Теорема обращения Фурье

В математике теорема обращения Фурье утверждает, что для многих типов функций можно восстановить функцию по ее преобразованию Фурье . Интуитивно это можно рассматривать как утверждение, что если мы знаем всю информацию о частоте и фазе волны, то мы можем точно реконструировать исходную волну.

Теорема гласит, что если у нас есть функция, удовлетворяющая определенным условиям, и мы используем соглашение для преобразования Фурье , что ${\ Displaystyle е: \ mathbb {R} \ к \ mathbb {C}}$

Другой способ сформулировать теорему состоит в том, что если является оператором флипа, т.е. ${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle (Rf) (х): = е (- х)}$

Теорема верна, если оба и их преобразование Фурье абсолютно интегрируемы (в смысле Лебега ) и непрерывны в точке . Однако даже при более общих условиях верны варианты теоремы обращения Фурье. В этих случаях приведенные выше интегралы могут не сходиться в обычном смысле.${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle х}$

В этом разделе мы предполагаем, что это интегрируемая непрерывная функция. Используйте соглашение для преобразования Фурье , которое ${\ Displaystyle е}$

Наиболее распространенная формулировка теоремы обращения Фурье состоит в том, чтобы сформулировать обратное преобразование как интеграл. Для любой интегрируемой функции и всего набора${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

Некоторые задачи, такие как некоторые дифференциальные уравнения, легче решать, когда применяется преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.