Тестирование амплитудной чувствительности Фурье

Тестирование амплитудной чувствительности Фурье (FAST) - это метод анализа глобальной чувствительности на основе дисперсии . Значение чувствительности определяется на основе условных отклонений, которые указывают на индивидуальное или совместное влияние неопределенных входных данных на выход.

FAST сначала представляет условные дисперсии через коэффициенты из разложения в несколько рядов Фурье выходной функции. Тогда эргодическая теоремаприменяется для преобразования многомерного интеграла в одномерный интеграл при оценке коэффициентов Фурье. Для выполнения преобразования требуется набор несоизмеримых частот, и большинство частот являются иррациональными. Для облегчения вычислений вместо иррациональных частот выбран набор целочисленных частот. Целочисленные частоты не являются строго несоразмерными, что приводит к ошибке между многомерным интегралом и преобразованным одномерным интегралом. Однако целочисленные частоты могут быть выбраны несоизмеримыми ни в каком порядке, чтобы можно было управлять ошибкой, удовлетворяя любые теоретические требования к точности. Используя целочисленные частоты в интегральном преобразовании, полученная функция в одномерном интеграле является периодической, и интеграл необходимо вычислять только за один период. Следующий,поскольку непрерывная интегральная функция может быть восстановлена из набора конечных точек выборки, еслиТеорема выборки Найквиста – Шеннона удовлетворена, одномерный интеграл вычисляется путем суммирования значений функции в сгенерированных точках выборки.

FAST более эффективен для расчета чувствительности, чем другие методы анализа глобальной чувствительности на основе дисперсии, с помощью интеграции Монте-Карло . Однако расчет FAST обычно ограничивается чувствительностью, относящейся к «главному эффекту» или «общему эффекту».

История [ править ]

Метод FAST зародился при изучении связанных систем химических реакций в 1973 году ^[1]^[2], а подробный анализ ошибки вычислений был представлен позже в 1975 году. ^[3] Были рассчитаны только индексы чувствительности первого порядка, относящиеся к «главному эффекту». в оригинальном методе. FORTRAN компьютерная программа , способная анализировать либо алгебраические или дифференциальные системы уравнений было опубликовано в 1982 г. ^[4] В 1990 - е годы, соотношение между индексами БЫСТРЫМИ чувствительности и единиц Соболя вычисленных из моделирования методом Монте - Карло было обнаружено в общих рамках ANOVA -подобных разложения ^[5]и был разработан расширенный метод FAST, позволяющий рассчитывать индексы чувствительности, относящиеся к «общему эффекту». ^[6]

Фонд [ править ]

Чувствительность на основе дисперсии [ править ]

Индексы чувствительности метода, основанного на дисперсии, вычисляются с помощью ANOVA-подобного разложения функции для анализа. Предположим, функция находится где . Разложение, подобное ANOVA, есть ${\ displaystyle Y = f \ left (\ mathbf {X} \ right) = f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle 0 \ leq X_ {j} \ leq 1, j = 1, \ dots, n}$

f\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=f_{0}+\sum _{j=1}^{n}f_{j}\left(X_{j}\right)+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{n}f_{jk}\left(X_{j},X_{k}\right)+\cdots +f_{12\dots n}

при условии, что это константа и интеграл каждого члена в суммах равен нулю, т. е. $f_{0}$

\int _{0}^{1}f_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}\left(X_{j_{1}},X_{j_{2}},\dots ,X_{j_{r}}\right)dX_{j_{k}}=0,{\text{ }}1\leq k\leq r.

Условная дисперсия, которая характеризует вклад каждого члена в общую дисперсию, равна $f\left(\mathbf {X} \right)$

V_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{2}\left(X_{j_{1}},X_{j_{2}},\dots ,X_{j_{r}}\right)dX_{j_{1}}dX_{j_{2}}\dots dX_{j_{r}}.

Общая дисперсия - это сумма всех условных дисперсий.

V=\sum _{j=1}^{n}V_{j}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{n}V_{jk}+\cdots +V_{12\dots n}.

Индекс чувствительности определяется как нормализованная условная дисперсия как

S_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}={\frac {V_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}}{V}}

особенно чувствительность первого порядка

S_{j}={\frac {V_{j}}{V}}

что указывает на основной эффект ввода . $X_{j}$

Кратные ряды Фурье [ править ]

Один из способов вычисления разложения, подобного ANOVA, основан на использовании нескольких рядов Фурье. Функция в единичном гиперкубе может быть расширена до многократно периодической функции, а разложение в кратный ряд Фурье имеет вид $f\left(\mathbf {X} \right)$

f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{m_{n}=-\infty }^{\infty }C_{m_{1}m_{2}...m_{n}}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\cdots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]},{\text{ for integers }}m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}

где коэффициент Фурье равен

C_{m_{1}m_{2}...m_{n}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\exp {\bigl [}-2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\dots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]}.

Разложение, подобное ANOVA, есть

{\begin{aligned}f_{0}&=C_{00\dots 0}\\f_{j}&=\sum _{m_{j}\neq 0}C_{0\dots m_{j}\dots 0}\exp {\bigl [}2\pi im_{j}X_{j}{\bigr ]}\\f_{jk}&=\sum _{m_{j}\neq 0}\sum _{m_{k}\neq 0}C_{0\dots m_{j}\dots m_{k}\dots 0}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{j}X_{j}+m_{k}X_{k}\right){\bigr ]}\\f_{12\dots n}&=\sum _{m_{1}\neq 0}\sum _{m_{2}\neq 0}\cdots \sum _{m_{n}\neq 0}C_{m_{1}m_{2}\dots m_{n}}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\cdots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]}.\end{aligned}}

Условная дисперсия первого порядка равна

{\begin{aligned}V_{j}&=\int _{0}^{1}f_{j}^{2}\left(X_{j}\right)dX_{j}\\&=\sum _{m_{j}\neq 0}\left|C_{0\dots m_{j}\dots 0}\right|^{2}\\&=2\sum _{m_{j}=1}^{\infty }\left(A_{m_{j}}^{2}+B_{m_{j}}^{2}\right)\end{aligned}}

где и - действительная и мнимая части соответственно $A_{m_{j}}$ $B_{m_{j}}$ $C_{0\dots m_{j}\dots 0}$

$A_{m_{j}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\cos \left(2\pi m_{j}X_{j}\right)dX_{1}dX_{2}\dots dX_{n}$

$B_{m_{j}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\sin \left(2\pi m_{j}X_{j}\right)dX_{1}dX_{2}\dots dX_{n}$

Эргодическая теорема [ править ]

Для вычисления коэффициентов Фурье необходимо вычислить многомерный интеграл. Один из способов оценить этот многомерный интеграл - преобразовать его в одномерный интеграл, выразив каждый входной параметр как функцию новой независимой переменной , как показано ниже. $s$

X_{j}\left(s\right)={\frac {1}{2\pi }}\left(\omega _{j}s{\text{ mod }}2\pi \right),j=1,2,\dots ,n

где - набор несоизмеримых частот, т. е. $\left\{\omega _{j}\right\}$

\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}\omega _{j}=0

для целого набора тогда и только тогда, когда для каждого . Тогда коэффициенты Фурье можно вычислить с помощью одномерного интеграла согласно эргодической теореме ^[7] $\left\{\gamma _{j}\right\}$ $\gamma _{j}=0$ $j$

$A_{m_{j}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\cos {\bigl (}2\pi m_{j}X_{j}\left(s\right){\bigr )}ds$

$B_{m_{j}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\sin {\bigl (}2\pi m_{j}X_{j}\left(s\right){\bigr )}ds$

Реализация [ править ]

Целочисленные частоты [ править ]

В лучшем случае одна из несоизмеримых частот может быть рациональной, а все остальные - иррациональными. Поскольку числовое значение иррационального числа не может быть точно сохранено в компьютере, при реализации требуется аппроксимация несоизмеримых частот всеми рациональными числами. Без потери общности частоты можно задавать как целые, а не как рациональные числа. Набор целых чисел примерно несоизмерим с порядком, если $\left\{\omega _{j}\right\}$ $\left\{\omega _{j}\right\}$ $M$

\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}\omega _{j}\neq 0

для

\sum _{j=1}^{n}\left|\gamma _{j}\right|\leq M+1

где - целое число. Точное несоизмеримое условие - это крайний случай, когда . $M$ $M\to \infty$

При использовании целочисленных частот функция в преобразованном одномерном интеграле является периодической, поэтому требуется только интегрирование по периоду . Коэффициенты Фурье можно приблизительно рассчитать как $2\pi$

{\begin{aligned}A_{m_{j}}&\approx {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds:={\hat {A}}_{m_{j}}\\B_{m_{j}}&\approx {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds:={\hat {B}}_{m_{j}}\end{aligned}}

Приближение несоизмеримых частот для конечнога приводит к ошибке несоответствия между истинными коэффициентами Фурье , и их оценка , . Чем больше порядок , тем меньше ошибка, но тем больше вычислительных усилий требуется для вычисления оценок в следующей процедуре. На практике часто устанавливается равным 4, и доступна таблица результирующих наборов частот, которые содержат до 50 частот. (McRae et al., 1982). $M$ $A_{m_{j}}$ $B_{m_{j}}$ ${\hat {A}}_{m_{j}}$ ${\hat {B}}_{m_{j}}$ $M$ $M$

Кривая поиска [ править ]

Преобразование ,, определяет кривую поиска в пространстве ввода. Если частоты несоизмеримы, кривая поиска может проходить через каждую точку во входном пространстве в диапазоне от 0 до, поэтому многомерный интеграл по входному пространству может быть точно преобразован в одномерный интеграл по кривой поиска. Однако, если частоты являются приблизительно несоизмеримыми целыми числами, кривая поиска не может пройти через каждую точку во входном пространстве. На самом деле поиск повторяется, поскольку функция преобразования периодическая, с периодом . Одномерный интеграл может быть вычислен за один период вместо бесконечного интервала для несоизмеримых частот; Однако ошибка вычислений возникает из-за приближения несоразмерности. $X_{j}\left(s\right)={\frac {1}{2\pi }}\left(\omega _{j}s{\text{ mod }}2\pi \right)$ $\omega _{j},j=1,\dots ,n$ $s$ $\infty$ $2\pi$

Кривая поиска
Кривая поиска в случае ω ₁ = π и ω ₂ = 7. Поскольку частоты несоизмеримы, кривая поиска не повторяется и может проходить через каждую точку квадрата.
Кривая поиска в случае ω ₁ = 3 и ω ₂ = 7. Поскольку частоты являются целыми числами, которые приблизительно несоизмеримы, кривая поиска повторяется и не может проходить через каждую точку квадрата.
Кривая поиска в случае ω ₁ = 11 и ω ₂ = 7. Поскольку частоты являются целыми числами, которые приблизительно несоизмеримы, кривая поиска повторяется и не может проходить через каждую точку квадрата.

Выборка [ править ]

Приближенный Фурье можно далее выразить как

{\hat {A}}_{m_{j}}={\begin{cases}0&m_{j}{\text{ odd}}\\{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}f{\bigl (}\mathbf {X} (s){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds&m_{j}{\text{ even}}\end{cases}}

а также

{\hat {B}}_{m_{j}}={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}f{\bigl (}\mathbf {X} (s){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds&m_{j}{\text{ odd}}\\0&m_{j}{\text{ even}}\end{cases}}

Ненулевые интегралы могут быть вычислены по точкам выборки.

{\begin{aligned}{\hat {A}}_{m_{j}}&={\frac {1}{2q+1}}\sum _{k=-q}^{q}f{\bigl (}\mathbf {X} (s_{k}){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s_{k}\right),m_{j}{\text{ even}}\\{\hat {B}}_{m_{j}}&={\frac {1}{2q+1}}\sum _{k=-q}^{q}f{\bigl (}\mathbf {X} (s_{k}){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s_{k}\right),m_{j}{\text{ odd }}\end{aligned}}

где равномерная выборка точки в IS $\left[-\pi /2,\pi /2\right]$

s_{k}={\frac {\pi k}{2q+1}},k=-q,\dots ,-1,0,1,\dots ,q.

Общее количество точек выборки должно удовлетворять критерию выборки Найквиста, т. Е. $2q+1$

2q+1\geq N\omega _{max}+1

где - наибольшая частота в, а - максимальный порядок вычисленных коэффициентов Фурье. $\omega _{max}$ $\left\{\omega _{k}\right\}$ $N$

Частичная сумма [ править ]

После вычисления оценочных коэффициентов Фурье условную дисперсию первого порядка можно аппроксимировать следующим образом:

{\begin{aligned}V_{j}&=2\sum _{m_{j}=1}^{\infty }\left(A_{m_{j}}^{2}+B_{m_{j}}^{2}\right)\\&\approx 2\sum _{m_{j}=1}^{\infty }\left({\hat {A}}_{m_{j}}^{2}+{\hat {B}}_{m_{j}}^{2}\right)\\&\approx 2\sum _{m_{j}=1}^{2}\left({\hat {A}}_{m_{j}}^{2}+{\hat {B}}_{m_{j}}^{2}\right)\\&=2\left({\hat {A}}_{m_{j}=2}^{2}+{\hat {B}}_{m_{j}=1}^{2}\right)\end{aligned}}

где вычисляется только частичная сумма первых двух членов, и для определения количества точек выборки. Использование частичной суммы обычно может дать достаточно хорошее приближение к общей сумме, поскольку члены, соответствующие основной частоте и частотам низкого порядка, обычно вносят наибольший вклад в общую сумму. Кроме того, коэффициент Фурье при суммировании является лишь оценкой истинного значения, и добавление большего количества членов более высокого порядка не поможет значительно повысить точность вычислений. Поскольку целые частоты не совсем несоизмеримы, существует два целых числа и такие, что может возникнуть интерференция между двумя частотами, если в суммирование включены члены более высокого порядка. $N=2$ $m_{j}$ $m_{k}$ $m_{j}\omega _{j}=m_{k}\omega _{k}.$

Аналогичным образом общая дисперсия может быть рассчитана как $f\left(\mathbf {X} \right)$

V\approx {\hat {A}}_{0}\left[f^{2}\right]-{\hat {A}}_{0}\left[f\right]^{2}

где обозначает оцененный коэффициент Фурье функции внутри скобок, а - квадрат коэффициента Фурье функции . Наконец, чувствительность, относящаяся к основному эффекту входных данных, может быть рассчитана путем деления условной дисперсии на общую дисперсию. ${\hat {A}}_{0}\left[f^{2}\right]$ $f^{2}$ ${\hat {A}}_{0}\left[f\right]^{2}$ $f$

Ссылки [ править ]

^ Cukier, RI, CM Фортуин, KE Шулер, А.Г. Печки и JH Schaibly (1973). Исследование чувствительности связанных реакционных систем к неопределенности скоростных коэффициентов. I Теория. Журнал химической физики , 59 , 3873–3878.
^ Шабли, JH и KE Shuler (1973). Исследование чувствительности связанных реакционных систем к неопределенности скоростных коэффициентов. II Приложения. Журнал химической физики , 59 , 3879–3888.
^ Cukier, РодАйленд, И. Н. Schaibly и К. Шулер (1975). Исследование чувствительности связанных реакционных систем к неопределенности скоростных коэффициентов. III. Анализ приближений. Журнал химической физики , 63 , 1140–1149.
↑ McRae, GJ, JW Tilden и JH Seinfeld (1982). Анализ глобальной чувствительности - вычислительная реализация теста амплитудной чувствительности Фурье (FAST). Компьютеры и химическая инженерия , 6 , 15–25.
^ Арчер ГЭБ, А. Saltelli и И. М. Соболь (1997). Меры чувствительности, ANOVA-подобные методы и использование бутстрапа. Журнал статистических вычислений и моделирования , 58 , 99–120.
^ Saltelli А. С. Tarantola и КПС Чан (1999). Независимый от модели количественный метод глобального анализа чувствительности выходных данных модели. Технометрика , 41 , 39–56.
^ Вейль, Х. (1938). Среднее движение. Американский журнал математики , 60 , 889–896.

[1] Cukier, RI, CM Фортуин, KE Шулер, А.Г. Печки и JH Schaibly (1973). Исследование чувствительности связанных реакционных систем к неопределенности скоростных коэффициентов. I Теория. Журнал химической физики , 59 , 3873–3878.

[2] Шабли, JH и KE Shuler (1973). Исследование чувствительности связанных реакционных систем к неопределенности скоростных коэффициентов. II Приложения. Журнал химической физики , 59 , 3879–3888.

[3] Cukier, РодАйленд, И. Н. Schaibly и К. Шулер (1975). Исследование чувствительности связанных реакционных систем к неопределенности скоростных коэффициентов. III. Анализ приближений. Журнал химической физики , 63 , 1140–1149.

[4] McRae, GJ, JW Tilden и JH Seinfeld (1982). Анализ глобальной чувствительности - вычислительная реализация теста амплитудной чувствительности Фурье (FAST). Компьютеры и химическая инженерия , 6 , 15–25.

[5] Арчер ГЭБ, А. Saltelli и И. М. Соболь (1997). Меры чувствительности, ANOVA-подобные методы и использование бутстрапа. Журнал статистических вычислений и моделирования , 58 , 99–120.

[6] Saltelli А. С. Tarantola и КПС Чан (1999). Независимый от модели количественный метод глобального анализа чувствительности выходных данных модели. Технометрика , 41 , 39–56.

[7] Вейль, Х. (1938). Среднее движение. Американский журнал математики , 60 , 889–896.

[1]