Уравнения Френеля

Частичное прохождение и отражение импульса, идущего от среды с низким показателем преломления к среде с высоким показателем преломления.

При падении, близком к скользящему, границы раздела сред кажутся зеркальными, особенно из-за отражения s- поляризации, несмотря на то, что они являются плохими отражателями при нормальном падении. Поляризованные солнцезащитные очки блокируют сек поляризацию, что значительно снижает блики от горизонтальных поверхностей.

Уравнения Френеля (или коэффициенты Френеля ) описывают отражение и передачу света (или электромагнитного излучения в целом) при падении на границу раздела между различными оптическими средами . Они были выведены Френель ( / ф г eɪ н ɛ л / ) , который был первым , чтобы понять , что свет представляет собой поперечные волны , даже при том, что никто не понял , что «вибрации» волны были электрические и магнитные поля . Впервые поляризацияможно понять количественно, поскольку уравнения Френеля правильно предсказывают различное поведение волн s- и p- поляризации, падающих на границу раздела материалов.

Обзор [ править ]

Когда свет падает на границу раздела между средой с показателем преломления n ₁ и второй средой с показателем преломления n ₂ , могут происходить как отражение, так и преломление света. Уравнения Френеля описывают отношения электрических полей отраженных и прошедших волн к электрическому полю падающей волны (магнитные поля волн также можно связать с помощью аналогичных коэффициентов). Поскольку это комплексные отношения, они описывают не только относительную амплитуду, но и фазовые сдвиги между волнами.

Уравнения предполагают, что граница раздела между средами плоская, а среда однородная и изотропная . ^[1] Предполагается, что падающий свет представляет собой плоскую волну , что достаточно для решения любой проблемы, поскольку любое падающее световое поле может быть разложено на плоские волны и поляризации.

S и P поляризации [ править ]

Плоскость падения определяется вектором распространения падающего излучения и вектором нормали к поверхности.

Есть два набора коэффициентов Френеля для двух различных компонент линейной поляризации падающей волны. Поскольку любое состояние поляризации может быть разложено на комбинацию двух ортогональных линейных поляризаций, этого достаточно для любой задачи. Точно так же неполяризованный (или «случайно поляризованный») свет имеет равную мощность в каждой из двух линейных поляризаций.

S-поляризация относится к поляризации электрического поля волны, нормального к плоскости падения ( направление $z$ в приведенном ниже выводе); тогда магнитное поле находится в плоскости падения. Поляризация p относится к поляризации электрического поля в плоскости падения ( плоскость $xy$ в приведенном ниже выводе); тогда магнитное поле перпендикулярно плоскости падения.

Хотя отражательная способность и пропускание зависят от поляризации, при нормальном падении ( θ = 0) между ними нет различия, поэтому все состояния поляризации регулируются одним набором коэффициентов Френеля (и ниже упоминается еще один особый случай, в котором это верно ).

Коэффициенты отражения и передачи мощности (интенсивности) [ править ]

Переменные, используемые в уравнениях Френеля

Коэффициенты мощности: воздух-стекло

Коэффициенты мощности: стекло в воздух

В диаграмме справа, падающая плоская волна в направлении луча IO ударяет интерфейс между двумя средами преломления п ₁ и п ₂ в точке O . Часть волны отражается в направлении OR , а часть преломляется в направлении OT . Углы, которые падающие, отраженные и преломленные лучи составляют к нормали к границе раздела, задаются как θ _i , θ _r и θ _t соответственно.

Связь между этими углами задается законом отражения :

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {i}} = \ theta _ {\ mathrm {r}},}

и закон Снеллиуса :

n_{1}\sin \theta _{\mathrm {i} }=n_{2}\sin \theta _{\mathrm {t} }.

Поведение света, падающего на границу раздела, решается путем рассмотрения электрического и магнитного полей, составляющих электромагнитную волну , и законов электромагнетизма , как показано ниже . Получены соотношения амплитуд электрического поля (или магнитного поля) волн, но на практике чаще интересуют формулы, определяющие коэффициенты мощности , поскольку мощность (или энергетическая освещенность ) - это то, что можно непосредственно измерить на оптических частотах. Мощность волны обычно пропорциональна квадрату амплитуды электрического (или магнитного) поля.

Мы называем долю падающей мощности, которая отражается от границы раздела, коэффициентом отражения (или «отражательной способностью», или «коэффициентом отражения мощности») R , а часть, которая преломляется во вторую среду, называется коэффициентом пропускания (или «проницаемостью»). , или «коэффициент передачи мощности») Т . Обратите внимание, что это то, что будет измеряться прямо на каждой стороне границы раздела и не учитывать затухание волны в поглощающей среде после передачи или отражения. ^[2]

Коэффициент отражения для s-поляризованного света равен

R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2},

в то время как коэффициент отражения для p-поляризованного света равен

R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2},

где $Z 1$ и $Z 2$ - волновые сопротивления сред 1 и 2 соответственно.

Мы предполагаем, что среда немагнитная (т.е. μ ₁ = μ ₂ = μ 0 ), что обычно является хорошим приближением на оптических частотах (и для прозрачных сред на других частотах). ^[3] Тогда волновые сопротивления определяются исключительно показателями преломления n ₁ и n ₂ :

Z_{i}={\frac {Z_{0}}{n_{i}}}\,,

где $Z 0$ - импеданс свободного пространства, а $i$  = 1,2. Делая эту замену, мы получаем уравнения, использующие показатели преломления:

R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}}\right|^{2}\!,

R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}\!.

Вторая форма каждого уравнения выводится из первой путем исключения θ _t с использованием закона Снеллиуса и тригонометрических тождеств .

Как следствие сохранения энергии , можно найти передаваемую мощность (или, точнее, освещенность : мощность на единицу площади) просто как часть падающей мощности, которая не отражается: ^[4]

T_{\mathrm {s} }=1-R_{\mathrm {s} }

и

T_{\mathrm {p} }=1-R_{\mathrm {p} }

Обратите внимание, что все такие интенсивности измеряются в единицах излучения волны в направлении, нормальном к границе раздела; это также то, что измеряется в типичных экспериментах. Это число может быть получено из освещенности в направлении падающей или отраженной волны (определяемой величиной вектора Пойнтинга волны ), умноженной на cos  θ для волны под углом θ к нормальному направлению (или, что то же самое, взяв скалярное произведение вектора Пойнтинга с единичным вектором, нормальным к интерфейсу). В случае коэффициента отражения этим усложнением можно пренебречь, поскольку cos  θ _i = cos  θ _r, так что отношение отраженной и падающей освещенности в направлении волны такое же, как и в направлении, нормальном к границе раздела.

Хотя эти соотношения описывают основы физики, во многих практических приложениях речь идет о «естественном свете», который можно описать как неполяризованный. Это означает, что в s- и p- поляризациях имеется равная мощность , так что эффективная отражательная способность материала является просто средним из двух коэффициентов отражения:

R_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{2}}\left(R_{\mathrm {s} }+R_{\mathrm {p} }\right).

Для приложений с низкой точностью, связанных с неполяризованным светом, таких как компьютерная графика , вместо точного вычисления эффективного коэффициента отражения для каждого угла часто используется приближение Шлика .

Особые случаи [ править ]

Нормальная заболеваемость [ править ]

Для случая нормального падения , и нет различия между s- и p-поляризацией. Таким образом, коэффициент отражения упрощается до $\theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {t} }=0$

R=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}

.

 Видно, что для обычного стекла ( n ₂ ≈ 1,5), окруженного воздухом ( n ₁ = 1), коэффициент отражения мощности при нормальном падении составляет около 4% или 8% с учетом обеих сторон стеклянного стекла.

Угол зрения Брюстера [ править ]

На границе диэлектрика от $n 1$ до $n 2$ существует определенный угол падения, при котором $R p$ стремится к нулю, и падающая волна p-поляризации полностью преломляется. Этот угол известен как угол Брюстера и составляет около 56 ° для n ₁  = 1 и n ₂  = 1,5 (типичное стекло).

Полное внутреннее отражение [ править ]

Когда свет, движущийся в более плотной среде, падает на поверхность менее плотной среды (то есть $n 1 > n 2$ ), за пределами определенного угла падения, известного как критический угол , весь свет отражается и $R s = R p = 1$ . Это явление, известное как полное внутреннее отражение , происходит при углах падения, для которых закон Снеллиуса предсказывает, что синус угла преломления будет превышать единицу (тогда как на самом деле sin  θ ≤ 1 для всех действительных θ ). Для стекла с n  = 1,5, окруженного воздухом, критический угол составляет примерно 41 °.

Комплексные амплитудные коэффициенты отражения и передачи[ редактировать ]

Приведенные выше уравнения, связывающие мощности (которые могут быть измерены, например, с помощью фотометра ), получены из уравнений Френеля, которые решают физическую проблему в терминах комплексных амплитуд электромагнитного поля , то есть с учетом фазы в дополнение к мощности (что важно при многолучевом распространении например). Эти базовые уравнения обычно предоставляют комплексные отношения этих электромагнитных полей и могут принимать несколько различных форм, в зависимости от используемых формализмов. Комплексные амплитудные коэффициенты обычно представлены строчными буквами r и t (тогда как коэффициенты мощности пишутся с заглавной буквы).

Амплитудные коэффициенты: воздух-стекло

Амплитудные коэффициенты: стекло в воздух

В дальнейшем коэффициент отражения $r$ представляет собой отношение комплексной амплитуды электрического поля отраженной волны к амплитуде падающей волны. Коэффициент передачи $t$ - это отношение комплексной амплитуды электрического поля прошедшей волны к амплитуде падающей волны. Нам потребуются отдельные формулы для s- и p- поляризаций. В каждом случае мы предполагаем, что плоская волна падает под углом падения на плоскую границу раздела, отражается под углом , а прошедшая волна - под углом , соответствующим приведенному выше рисунку. Отметим, что в случае границы раздела в поглощающий материал (где n $\theta _{\mathrm {i} }$ $\theta _{\mathrm {r} }$ $\theta _{\mathrm {t} }$ является сложным) или полным внутренним отражением, угол передачи может не соответствовать действительному числу.

Мы рассматриваем знак электрического поля волны в зависимости от направления волны. Следовательно, для p- поляризации при нормальном падении положительное направление электрического поля падающей волны (слева) противоположно направлению отраженной волны (также слева); для s поляризации оба одинаковы (вверх). ^{[Примечание 1]}

Используя эти соглашения, ^[5]^[6]

{\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{aligned}}

Видно, что $t s = r s + 1$ ^[7] и $п 2 / п 1 т п = р п +1$ . Можно написать аналогичные уравнения применительно к соотношению магнитных полей волн, но обычно это не требуется.

Поскольку отраженная и падающая волны распространяются в одной и той же среде и образуют один и тот же угол с нормалью к поверхности, коэффициент отражения мощности R равен квадрату величины r : ^[8]

R=|r|^{2}.

С другой стороны, вычисление коэффициента передачи мощности $T$ менее прямолинейно, поскольку свет распространяется в разных направлениях в двух средах. Более того, волновые сопротивления в двух средах различаются; мощность пропорциональна квадрату амплитуды только в том случае, если импедансы среды одинаковы (как и для отраженной волны). Это приводит к: ^[9]

T={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}|t|^{2}.

Коэффициент $n 2 / n 1$ является обратной величиной отношения волновых сопротивлений среды (поскольку мы предполагаем, что μ  =  μ ₀ ). Коэффициент $cos (θ t) / cos (θ i)$ основан на выражении мощности в направлении, нормальном к границе раздела, как для падающей, так и для прошедшей волны.

В случае полного внутреннего отражения, когда передача энергии $T$ равна нулю, $t,$ тем не менее, описывает электрическое поле (включая его фазу) сразу за границей раздела. Это исчезающее поле, которое не распространяется как волна (таким образом, $T$  = 0), но имеет ненулевые значения очень близко к границе раздела. Сдвиг фазы отраженной волны от полного внутреннего отражения может быть аналогичным образом получен из фазовых углов зрения $г р$ и $г ы$ (чьи величины равна единица). Эти фазовые сдвиги различны для s и pволны, что является хорошо известным принципом, согласно которому полное внутреннее отражение используется для преобразования поляризации .

Альтернативные формы [ править ]

В приведенной выше формуле $R s,$ если мы помещаем (закон Снеллиуса) и умножить числитель и знаменатель $n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}$ $1 / п 1 Sin & thetas ; т,$ получим ^[10]^[11]

r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.

Если сделать то же самое с формулой для $г р,$ то результат легко показать, что эквивалентно ^[12]^[13]

r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.

Эти формулы ^[14]^[15]^[16] известны , соответственно , как синусоидального закона Френеля и касательного закона Френеля . ^[17] Несмотря на то, при нормальном падении эти выражения сводятся к 0/0, то можно увидеть , что они дают правильные результаты в пределе как $θ$ $я$ $\to 0$ .

Несколько поверхностей [ править ]

Когда свет многократно отражается между двумя или более параллельными поверхностями, несколько лучей света обычно интерферируют друг с другом, что приводит к суммарным амплитудам передачи и отражения, которые зависят от длины волны света. Однако интерференция наблюдается только тогда, когда поверхности находятся на расстояниях, сравнимых или меньших, чем длина когерентности света , которая для обычного белого света составляет несколько микрометров; для света от лазера он может быть намного больше .

Примером интерференции между отражениями являются переливающиеся цвета мыльного пузыря или тонких масляных пленок на воде. Применения включают интерферометры Фабри – Перо , просветляющие покрытия и оптические фильтры . Количественный анализ этих эффектов основан на уравнениях Френеля, но с дополнительными расчетами для учета интерференции.

Метод трансфер-матрицы или рекурсивный метод Руара ^[18] можно использовать для решения задач с несколькими поверхностями.

История [ править ]

В 1808 году Этьен-Луи Малюс обнаружил, что когда луч света отражается от неметаллической поверхности под соответствующим углом, он ведет себя как один из двух лучей, выходящих из кристалла кальцита с двойным преломлением . ^[19] Позже он ввел термин поляризация для описания этого поведения. В 1815 году зависимость поляризационного угла от показателя преломления экспериментально определил Дэвид Брюстер . ^[20] Но причина этой зависимости была настолько глубокой загадкой, что в конце 1817 года Томас Янг написал:

[Т] великая трудность из всех, которая состоит в том, чтобы определить достаточную причину отражения или неотражения поляризованного луча, вероятно, останется еще долго, чтобы умертвить тщеславие амбициозной философии, совершенно не разрешенной какой-либо теорией. ^[21]

Однако в 1821 году Огюстен-Жан Френель получил результаты, эквивалентные своим законам синуса и касания (см. Выше), моделируя световые волны как поперечные упругие волны с колебаниями, перпендикулярными тому, что ранее называлось плоскостью поляризации . Френель быстро подтвердил экспериментально, что уравнения правильно предсказывают направление поляризации отраженного луча, когда падающий луч поляризован под углом 45 ° к плоскости падения для света, падающего из воздуха на стекло или воду; в частности, уравнения дают правильную поляризацию под углом Брюстера. ^[22]Об экспериментальном подтверждении сообщалось в «постскриптуме» к работе, в которой Френель впервые раскрыл свою теорию о том, что световые волны, включая «неполяризованные» волны, были чисто поперечными. ^[23]

Детали вывода Френеля, в том числе современные формы закона синуса и закона касания, были приведены позже в мемуарах, прочитанных Французской академией наук в январе 1823 года. ^[24] Этот вывод сочетал сохранение энергии с непрерывностью касательной вибрации. на интерфейсе, но не учитывает никаких условий нормальной составляющей вибрации. ^[25] Первый вывод из принципов электромагнитного поля дал Хендрик Лоренц в 1875 году. ^[26]

В тех же мемуарах от января 1823 г. ^[24] Френель обнаружил, что для углов падения, превышающих критический, его формулы для коэффициентов отражения ( $r s$ и $r p$ ) дают комплексные значения с единичными величинами. Отметив, что величина, как обычно, представляет собой отношение пиковых амплитуд, он предположил, что аргумент представляет собой фазовый сдвиг, и проверил гипотезу экспериментально. ^[27] Включенная проверка

расчет угла падения, который привел бы к общей разности фаз в 90 ° между компонентами s и p для различного числа полных внутренних отражений под этим углом (обычно было два решения),
подвергая свет определенному количеству полных внутренних отражений под этим углом падения с начальной линейной поляризацией под 45 ° к плоскости падения, и
проверка того, что конечная поляризация была круговой . ^[28]

Таким образом, у него наконец была количественная теория того, что мы теперь называем ромбом Френеля - устройством, которое он использовал в экспериментах в той или иной форме с 1817 года (см. Ромб Френеля, § История ).

Успех комплексного коэффициента отражения вдохновил Джеймса МакКаллага и Огюстена-Луи Коши , начиная с 1836 года, проанализировать отражение от металлов с помощью уравнений Френеля с комплексным показателем преломления . ^[29]

За четыре недели до того, как он представил свою завершенную теорию полного внутреннего отражения и ромба, Френель представил мемуары ^[30], в которых он ввел необходимые термины линейная поляризация , круговая поляризация и эллиптическая поляризация , ^[31] и в которых он объяснил оптическое вращение. как разновидность двойного лучепреломления : линейно-поляризованный свет можно разделить на две компоненты с круговой поляризацией, вращающиеся в противоположных направлениях, и если они распространяются с разными скоростями, разность фаз между ними - следовательно, ориентация их линейно-поляризованной результирующей - будет изменяться непрерывно с расстоянием. ^[32]

Таким образом, интерпретация Френелем сложных значений его коэффициентов отражения ознаменовала слияние нескольких потоков его исследований и, возможно, существенное завершение его реконструкции физической оптики на основе гипотезы поперечных волн (см. Огюстен-Жан Френель ).

Теория [ править ]

Здесь мы систематически выводим вышеуказанные соотношения из электромагнитных предпосылок.

Параметры материала [ править ]

Чтобы вычислить значимые коэффициенты Френеля, мы должны предположить, что среда (приблизительно) линейна и однородна . Если среда также изотропная , четыре поле вектора $E$ $,$ $B$ $,$ $D$ $,$ $H$ имеет связанные с

D = ϵ E

B = μ H

 ,

где ϵ и μ - скаляры, известные соответственно как (электрическая) диэлектрическая проницаемость и (магнитная) проницаемость среды. Для вакуума они имеют значения ϵ ₀ и μ ₀ соответственно. Поэтому мы определим относительную диэлектрическую проницаемость (или диэлектрической постоянной ) $ε отн = е / ε 0$ , и относительную проницаемость $М отн = μ / μ 0$ .

В оптике принято считать, что среда немагнитна, так что μ _rel  = 1. Для ферромагнитных материалов на радио- / микроволновых частотах необходимо учитывать большие значения μ _rel . Но для оптически прозрачных сред и для всех других материалов на оптических частотах (кроме возможных метаматериалов ) μ _rel действительно очень близко к 1; то есть μ  ≈  μ ₀ .

В оптике обычно известен показатель преломления среды n , который представляет собой отношение скорости света в вакууме ( $c$ ) к скорости света в среде. При анализе частичного отражения и пропускания, один также заинтересован в электромагнитной волны импеданса $Z$ , который представляет собой отношение амплитуды $Е$ к амплитуде $Н$ . Поэтому желательно , чтобы выразить п и $Z$ в терминах е и ц , а оттуда связать $Z$ к п. Последнее выше соотношение, тем не менее, будет делать это удобно , чтобы получить коэффициенты отражения в терминах волновой проводимости $Y$ , которая является обратной величиной волнового сопротивления $Z$ .

В случае однородных плоских синусоидальных волн волновой импеданс или адмиттанс известен как собственное импеданс или адмиттанс среды. Это тот случай, для которого необходимо вычислить коэффициенты Френеля.

Плоские электромагнитные волны [ править ]

В однородной плоской синусоидальной электромагнитной волны , то электрическое поле $Е$ имеет вид

\mathbf {E_{k}} e^{i(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)},

( 1 )

где $E k$ - (постоянный) комплексный вектор амплитуды, $i$ - мнимая единица , $k$ - волновой вектор (величина $k$ - угловое волновое число ), $r$ - вектор положения , ω - угловая частота , $t$ - время и Подразумевается, что действительная часть выражения - это физическое поле. ^{[Примечание 2]} Значение выражения не изменяется, если положение $r$ изменяется в направлении, нормальном к $k$ ; следовательно $k$ нормально к волновым фронтам .

Чтобы $сдвинуть$ фазу на угол ϕ , мы заменим $ωt$ на $ωt + ϕ$ (т.е. заменим $-ωt$ на $-ωt - ϕ$ ), в результате чего (комплексное) поле умножится на $e -iϕ$ . Таким образом, прогрессирование фазы эквивалентно умножению на комплексную константу с отрицательным аргументом . Это становится более очевидным , когда поле ( 1 ) раскладывается в $E$ $K$ $е$ $я$ $k\cdotr$ $е$ $-iωt$ $,$ где последний множитель содержит зависимость от времени. Этот множитель также означает, что дифференцирование по времени соответствует умножению на $-iω$ . ^{[Заметка 3]}

Если ℓ является компонентом $г$ в направлении $к,$ поле ( 1 ) можно записать $E$ $K$ $е$ $я$ $($ $kℓ-ωt$ $)$ . Если аргумент $е$ $я$ $(\dots)$ должна быть постоянным, ℓ должна возрастать со скоростью , известной как фазовая скорость $($ $об$ $р$ $)$ . Это , в свою очередь, равно . Решение для $k$ дает $\omega /k\,,\,$ $c/n$

k=n\omega /c\,

.

( 2 )

Как обычно, мы $опускаем$ зависящий от времени множитель $e -iωt,$ который понимается как умножение каждой комплексной величины поля. Электрическое поле для однородной плоской синусоидальной волны будет тогда представлено вектором, зависящим от местоположения.

\mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r} }

.

( 3 )

Для полей этой формы, закон Фарадея и закон Максвелла-Ампер соответственно сводятся к ^[33]

{\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}

Полагая $B$ $=$ $μ$ $H$ и $D$ $=$ $ε$ $E$ $,$ как описано выше, можно исключить $В$ и $D$ , чтобы получить уравнения только $Е$ и $Н$ :

{\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}

Если параметры материала ϵ и μ являются действительными (как в диэлектрике без потерь), эти уравнения показывают, что $k, E, H$ образуют правую ортогональную триаду , так что те же уравнения применяются к величинам соответствующих векторов. Взяв уравнения величины и подставив из ( 2 ), получим

{\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{aligned}}

где $Н$ и $Е$ являются величины $Н$ и $Е$ . Умножение последних двух уравнений дает

n=c\,{\sqrt {\mu \epsilon }}\,.

( 4 )

Разделив (или кросс-умножение) один и то же два уравнения дает $Н$ $=$ $YE$ $,$ где

Y={\sqrt {\epsilon /\mu }}\,

.

( 5 )

Это внутренняя доступность .

Из формулы ( 4 ), получаем фазовую скорость . Для вакуума это сводится к . Разделив второй результат на первый, получим $c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}$ $c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}$

n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,

.

Для немагнитной среды (обычный случай) это становится . $n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}$

( Принимая обратную ( 5 ), нахожу , что характеристическая сопротивление находится . В вакууме это принимает значение , известное как импеданс свободного пространства . По делению . Для немагнитнога среды, это становится ) $Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}$ $Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,$ $Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}$ $Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.$

Волновые векторы [ править ]

Инцидент, отраженной и прошедшей волновые векторы (

K I, K г,

и

к т

), для падения из среды с показателем преломления

п 1

к среде с показателем преломления

п 2

. Красные стрелки перпендикулярны волновым векторам.

В декартовой системе координат $(х, у, г)$ , пусть область $у$ $<$ $0$ имеет показатель преломления $п$ $1$ $,$ присущую допуска $Y$ $1$ $,$ и т.д., и пусть область $у$ $>$ $0$ имеет показатель преломления $п$ $2$ $,$ внутреннюю проводимость $Y$ $2$ $и$ т. д. Тогда плоскость $xz$ является границей раздела, а ось $y$ перпендикулярна границе раздела (см. диаграмму). Пусть $я$ и $j$ (жирным римским шрифтом ) - единичные векторы в направлениях $x$ и $y$ соответственно. Пусть плоскостью падения будет плоскость $xy$ (плоскость страницы) с углом падения $θ i,$ измеренным от $j$ к $i$ . Пусть угол преломления, измеренный в том же смысле, равен $θ t,$ где нижний индекс $t$ означает переданный (за исключением $r$ для отраженного ).

При отсутствии доплеровских сдвигов , ω не изменяется при отражении и преломлении. Следовательно, согласно ( 2 ) величина волнового вектора пропорциональна показателю преломления.

Таким образом, при заданном со , если мы переопределять $K$ в качестве величины волнового вектора в контрольной среде (для которого $п = 1$ ), то волновой вектор имеет величину $п 1 K$ в первой среде (область $у$ $<$ $0$ на диаграмме) и величины $п$ $2$ $к$ во второй среде. Из величин и геометрии мы находим, что волновые векторы равны

{\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\end{aligned}}

где последний шаг использует закон Снеллиуса. Соответствующие скалярные произведения в векторной форме ( 3 ) равны

{\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}+y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}-y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} &=k(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}})\,.\end{aligned}}

( 6 )

Следовательно:

На .

y=0\,,~~~\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =n_{1}kx\sin \theta _{\text{i}}\,

( 7 )

В ы компоненты [ править ]

Для s- поляризации поле $E$ параллельно оси $z$ и, следовательно, может быть описано его составляющей в направлении $z$ . Пусть коэффициенты отражения и пропускания быть $г с$ и $т с,$ соответственно. Тогда, если взять падающее $E-$ поле с единичной амплитудой, векторная форма ( 3 ) его $z-$ компоненты будет

E_{\text{i}}=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} },

( 8 )

а отраженное и переданное поля в той же форме

{\begin{aligned}E_{\text{r}}&=r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{t}}&=t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}

( 9 )

Согласно соглашению о знаках, используемому в этой статье, положительный коэффициент отражения или пропускания - это тот, который сохраняет направление поперечного поля, что означает (в данном контексте) поле, нормальное к плоскости падения. Для s- поляризации это означает поле $E.$ Если падающие, отраженные и прошедшие поля $E$ (в приведенных выше уравнениях) находятся в направлении $z$ («вне страницы»), то соответствующие поля $H$ находятся в направлениях красных стрелок, поскольку $k$ $,$ $E$ $,$ $H$ образуют правую ортогональную триаду. $H$ Поэтому поля могут быть описаны с помощью их компонентов в направлении этих стрелок, обозначенных $H$ $я$ $,$ $Н$ $г$ $,$ $Н$ $т$ . Тогда, так как $H$ $=$ $YE$ $,$

{\begin{aligned}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}

( 10 )

На границе раздела, в соответствии с обычными условиями границы раздела для электромагнитных полей , тангенциальные компоненты полей $E$ и $H$ должны быть непрерывными; то есть,

\left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}+E_{\text{r}}&=E_{\text{t}}\\H_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-H_{\text{r}}\cos \theta _{\text{i}}&=H_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\end{aligned}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0\,

.

( 11 )

Когда мы заменяем из уравнений ( 8 ) на ( 10 ), а затем из ( 7 ), экспоненциальные множители сокращаются, так что условия интерфейса сводятся к системным уравнениям

{\begin{aligned}1+r_{\text{s}}&=\,t_{\text{s}}\\Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}r_{\text{s}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,Y_{2}t_{\text{s}}\cos \theta _{\text{t}}\,,\end{aligned}}

( 12 )

которые легко решается для $т с$ и $т ев,$ получа

r_{\text{s}}={\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}

( 13 )

и

t_{\text{s}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,

.

( 14 )

При нормальном падении $($ $θ$ $я$ $= θ$ $т$ $=$ $0),$ обозначается дополнительным индексом 0, эти результаты становятся

r_{\text{s0}}={\frac {Y_{1}-Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}}}

( 15 )

и

t_{\text{s0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}}\,

.

( 16 )

При скользящем падении $($ $θ$ $я$ $\to 90 °)$ , мы имеем $сов$ $θ$ $я$ $\to 0$ $,$ следовательно , $г$ $ы$ $\to$ $-1$ и $т$ $ы$ $\to 0$ .

В р компоненты [ править ]

Для p- поляризации падающее, отраженное и прошедшее $E-$ поля параллельны красным стрелкам и, следовательно, могут быть описаны их компонентами в направлениях этих стрелок. Пусть эти компоненты будут $Е$ $я$ $,$ $Е$ $г$ $,$ $Е$ $т$ (переосмысление символов для нового контекста). Пусть коэффициенты отражения и передачи равны $r$ $p$ и $t$ $p$ . Тогда, если взять падающее поле $E$ с единичной амплитудой, мы имеем

{\begin{aligned}E_{\text{i}}&=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{r}}&=r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{t}}&=t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}

( 17 )

Если поля $E$ расположены в направлениях красных стрелок, то для того, чтобы $k$ $,$ $E$ $,$ $H$ образовали правую ортогональную триаду, соответствующие поля $H$ должны быть в направлении $-z$ («на страницу»). и поэтому могут быть описаны своими компонентами в этом направлении. Это согласуется с принятым знаком конвенцией, а именно , что положительное отражение или передачи коэффициент является тот , который сохраняет направление поля поперечного ( $Н$ поля в случае р поляризации ) . Согласие другого Поле с красными стрелками показывает альтернативное определение соглашения о знаках: положительный коэффициент отражения или передачи - это тот, для которого вектор поля в плоскости падения указывает на ту же среду до и после отражения или передачи. ^[34]

Таким образом, для падающей, отраженной и передаваемых $H$ полей, пусть соответствующие компоненты в $-z$ направлении будет $Н$ $я$ $,$ $Н$ $г$ $,$ $Н$ $т$ . Тогда, так как $H$ $=$ $YE$ $,$

{\begin{aligned}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}

( 18 )

На границе раздела тангенциальные компоненты полей $E$ и $H$ должны быть непрерывными; то есть,

\left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-E_{\text{r}}\cos \theta _{\text{i}}&=E_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\\H_{\text{i}}+H_{\text{r}}&=H_{\text{t}}\end{aligned}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0\,

.

( 19 )

Когда мы производим замену из уравнений ( 17 ) и ( 18 ), а затем из ( 7 ), экспоненциальные множители снова сокращаются, так что условия интерфейса сводятся к

{\begin{aligned}\cos \theta _{\text{i}}-r_{\text{p}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,t_{\text{p}}\cos \theta _{\text{t}}\\Y_{1}+Y_{1}r_{\text{p}}&=\,Y_{2}t_{\text{p}}\,.\end{aligned}}

( 20 )

Решение для $г р$ и $т р,$ мы находим

r_{\text{p}}={\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}

( 21 )

и

t_{\text{p}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,

.

( 22 )

При нормальном падении $($ $θ$ $я$ $= θ$ $т$ $=$ $0),$ обозначается дополнительным индексом 0, эти результаты становятся

r_{\text{p0}}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}

( 23 )

и

t_{\text{p0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}\,

.

( 24 )

При скользящем падении $($ $θ$ $я$ $\to 90 °)$ , мы снова имеем $сов$ $θ$ $я$ $\to 0$ $,$ следовательно , $г$ $р$ $\to$ $-1$ и $т$ $р$ $\to 0$ .

Сравнивая ( 23 ) и ( 24 ) с ( 15 ) и ( 16 ), мы видим, что при нормальном падении, согласно принятому соглашению о знаках, коэффициенты передачи для двух поляризаций равны, тогда как коэффициенты отражения имеют равные величины, но противоположные знаки . Хотя это столкновение знаков является недостатком конвенции, сопутствующим преимуществом является то, что знаки совпадают при падении на пастбище .

Коэффициенты мощности (отражательная способность и коэффициент пропускания) [ править ]

Вектор Пойнтинга для волны является вектор, составляющая в любом направлении является освещенность (мощность на единицу площади) этой волны на поверхности , перпендикулярной к этому направлению. Для плоской синусоидальной волны вектор Пойнтинга $1 / 2 Re {E \times H *},$ где $Е$ и $Н$ связаны только с волной в вопросе, а звездочка обозначает комплексное сопряжение. Внутри диэлектрика без потерь (обычный случай) $E$ и $H$ находятся в фазе и перпендикулярны друг другу и волновому вектору $k$ ; поэтому для s-поляризации, используякомпоненты $z$ и $xy$ $E$ и $H$ соответственно (или для p-поляризации, используякомпоненты $xy$ и $-z$ $E$ и $H$ ),облученность в направлении $к$ задается просто $EH /$ 2, который является $Е$ $2$ $/$ $2Z$ в среде собственного импеданса $Z$ $= 1 /$ $Y$ . Чтобы вычислить энергетическую освещенность в направлении, перпендикулярном границе раздела, как нам потребуется при определении коэффициента передачи мощности, мы могли бы использовать только компонент $x$ (а не полную компоненту $xy$ ) $H$ или $E$ или, что то же самое, просто умножить $EH$ $/ 2$ с помощью правильного геометрического фактора, получение $($ $Е$ $2 ⁄ 2Z) cos θ$ .

Из уравнений ( 13 ) и ( 21 ), возведя в квадрат величины, мы находим, что коэффициент отражения (отношение отраженной мощности к падающей мощности) равен

R_{\text{s}}=\left|{\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}

( 25 )

для s-поляризации и

R_{\text{p}}=\left|{\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}

( 26 )

для p-поляризации. Обратите внимание, что при сравнении мощностей двух таких волн в одной и той же среде и с одинаковым cos θ , импеданс и геометрические факторы, упомянутые выше, идентичны и уравновешиваются. Но при расчете передачи мощности (см. Ниже) эти факторы необходимо учитывать.

Простейший способ получения коэффициента передачи мощности ( коэффициента пропускания , отношения передаваемой мощности к падающей мощности в направлении нормали к границе раздела , то есть $у$ направления) является использование $R + T = 1$ (сохранения энергии). Таким образом мы находим

T_{\text{s}}=1-R_{\text{s}}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}

( 25Т )

для s-поляризации и

T_{\text{p}}=1-R_{\text{p}}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}

( 26 т )

для p-поляризации.

В случае границы раздела между двумя средами без потерь (для которых ϵ и μ являются действительными и положительными), можно получить эти результаты непосредственно, используя квадраты значений амплитудных коэффициентов передачи, которые мы нашли ранее в уравнениях ( 14 ) и ( 22 ). . Но для заданной амплитуды (как указано выше), компонент вектора Пойнтинга в $у$ направления пропорционален геометрический фактор $сов θ и$ обратно пропорциональна волновое сопротивление $Z$ . Применяя эти поправки к каждой волне, мы получаем два отношения, умножая квадрат амплитудного коэффициента передачи:

T_{\text{s}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}

( 27 )

для s-поляризации и

T_{\text{p}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}

( 28 )

для p-поляризации. Последние два уравнения применимы только к диэлектрикам без потерь и только при углах падения, меньших критического угла (за которым, конечно, $T = 0$ ).

Равные показатели преломления [ править ]

Из уравнений ( 4 ) и ( 5 ) мы видим, что две разнородные среды будут иметь одинаковый показатель преломления, но разные проводимости, если отношение их проницаемостей является обратным соотношению их диэлектрических проницаемостей. В этой необычной ситуации мы имеем $θ$ $т$ $=$ $θ$ $я$ (то есть, передаваемый луч неотклоненный), так что косинусы в уравнениях ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) и ( 25 ) к ( 28 ) компенсируются, и все коэффициенты отражения и передачи становятся независимыми от угла падения; другими словами, отношения нормального падения становятся применимыми для всех углов падения. ^[35] При распространении на сферическое отражение или рассеяние это приводит к эффекту Керкера для рассеяния Ми .

Немагнитные носители [ править ]

Поскольку уравнения Френеля были разработаны для оптики, они обычно приводятся для немагнитных материалов. Разделив ( 4 ) на ( 5 )), получаем

Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}

.

Для немагнитных сред мы можем заменить проницаемость вакуума μ ₀ на μ , так что

Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{\,c\mu _{0}}}\,

;

то есть адмиттансы просто пропорциональны соответствующим показателям преломления. Когда мы делаем эти замены в уравнениях ( 13 ) - ( 16 ) и уравнениях ( 21 ) - ( 26 ), множитель cμ ₀ сокращается. Для амплитудных коэффициентов получаем: ^[5]^[6]

r_{\text{s}}={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}

( 29 )

t_{\text{s}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,

( 30 )

r_{\text{p}}={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}

( 31 )

t_{\text{p}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,

.

( 32 )

В случае нормальной заболеваемости они уменьшаются до:

r_{\text{s0}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}

( 33 )

t_{\text{s0}}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}

( 34 )

r_{\text{p0}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}

( 35 )

t_{\text{p0}}={\frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\,

.

( 36 )

Коэффициенты отражения мощности становятся:

R_{\text{s}}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}

( 37 )

R_{\text{p}}=\left|{\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}

.

( 38 )

Передачи мощности могут затем быть найдены из $Т = 1 - R$ .

Угол зрения Брюстера [ править ]

При равных проницаемостей (например, немагнитные среды), если & $thetas I$ и & $thetas т$ являются взаимодополняющими , мы можем подставить $грех$ $θ$ $т$ для $сов$ $θ$ $я$ $,$ и $грех$ $thetas ;$ $I$ для $сов$ $θ$ $т$ $,$ так что числитель в уравнении ( 31 ) становится $п$ $2$ $грех$ $θ$ $т$ $-$ $п$ $1$ $грех$ $θ$ $я,$ которая равна нулю (по закону Снеллиуса). Следовательно, $r$ $p$ $= 0$ и отражается только s-поляризованная составляющая. Вот что происходит под углом Брюстера . Подставляя $соз$ $θ$ $я$ для $греховного$ $thetas ;$ $т$ в законе Снеллиуса, легко получить

\theta _{\text{i}}=\arctan(n_{2}/n_{1})

( 39 )

для угла Брюстера.

Равные диэлектрические проницаемости [ править ]

Хотя на практике это не встречается, уравнения могут также применяться к случаю двух сред с общей диэлектрической проницаемостью, но разными показателями преломления из-за разных проницаемостей. Из уравнений ( ; 4 ) и ( ; 5 ), если ε фиксировано вместо ц , то $Y$ становится обратно пропорциональна $п$ , в результате чего индексы 1 и 2 в уравнениях ( 29 ) к ( 38 ) поменять местами (из - за дополнительный шаг умножения числителя и знаменателя на $n 1 n 2$ ). Следовательно, в ( 29 ) и ( 31), Выражения для $г ы$ и $г р$ с точки зрения показателей преломления будет поменять местами, таким образом , что угол Брюстера ( 39 ) даст $г$ $s$ $= 0$ вместо $г$ $р$ $= 0$ $,$ и любой луч , отраженный под этим углом будет p-поляризованный вместо s-поляризованный. ^[36] Точно так же закон синуса Френеля будет применяться к p-поляризации вместо s-поляризации, а его касательный закон к s-поляризации вместо p-поляризации.

Этот переключатель поляризации имеет аналог в старой механической теории световых волн (см. Раздел «История» выше). Можно было предсказать коэффициенты отражения, согласующиеся с наблюдениями, предположив (как Френель), что разные показатели преломления были вызваны разной плотностью и что колебания были нормальными к тому, что тогда называлось плоскостью поляризации , или предположив (как МакКуллаг и Нейман ), что разные показатели преломления были вызваны разной упругостью и тем, что колебания были параллельны этой плоскости. ^[37] Таким образом, условие одинаковой диэлектрической проницаемости и неравной проницаемости, хотя и не реалистично, представляет некоторый исторический интерес.

См. Также [ править ]

Исчисление Джонса
Поляризационное смешение
Соответствующий индекс материал
Параметры поля и мощности
Ромб Френеля, аппарат Френеля для получения света с круговой поляризацией
Зеркальное отражение
Приближение Шлика
Окно Снеллиуса
Рентгеновская отражательная способность
Самолет падения
Отражения сигналов на проводящих линиях

Примечания [ править ]

^ Некоторые авторы используют соглашение о противоположных знаках для $r p$ , так что $r p$ положительное, когда входящее и отраженное магнитные поля антипараллельны, и отрицательное, когда они параллельны. У этого последнего соглашения есть удобное преимущество, заключающееся в том, что соглашения о знаках s и p одинаковы при нормальном падении. Однако любое из этих соглашений при последовательном использовании дает верные ответы.
^ Приведенная выше форма ( 1 ) обычно используется физиками. Инженеры-электрики обычно предпочитают форму $E k e j (ωt - k\cdotr);$ то есть они не только используют $j$ вместо $i$ для мнимой единицы, но также меняют знак экспоненты, в результате чего все выражение заменяется его комплексно сопряженным , оставляя действительную часть неизменной [Cf. (например) Коллин, 1966, стр. 41, ур.(2.81)]. Формулу инженера-электрика и полученные из нее формулы можно преобразовать в общепринятую формулировку физиков, заменив $-i$ для $j$ .
^ В электротехнической конвенции, зависящие от времени фактора является $электронной jωt,$ так что набег фазы соответствует умножению на комплексной константу с положительным аргументом, и дифференциацией время WRT соответствует умножению на $+ jω$ . В этой статье, однако, используется физическое соглашение, для которого зависящий от времени коэффициент равен $e -iωt$ . Хотя мнимая единица не появляется явно в приведенных здесь результатах, зависящий от времени фактор влияет на интерпретацию любых результатов, которые оказываются сложными.

Ссылки [ править ]

↑ Born & Wolf, 1970, стр. 38.
Перейти ↑ Hecht, 1987, p. 100.
^ Дриггерс, Рональд Дж .; Хоффман, Крейг; Дриггеры, Рональд (2011). Энциклопедия оптической инженерии . DOI : 10.1081 / E-EOE . ISBN 978-0-8247-0940-2.
Перейти ↑ Hecht, 1987, p. 102.
^ a b Лекции Бо Сернелиуса, основной сайт , см. особенно Лекцию 12 .
^ a b Born & Wolf, 1970, стр. 40, экв. (20), (21).
↑ Hecht, 2002, стр. 116, ур. (4.49), (4.50).
↑ Hecht, 2002, стр. 120, ур. (4.56).
↑ Hecht, 2002, стр. 120, ур. (4.57).
Перейти ↑ Fresnel, 1866, p. 773.
↑ Hecht, 2002, стр. 115, ур. (4.42).
Перейти ↑ Fresnel, 1866, p. 757.
↑ Hecht, 2002, стр. 115, ур. (4.43).
^ Е. Verdet, в Френеля, 1866 г., стр. 789н.
↑ Born & Wolf, 1970, стр. 40, экв. (21а).
↑ Jenkins & White, 1976, стр. 524, экв. (25а).
↑ Whittaker, 1910, стр. 134; Дарригол, 2012, с. 213.
^ Небеса, OS (1955). Оптические свойства тонких пленок . Академическая пресса.гл. 4.
^ Darrigol, 2012, стр. 191-2.
^ Д. Брюстер, «О законах, регулирующих поляризацию света при отражении от прозрачных тел» , Philosophical Transactions of the Royal Society , vol. 105, стр. 125–59, читать 16 марта 1815 г.
^ Т. Янг, «Chromatics» (написана Sep.- октябрь1817 г.), Дополнение к четвертой, пятой и шестой Редакции энциклопедии Britannica , т. 3 (первая половина, опубликована в феврале 1818 г.), стр. 141–63, заключительное предложение .
^ Бухвальд, 1989, стр. 390-91; Френель, 1866, стр. 646–8.
^ А. Френеля, «Примечание сюрледез Расчитать teintes дие ла поляризации développe данс ле Жауме cristallisées» и сл., Annales де Chimie и де Телосложение , т. 17, стр. 102–11 (май 1821 г.), 167–96 (июнь 1821 г.), 312–15 («Постскриптум», июль 1821 г.); перепечатано в Fresnel, 1866, pp. 609–48; переводится как «О расчете оттенков, которые поляризация развивает в кристаллических пластинах (и постскриптум)», Zenodo : 4058004 / doi : 10.5281 / zenodo.4058004 , 2020.
^ a b А. Френель, «Памятка о законе изменений, которые отражаются на поляризованном свете» («Воспоминания о законе изменений, которые отражение оказывает на поляризованный свет»), прочитано 7 января 1823 г .; перепечатано в Fresnel, 1866, стр. 767–99 (полный текст, опубликован в 1831 г.), стр. 753–62 (отрывок, опубликован в 1823 г.). См. Особенно стр. 773 (закон синуса), 757 (закон касания), 760–61 и 792–6 (углы полного внутреннего отражения для заданных разностей фаз).
^ Бухвальд, 1989, стр. 391-3; Whittaker, 1910, стр. 133–5.
Перейти ↑ Buchwald, 1989, p. 392.
^ Ллойд, 1834, стр. 369-70; Бухвальд, 1989, стр. 393–4, 453; Френель, 1866, стр. 781–96.
^ Френеля, 1866, стр. 760-61, 792-6; Whewell, 1857, стр. 359.
^ Уиттакер, 1910, стр. 177-9.
^ А. Френель, «Мемуар л двойное лучепреломление Que ль Районы Lumineux éprouvent ан traversant ль AiguillesдеКристал де Рош Suivant ль направление parallèles à l'Топор» ( "Воспоминание о двойном преломлениичто световые лучи претерпевают при прохождении иглы скалы кристалл [кварц] в направлениях, параллельных оси »), подписано и представлено 9 декабря 1822 г .; перепечатано в Fresnel, 1866, стр. 731–51 (полный текст, опубликован в 1825 г.), стр. 719–29 (отрывок, опубликован в 1823 г.). О датах публикации см. Также Buchwald, 1989, p. 462, исх. 1822b.
^ Бухвальд, 1989, стр. 230-31; Френель, 1866, стр. 744.
Перейти ↑ Buchwald, 1989, p. 442; Fresnel, 1866, pp. 737–9, 749. Cf. Whewell, 1857, стр. 356–8; Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 589–90.
^ Сравните М. В. Берри и М. Р. Джеффри, "Коническая дифракция: дьявольская точка Гамильтона в основе кристаллической оптики" , в E. Wolf (ed.), Progress in Optics , vol. 50, Амстердам: Elsevier, 2007, стр. 13–50, at p. 18, ур. (2.2).
^ Это согласуется с Born & Wolf, 1970, стр. 38, рис. 1.10.
^ Джайлз, CL; Уайлд, WJ (1982). «Френелевское отражение и пропускание на плоской границе от сред с одинаковыми показателями преломления». Письма по прикладной физике . 40 (3): 210–212. Bibcode : 1982ApPhL..40..210G . DOI : 10.1063 / 1.93043 .
^ Более общие углы Брюстера, для которых углы падения и преломления не обязательно дополняют друг друга, обсуждаются в CL Giles и WJ Wild, "Углы Брюстера для магнитных сред" , International Journal of Infrared and Millimeter Waves , vol. 6, вып. 3 (март 1985), стр. 187-97.
^ Уиттакер, 1910, стр. 133, 148-9; Дарригол, 2012, с. 212, 229–31.

Источники [ править ]

М. Борн и Э. Вольф, 1970, Принципы оптики , 4-е изд., Оксфорд: Pergamon Press.
Дж. З. Бухвальд, 1989, Расцвет волновой теории света: оптическая теория и эксперимент в начале девятнадцатого века , University of Chicago Press, ISBN 0-226-07886-8 .
RE Collin, 1966, Основы микроволновой техники , Токио: McGraw-Hill.
О. Дарригол, 2012 г., История оптики: от греческой древности до девятнадцатого века , Оксфорд, ISBN 978-0-19-964437-7 .
A. Fresnel, 1866 (изд. H. de Senarmont, E. Verdet и L. Fresnel), Oeuvres completes d'Augustin Fresnel , Paris: Imprimerie Impériale (3 vols., 1866–70), vol. 1 (1866 г.) .
Э. Хехт, 1987, Оптика , 2-е изд., Аддисон Уэсли, ISBN 0-201-11609-X .
Э. Хехт, 2002, Оптика , 4-е изд., Аддисон Уэсли, ISBN 0-321-18878-0 .
Ф. А. Дженкинс и Х. Э. Уайт, 1976 г., Основы оптики , 4-е изд., Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5 .
Х. Ллойд, 1834 г., «Отчет о прогрессе и нынешнем состоянии физической оптики» , Отчет Четвертого совещания Британской ассоциации по развитию науки (состоявшегося в Эдинбурге в 1834 г.), Лондон: Дж. Мюррей, 1835 г., стр. . 295-413.
W. Whewell, 1857, История индуктивных наук: с древнейших времен до наших дней , 3-е изд., Лондон: JW Parker & Son, vol. 2 .
ET Whittaker , 1910, История теорий эфира и электричества: от эпохи Декарта до конца девятнадцатого века , Лондон: Longmans, Green, & Co.

Дальнейшее чтение [ править ]

Этот раздел для дальнейшего чтения может содержать неуместные или чрезмерные предложения, которые могут не соответствовать рекомендациям Википедии . Пожалуйста , убедитесь , что только разумное количество из сбалансированных , актуальные , надежных и известных дальнейших предложений чтений приведены; удаление менее актуальных или повторяющихся публикаций с той же точкой зрения, где это необходимо. Рассмотрите возможность использования соответствующих текстов в качестве встроенных источников или создания отдельной библиографической статьи . ( Октябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Воан, Г. (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). «Глава 9.3: Электромагнитные волны в материи». Введение в электродинамику (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-42041-9.
Группа, YB (2010). Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-89931-0.
Кеньон, И.Р. (2008). The Light Fantastic - Введение в классическую и квантовую оптику . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-856646-5.
Энциклопедия физики (2-е издание) , RG Lerner, GL Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е издание) , CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3

Внешние ссылки [ править ]

Уравнения Френеля - Вольфрам.
Калькулятор уравнений Френеля
FreeSnell - бесплатное программное обеспечение для вычисления оптических свойств многослойных материалов.
Thinfilm - веб-интерфейс для расчета оптических свойств тонких пленок и многослойных материалов (коэффициенты отражения и пропускания, эллипсометрические параметры Psi и Delta).
Простой веб-интерфейс для расчета углов и силы отражения и преломления в одном интерфейсе .
Отражение и коэффициент пропускания для двух диэлектриков ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} - интерактивная веб-страница системы Mathematica, которая показывает отношения между показателями преломления и отражения.
Автономный вывод из первых принципов вероятностей прохождения и отражения от многослойного материала со сложными показателями преломления.

[5] Некоторые авторы используют соглашение о противоположных знаках для $r p$ , так что $r p$ положительное, когда входящее и отраженное магнитные поля антипараллельны, и отрицательное, когда они параллельны. У этого последнего соглашения есть удобное преимущество, заключающееся в том, что соглашения о знаках s и p одинаковы при нормальном падении. Однако любое из этих соглашений при последовательном использовании дает верные ответы.

[34] Приведенная выше форма ( 1 ) обычно используется физиками. Инженеры-электрики обычно предпочитают форму $E k e j (ωt - k\cdotr);$ то есть они не только используют $j$ вместо $i$ для мнимой единицы, но также меняют знак экспоненты, в результате чего все выражение заменяется его комплексно сопряженным , оставляя действительную часть неизменной [Cf. (например) Коллин, 1966, стр. 41, ур.(2.81)]. Формулу инженера-электрика и полученные из нее формулы можно преобразовать в общепринятую формулировку физиков, заменив $-i$ для $j$ .

[35] В электротехнической конвенции, зависящие от времени фактора является $электронной jωt,$ так что набег фазы соответствует умножению на комплексной константу с положительным аргументом, и дифференциацией время WRT соответствует умножению на $+ jω$ . В этой статье, однако, используется физическое соглашение, для которого зависящий от времени коэффициент равен $e -iωt$ . Хотя мнимая единица не появляется явно в приведенных здесь результатах, зависящий от времени фактор влияет на интерпретацию любых результатов, которые оказываются сложными.

[1] Born & Wolf, 1970, стр. 38.

[2] Перейти ↑ Hecht, 1987, p. 100.

[3] Дриггерс, Рональд Дж .; Хоффман, Крейг; Дриггеры, Рональд (2011). Энциклопедия оптической инженерии . DOI : 10.1081 / E-EOE . ISBN 978-0-8247-0940-2.

[4] Перейти ↑ Hecht, 1987, p. 102.

[Sernelius-6] Лекции Бо Сернелиуса, основной сайт , см. особенно Лекцию 12 .

[Born_1970-7] Born & Wolf, 1970, стр. 40, экв. (20), (21).

[8] Hecht, 2002, стр. 116, ур. (4.49), (4.50).

[9] Hecht, 2002, стр. 120, ур. (4.56).

[10] Hecht, 2002, стр. 120, ур. (4.57).

[11] Перейти ↑ Fresnel, 1866, p. 773.

[12] Hecht, 2002, стр. 115, ур. (4.42).

[13] Перейти ↑ Fresnel, 1866, p. 757.

[14] Hecht, 2002, стр. 115, ур. (4.43).

[15] Е. Verdet, в Френеля, 1866 г., стр. 789н.

[16] Born & Wolf, 1970, стр. 40, экв. (21а).

[17] Jenkins & White, 1976, стр. 524, экв. (25а).

[18] Whittaker, 1910, стр. 134; Дарригол, 2012, с. 213.

[19] Небеса, OS (1955). Оптические свойства тонких пленок . Академическая пресса.гл. 4.

[20] Darrigol, 2012, стр. 191-2.

[brewster-1815b-21] Д. Брюстер, «О законах, регулирующих поляризацию света при отражении от прозрачных тел» , Philosophical Transactions of the Royal Society , vol. 105, стр. 125–59, читать 16 марта 1815 г.

[22] Т. Янг, «Chromatics» (написана Sep.- октябрь1817 г.), Дополнение к четвертой, пятой и шестой Редакции энциклопедии Britannica , т. 3 (первая половина, опубликована в феврале 1818 г.), стр. 141–63, заключительное предложение .

[23] Бухвальд, 1989, стр. 390-91; Френель, 1866, стр. 646–8.

[fresnel-1821a-24] А. Френеля, «Примечание сюрледез Расчитать teintes дие ла поляризации développe данс ле Жауме cristallisées» и сл., Annales де Chimie и де Телосложение , т. 17, стр. 102–11 (май 1821 г.), 167–96 (июнь 1821 г.), 312–15 («Постскриптум», июль 1821 г.); перепечатано в Fresnel, 1866, pp. 609–48; переводится как «О расчете оттенков, которые поляризация развивает в кристаллических пластинах (и постскриптум)», Zenodo : 4058004 / doi : 10.5281 / zenodo.4058004 , 2020.

[fresnel-1823a-25] А. Френель, «Памятка о законе изменений, которые отражаются на поляризованном свете» («Воспоминания о законе изменений, которые отражение оказывает на поляризованный свет»), прочитано 7 января 1823 г .; перепечатано в Fresnel, 1866, стр. 767–99 (полный текст, опубликован в 1831 г.), стр. 753–62 (отрывок, опубликован в 1823 г.). См. Особенно стр. 773 (закон синуса), 757 (закон касания), 760–61 и 792–6 (углы полного внутреннего отражения для заданных разностей фаз).

[26] Бухвальд, 1989, стр. 391-3; Whittaker, 1910, стр. 133–5.

[27] Перейти ↑ Buchwald, 1989, p. 392.

[28] Ллойд, 1834, стр. 369-70; Бухвальд, 1989, стр. 393–4, 453; Френель, 1866, стр. 781–96.

[29] Френеля, 1866, стр. 760-61, 792-6; Whewell, 1857, стр. 359.

[30] Уиттакер, 1910, стр. 177-9.

[fresnel-1822z-31] А. Френель, «Мемуар л двойное лучепреломление Que ль Районы Lumineux éprouvent ан traversant ль AiguillesдеКристал де Рош Suivant ль направление parallèles à l'Топор» ( "Воспоминание о двойном преломлениичто световые лучи претерпевают при прохождении иглы скалы кристалл [кварц] в направлениях, параллельных оси »), подписано и представлено 9 декабря 1822 г .; перепечатано в Fresnel, 1866, стр. 731–51 (полный текст, опубликован в 1825 г.), стр. 719–29 (отрывок, опубликован в 1823 г.). О датах публикации см. Также Buchwald, 1989, p. 462, исх. 1822b.

[32] Бухвальд, 1989, стр. 230-31; Френель, 1866, стр. 744.

[33] Перейти ↑ Buchwald, 1989, p. 442; Fresnel, 1866, pp. 737–9, 749. Cf. Whewell, 1857, стр. 356–8; Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 589–90.

[berry-jeffrey-2007-36] Сравните М. В. Берри и М. Р. Джеффри, "Коническая дифракция: дьявольская точка Гамильтона в основе кристаллической оптики" , в E. Wolf (ed.), Progress in Optics , vol. 50, Амстердам: Elsevier, 2007, стр. 13–50, at p. 18, ур. (2.2).

[37] Это согласуется с Born & Wolf, 1970, стр. 38, рис. 1.10.

[38] Джайлз, CL; Уайлд, WJ (1982). «Френелевское отражение и пропускание на плоской границе от сред с одинаковыми показателями преломления». Письма по прикладной физике . 40 (3): 210–212. Bibcode : 1982ApPhL..40..210G . DOI : 10.1063 / 1.93043 .

[39] Более общие углы Брюстера, для которых углы падения и преломления не обязательно дополняют друг друга, обсуждаются в CL Giles и WJ Wild, "Углы Брюстера для магнитных сред" , International Journal of Infrared and Millimeter Waves , vol. 6, вып. 3 (март 1985), стр. 187-97.

[40] Уиттакер, 1910, стр. 133, 148-9; Дарригол, 2012, с. 212, 229–31.