Bibcode : 1987AmJPh..55 ... 67H . DOI : 10.1119 / 1.14972 .
• Das, U .; Талукдар, Б .; Шаманна, Дж. (2002). «Косвенное аналитическое представление маятника Фуко». Чехослова. J. Phys . 52 (12): 1321–1327. Bibcode : 2002CzJPh..52.1321D . DOI : 10,1023 / A: 1021819627736 .
• Salva, Horacio R .; Benavides, Rubén E .; Перес, Хулио С .; Cuscueta, Диего Дж. (2010). «Маятник Фуко». Rev. Sci. Instrum . 81 (11): 115102–115102–4. Bibcode : 2010RScI ... 81k5102S . DOI : 10.1063 / 1.3494611 . PMID  21133496 .
• Далига, К .; Пржиборски, М .; Шульвич, Дж. (2015). «Маятник Фуко. Несложный инструмент в изучении геодезии и картографии» . EDULEARN15 Proceedings - 7-я Международная конференция по образованию и новым технологиям обучения, Барселона, Испания . ISBN 978-84-606-8243-1.